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发表于 2003-7-8 08:29:25
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加工流水线设计图如下图所示：
2b 2a 图1
同等大小的矩形工件等间距排列在直道上，然后依次进入半径为r的弯道。每个工件在它的中心进入弯道后，整个工件绕弯道中心S作转动（转动时工件上每一点与S的距离保持不变）。
（1） 给定a与b，讨论ι与r应满足什么适当的条件，使这些工件在运动过程中不会相互碰撞？
（2） 特别，如a＝20，b＝16，ι＝57，问r可在什么适当的范围内选取？
解：问题（1）解答：
设两个工件的中心分别为C1和C2，两个工件的中心距为ι，长，宽分别为2a和2b，弯道半径为r，流水线是逆时针方向运动的。
为保证工件在运行中不发生碰撞我们分下面三种情况讨论：
（1）两个工件都在直道上。（如图1所示）
此时必须满足：
ι>2a,r>b
（3） 两个工件都在弯道上。（如图2所示）
C1 α
C2
图2
此时若相邻两个工件发生了接触，由于两个工件的形状和大小都相同，容易求得两个工件中心C1，C2之间的轨道长
ι＝L1(r)＝2αr
其中α为弯道中心与工件中心的连线SC1和弯道中心也接触点A连线SA的夹角，显然有
tanα＝a/(r-b)
或 α＝arctan a/(r-b)
易知，当 ι>L1(r)＝2r arctan a/(r-b)
时，相邻两个工件中心同在弯道上时不会发生碰撞。
（3）两个工件一个在直道上，一个在弯道上的情形。
此情形又可以分为两种情形来讨论：
情形（ⅰ）如图3所示：
A
β
图3 d
此时位于直道上的工件中心C2距弯道的入口处的距离为d。因为两个工件必须要接触，所以必有0<d<a。
设恰好接触时两个工件中心C1和C2间的轨道长为D(d），为保证任何情况下两个工件不会发生此类接触，则必须满足：
ι>sup D(d) 0<d≤a
如上图所示，易知，Rt⊿SBA≌Rt⊿SFA,记 β＝∠FSA,那么有
∠ASB＝∠FSA＝β
易知 β＝arctan (a-d)/(r-b)
此时 D(d)＝d+2r arctan (a-d)/(r-b) ………………（*）
则有 Dˊ(d)＝1-2r(r-b)/[(a-d)^2+(r-b)^2]
由 Dˊ(d)＝0得
d＝d0＝a-√r^2-b^2 (因为 0<d<a )
当r<√a^2+b^2 时，0<d0<a,由
D″(d)＝-4r(r-b)(a-d)/[(a-d)^2+(r-b)^2]^2<0
可知
max D(d)＝D（d0）＝a-√r^2-b^2 +2r arctan √(r+b)/(r-b)
其中 0≤d≤a。
设
L2(r)＝a-√r^2-b^2 +2r arctan √(r+b)/(r-b)
不发生接触的条件为
ι> L2(r)
若r≥√a^2+b^2，则有
sup D(d)＝D(0)＝2r arctan a/(r-b)≡L1(r) 0<d≤a
此时不发生碰撞的条件与相邻两个工件中心均在弯道上时的条件完全相同。
情形（ⅱ）如图4所示：
图4 E
接触时两个工件中心间的轨道长为
Q＝Q(d)＝d＋rδ
而 δ≤π/2
情形（ⅰ）的（*）可以改写成为
D(d)＝d+πr－2r arctan (r-b)/(a-d)
由情形（ⅱ）的图结合几何知识可以得到
arctan (r-b)/(a-d)＝π/2－β≤π/4
从而有D(d)≥d+rπ/2 ,注意道δ<π/2 ,有
Q(d）≤D(d)
所以只要不发生情形（ⅰ）的碰撞，情形（ⅱ）的碰撞就不可能发生。
综合（1）、（2）、（3）各种情况，我们可以得到如下结论：
① 相邻两个工件中心均在弯道上时，不发生碰撞的条件为：
ι>L1(r)；
② 相邻两个工件中心分别位于弯道和直道上时，不碰撞的条件为：
若b<r<√a^2+b^2 ,则有 ι>L2(r)；
若r≥√a^2+b^2 ，则有 ι>L1(r).
易知当r<√a^2+b^2 时，L2(r)≥L1(r)。于是②就成为在任何情形下均不碰撞的条件。我们不妨记
L2(r)， b<r<√a^2+b^2
L(r)＝
L1(r) ， r≥√a^2+b^2
故不发生碰撞的条件可以简化成为：
ι> L(r)
问题（2）解答：
若给定了工件的长、宽2a和2b，又给定了流水线弯道的半径r0，那么由问题（1）中可以求出ι0＝L(r0)，只要取相邻工件中心间轨道长ι>ι0即可保证工件不发生碰撞。
为确定不发生碰撞的r的确切范围，此时需要解函数不等式
ι0>L(r)
我们先解不等式
ι0>L1(r)
求得满足不等式的r的两个区间为（16，25.6）和（33.9，+∞）,但因
r∈(6，25.6)时，r<√a^2+b^2 ,应该用条件ι0＝L2(r)判断，但此时 L2(r)>ι0 ,所以(6，25.6)必须舍去。
注意到ι＝L(r)不是单调的，对某些特定的ι0可能会出现弯道半径r较小时，工件不碰撞，r增大时反而会碰撞的有趣现象。如对ι0＝57.5,r的不碰撞区间为(21.30 , 25.33)和(30.94 , +∞),当r＝25时工件不会碰撞，但取
r＝27时工件反而发生碰撞，当r>30.94时又不会发生碰撞。
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