各位XDJM帮帮忙啊！

billyking

<>近日碰到这么一个数学建模的题目，想着头大，在此向各位请教：
0-1矩阵是指它的元素是0或1。 1 矩阵是指它的所有元素都是1。 求证：
如果 一个0-1矩阵A的平方是一个1矩阵的话，则A矩阵任意一行的和与其对应的列的和相等
。（里面可能会用到线代和概率的东东）做了好几天了，实在没想法了，
在此求求大虾们抽出点宝贵时间来帮帮偶这个一个头两个大的可怜人吧。
如果有什么想法或者建议，email:sxk142@126.com
谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢！
</P>

btluo

<>AA=B==&gt;AAA=BA==&gt;AB=BA</P>
<>A的第i行乘B的第i列=B的第i行乘A的第i列即为所求</P>

huihong

<>楼上的想法很好。小弟想再进一步提出：充分条件是什么？也即，除了任一行与它对应的列元素和相等外，还要满足什么条件。这样就可以等价了</P>[em17]

billyking

<>谢谢谢谢，在这儿先向大家道谢！</P>[em17]

billyking

<>谢谢谢谢，在这儿先向大家道谢！</P>[em17]

huihong

满足这样条件的矩阵的维数并不是任意的，设它为n，若AA=B，设a=A（1，：）为A的第一行，a’=A（：，1）为A的第一列，则aAAa’=（aA）（Aa’），其中（aA）为AA的第一行，（Aa’）为AA的第一列，则aAAa’等于AA（也即B）的第一行与第一列的内积，明显为n，但是aAAa’=aBa’=（aB）a’，设a的元素和为s，则由一开始证明的结果，a’的元素和也为s，也即值为1的元素的个数为s个，那么很容易知道aBa’=s*s，也即n必须满足：n=s*s，即它必须是第一行1的元素的个数的平方。实际上也是任意一行（或一列）的元素1的个数（即行和）的平方，因为A的每一行（一列）的和都是相等的，这由AB=BA很容易得到。这样就不存在这样的2阶或3阶的矩阵，四阶矩阵如A=[1 1 0 0；0 0 1 1；1 1 0 0；0 0 1 1]就满足。