2003年华东区大学生数学建模竞赛

xal · 发表于 2004-8-15 08:50:27

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>A. 矿井定向测量 (Orientation Determination in Mining)
B. 向量场问题 (Vector Field)
C. 鸣叫的知了 (Droning Cicada)
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>A 矿井定向测量
为了保证矿井的安全生产，必须精确知道井下巷道的位置（一般用控制点的x, y坐标和两点连线的方位表示）。因此，将地面控制点的坐标传递到井下是一项极为重要的工作。大型矿井一般用竖井连通地面和井下巷道，竖井直径5-8m深度300-1000m。由于井下情况复杂，磁罗盘等物理仪器不能使用，通常使用经纬仪（用于测量水平角）和钢卷尺（用于测量水平距离）并在竖井内悬挂两根细钢丝，钢丝的上方和下方都不能架设经纬仪。钢丝悬挂的位置也要受井架条件的限制。
试根据以上条件，建立数学模型，说明如何将地面控制点的坐标传递到井下，针对控制点与钢丝的相对位置关系，给出适当的计算公式，并估计误差。自己假设控制点的坐标、方位以及测量数据，用你得到的方法计算一个实例，并检验相应的误差。 
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>B 向量场问题
通过某种科学实验，可以获得在有界区域D中的有限个点Xi=(xi,yi)以及与之对应的向量Vi=(Vx(i),Vy(i)) 。由此，希望获得D中V(X),for all X in D 的表达式，并且要求满足：V(Xi)=Vi 。
取D=[0,1]╳[0,1] ，则下面给出的是两组向量场问题的数据文件(见表1和表2)，其中一组数据点在网格点上,另一组数据点是呈散乱的。
TABLE 1
i= 1;(x,y)=( .10, .10); (Vx,Vy)=(.5500, .2800)
i= 2;(x,y)=( .10, .20); (Vx,Vy)=(.5300, .2700)
i= 3;(x,y)=( .10, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2600)
i= 4;(x,y)=( .10, .40);(Vx,Vy)=(.4900, .2500)
i= 5;(x,y)=( .10, .50);(Vx,Vy)=(.4700, .2400)
i= 6;(x,y)=( .10, .60);(Vx,Vy)=(.4500, .2300)
i= 7;(x,y)=( .10, .70);(Vx,Vy)=(.4300, .2200)
i= 8;(x,y)=( .10, .80);(Vx,Vy)=(.4100, .2100)
i= 9;(x,y)=( .10, .90);(Vx,Vy)=(.3900, .2000)
i= 10;(x,y)=( .20, .10);(Vx,Vy)=(.5300, .2750)
i= 11;(x,y)=( .20, .20);(Vx,Vy)=(.5200, .2700)
i= 12;(x,y)=( .20, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2650)
i= 13;(x,y)=( .20, .40);(Vx,Vy)=(.5000, .2600)
i= 14;(x,y)=( .20, .50);(Vx,Vy)=(.4900, .2550)
i= 15;(x,y)=( .20, .60);(Vx,Vy)=(.4800, .2500)
i= 16;(x,y)=( .20, .70);(Vx,Vy)=(.4700, .2450)
i= 17;(x,y)=( .20, .80);(Vx,Vy)=(.4600, .2400)
i= 18;(x,y)=( .20, .90);(Vx,Vy)=(.4500, .2350)
i= 19;(x,y)=( .30, .10);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 20;(x,y)=( .30, .20);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 21;(x,y)=( .30, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 22;(x,y)=( .30, .40);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 23;(x,y)=( .30, .50);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 24;(x,y)=( .30, .60);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 25;(x,y)=( .30, .70);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 26;(x,y)=( .30, .80);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 27;(x,y)=( .30, .90);(Vx,Vy)=(.5100, .2700)
i= 28;(x,y)=( .40, .10);(Vx,Vy)=(.4900, .2650)
i= 29;(x,y)=( .40, .20);(Vx,Vy)=(.5000, .2700)
i= 30;(x,y)=( .40, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2750)
i= 31;(x,y)=( .40, .40);(Vx,Vy)=(.5200, .2800)
i= 32;(x,y)=( .40, .50);(Vx,Vy)=(.5300, .2850)
i= 33;(x,y)=( .40, .60);(Vx,Vy)=(.5400, .2900)
i= 34;(x,y)=( .40, .70);(Vx,Vy)=(.5500, .2950)
i= 35;(x,y)=( .40, .80);(Vx,Vy)=(.5600, .3000)
i= 36;(x,y)=( .40, .90);(Vx,Vy)=(.5700, .3050)
i= 37;(x,y)=( .50, .10);(Vx,Vy)=(.4700, .2600)
i= 38;(x,y)=( .50, .20);(Vx,Vy)=(.4900, .2700)
i= 39;(x,y)=( .50, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2800)
i= 40;(x,y)=( .50, .40);(Vx,Vy)=(.5300, .2900)
i= 41;(x,y)=( .50, .50);(Vx,Vy)=(.5500, .3000)
i= 42;(x,y)=( .50, .60);(Vx,Vy)=(.5700, .3100)
i= 43;(x,y)=( .50, .70);(Vx,Vy)=(.5900, .3200)
i= 44;(x,y)=( .50, .80);(Vx,Vy)=(.6100, .3300)
i= 45;(x,y)=( .50, .90);(Vx,Vy)=(.6300, .3400)
i= 46;(x,y)=( .60, .10);(Vx,Vy)=(.4500, .2550)
i= 47;(x,y)=( .60, .20);(Vx,Vy)=(.4800, .2700)
i= 48;(x,y)=( .60, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2850)
i= 49;(x,y)=( .60, .40);(Vx,Vy)=(.5400, .3000)
i= 50;(x,y)=( .60, .50);(Vx,Vy)=(.5700, .3150)
i= 51;(x,y)=( .60, .60);(Vx,Vy)=(.6000, .3300)
i= 52;(x,y)=( .60, .70);(Vx,Vy)=(.6300, .3450)
i= 53;(x,y)=( .60, .80);(Vx,Vy)=(.6600, .3600)
i= 54;(x,y)=( .60, .90);(Vx,Vy)=(.6900, .3750)
i= 55;(x,y)=( .70, .10);(Vx,Vy)=(.4300, .2500)
i= 56;(x,y)=( .70, .20);(Vx,Vy)=(.4700, .2700)
i= 57;(x,y)=( .70, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2900)
i= 58;(x,y)=( .70, .40);(Vx,Vy)=(.5500, .3100)
i= 59;(x,y)=( .70, .50);(Vx,Vy)=(.5900, .3300)
i= 60;(x,y)=( .70, .60);(Vx,Vy)=(.6300, .3500)
i= 61;(x,y)=( .70, .70);(Vx,Vy)=(.6700, .3700)
i= 62;(x,y)=( .70, .80);(Vx,Vy)=(.7100, .3900)
i= 63;(x,y)=( .70, .90);(Vx,Vy)=(.7500, .4100)
i= 64;(x,y)=( .80, .10);(Vx,Vy)=(.4100, .2450)
i= 65;(x,y)=( .80, .20);(Vx,Vy)=(.4600, .2700)
i= 66;(x,y)=( .80, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .2950)
i= 67;(x,y)=( .80, .40);(Vx,Vy)=(.5600, .3200)
i= 68;(x,y)=( .80, .50);(Vx,Vy)=(.6100, .3450)
i= 69;(x,y)=( .80, .60);(Vx,Vy)=(.6600, .3700)
i= 70;(x,y)=( .80, .70);(Vx,Vy)=(.7100, .3950)
i= 71;(x,y)=( .80, .80);(Vx,Vy)=(.7600, .4200)
i= 72;(x,y)=( .80, .90);(Vx,Vy)=(.8100, .4450)
i= 73;(x,y)=( .90, .10);(Vx,Vy)=(.3900, .2400)
i= 74;(x,y)=( .90, .20);(Vx,Vy)=(.4500, .2700)
i= 75;(x,y)=( .90, .30);(Vx,Vy)=(.5100, .3000)
i= 76;(x,y)=( .90, .40);(Vx,Vy)=(.5700, .3300)
i= 77;(x,y)=( .90, .50);(Vx,Vy)=(.6300, .3600)
i= 78;(x,y)=( .90, .60);(Vx,Vy)=(.6900, .3900)
i= 79;(x,y)=( .90, .70);(Vx,Vy)=(.7500, .4200)
i= 80;(x,y)=( .90, .80);(Vx,Vy)=(.8100, .4500)
i= 81;(x,y)=( .90, .90);(Vx,Vy)=(.8700, .4800) 
TABLE 2
i= 1;(x,y)=( .6554, .4463);(Vx,Vy)=(.0129, .0884)
i= 2;(x,y)=( .2010, .8354);(Vx,Vy)=(.0220,-.1464)
i= 3;(x,y)=( .8936, .5264);(Vx,Vy)=(.0501, .2105)
i= 4;(x,y)=( .2819, .1076);(Vx,Vy)=(-.0266,-.0009)
i= 5;(x,y)=( .5250, .2419);(Vx,Vy)=(-.0336, .0177)
i= 6;(x,y)=( .3141, .1318);(Vx,Vy)=(-.0287,-.0027)
i= 7;(x,y)=( .4446, .2539);(Vx,Vy)=(-.0252, .0069)
i= 8;(x,y)=( .2995, .4985);(Vx,Vy)=(.0098,-.0401)
i= 9;(x,y)=( .2125, .4982);(Vx,Vy)=(.0055,-.0747)
i= 10;(x,y)=( .5914, .0773);(Vx,Vy)=(-.0793,-.0044)
i= 11;(x,y)=( .9259, .3163);(Vx,Vy)=(-.0346, .1138)
i= 12;(x,y)=( .7044, .7850);(Vx,Vy)=(.1163, .2085)
i= 13;(x,y)=( .2177, .7003);(Vx,Vy)=(.0177,-.1094)
i= 14;(x,y)=( .3770, .0763);(Vx,Vy)=(-.0448, .0005)
i= 15;(x,y)=( .8879, .8915);(Vx,Vy)=(.1936, .3861)
i= 16;(x,y)=( .4300, .8395);(Vx,Vy)=(.0725, .0222)
i= 17;(x,y)=( .1936, .0814);(Vx,Vy)=(-.0149, .0038)
i= 18;(x,y)=( .3780, .4510);(Vx,Vy)=(.0071,-.0077)
i= 19;(x,y)=( .7443, .8372);(Vx,Vy)=(.1409, .2538)
i= 20;(x,y)=( .5950, .1203);(Vx,Vy)=(-.0692, .0040)
i= 21;(x,y)=( .4312, .8135);(Vx,Vy)=(.0685, .0222)
i= 22;(x,y)=( .7290, .6516);(Vx,Vy)=(.0791, .1815)
i= 23;(x,y)=( .4655, .4664);(Vx,Vy)=(.0121, .0240)
i= 24;(x,y)=( .4594, .3669);(Vx,Vy)=(-.0059, .0159)
i= 25;(x,y)=( .1100, .0471);(Vx,Vy)=(-.0018, .0153)
i= 26;(x,y)=( .5433, .0597);(Vx,Vy)=(-.0754,-.0058)
i= 27;(x,y)=( .2023, .1917);(Vx,Vy)=(-.0107,-.0181)
i= 28;(x,y)=( .2626, .3789);(Vx,Vy)=(-.0017,-.0383)
i= 29;(x,y)=( .6059, .9749);(Vx,Vy)=(.1454, .1801)
i= 30;(x,y)=( .5365, .1801);(Vx,Vy)=(-.0480, .0109)
i= 31;(x,y)=( .4940, .4036);(Vx,Vy)=(.0007, .0285)
i= 32;(x,y)=( .6013, .0073);(Vx,Vy)=(-.0984,-.0187)
i= 33;(x,y)=( .8831, .4738);(Vx,Vy)=(.0289, .1806)
i= 34;(x,y)=( .9678, .3374);(Vx,Vy)=(-.0271, .1348)
i= 35;(x,y)=( .1932, .2715);(Vx,Vy)=(-.0060,-.0355)
i= 36;(x,y)=( .6851, .2839);(Vx,Vy)=(-.0340, .0524)
i= 37;(x,y)=( .1876, .5226);(Vx,Vy)=(.0054,-.0897)
i= 38;(x,y)=( .9896, .0598);(Vx,Vy)=(-.1513,-.0237)
i= 39;(x,y)=( .0104, .0395);(Vx,Vy)=(.0161, .0236)
i= 40;(x,y)=( .7233, .9297);(Vx,Vy)=(.1651, .2682)
i= 41;(x,y)=( .5219, .9523);(Vx,Vy)=(.1165, .1039)
i= 42;(x,y)=( .0475, .7026);(Vx,Vy)=(-.0079,-.2124)
i= 43;(x,y)=( .0810, .2113);(Vx,Vy)=(.0018,-.0355)
i= 44;(x,y)=( .4190, .9951);(Vx,Vy)=(.0949, .0170)
i= 45;(x,y)=( .0174, .7121);(Vx,Vy)=(-.0129,-.2342)
i= 46;(x,y)=( .4501, .2084);(Vx,Vy)=(-.0335, .0054)
i= 47;(x,y)=( .4734, .8341);(Vx,Vy)=(.0810, .0539)
i= 48;(x,y)=( .6707, .8536);(Vx,Vy)=(.1294, .2040)
i= 49;(x,y)=( .4418, .8281);(Vx,Vy)=(.0731, .0304)
i= 50;(x,y)=( .3771, .2163);(Vx,Vy)=(-.0254,-.0027)
i= 51;(x,y)=( .7846, .5491);(Vx,Vy)=(.0510, .1727)
i= 52;(x,y)=( .5986, .8674);(Vx,Vy)=(.1165, .1524)
i= 53;(x,y)=( .7703, .3694);(Vx,Vy)=(-.0103, .0997)
i= 54;(x,y)=( .0128, .4674);(Vx,Vy)=(-.0029,-.1423)
i= 55;(x,y)=( .7066, .3073);(Vx,Vy)=(-.0281, .0636)
i= 56;(x,y)=( .4901, .2413);(Vx,Vy)=(-.0309, .0127)
i= 57;(x,y)=( .4195, .1248);(Vx,Vy)=(-.0440, .0005)
i= 58;(x,y)=( .1581, .2230);(Vx,Vy)=(-.0051,-.0297)
i= 59;(x,y)=( .3133, .7830);(Vx,Vy)=(.0408,-.0592)
i= 60;(x,y)=( .6768, .8103);(Vx,Vy)=(.1183, .1966)
i= 61;(x,y)=( .6750, .7590);(Vx,Vy)=(.1032, .1812)
i= 62;(x,y)=( .0435, .8119);(Vx,Vy)=(-.0116,-.2538)
i= 63;(x,y)=( .2002, .3253);(Vx,Vy)=(-.0037,-.0450)
i= 64;(x,y)=( .8639, .8830);(Vx,Vy)=(.1845, .3632)
i= 65;(x,y)=( .1593, .0811);(Vx,Vy)=(-.0095, .0045)
i= 66;(x,y)=( .3269, .3222);(Vx,Vy)=(-.0088,-.0162)
i= 67;(x,y)=( .7703, .8247);(Vx,Vy)=(.1423, .2684)
i= 68;(x,y)=( .8239, .6092);(Vx,Vy)=(.0757, .2159)
i= 69;(x,y)=( .5067, .4203);(Vx,Vy)=(.0041, .0342)
i= 70;(x,y)=( .8649, .2879);(Vx,Vy)=(-.0429, .0874)
i= 71;(x,y)=( .4659, .2871);(Vx,Vy)=(-.0207, .0123)
i= 72;(x,y)=( .4850, .0816);(Vx,Vy)=(-.0613,-.0016)
i= 73;(x,y)=( .3353, .9600);(Vx,Vy)=(.0659,-.0556)
i= 74;(x,y)=( .3300, .8799);(Vx,Vy)=(.0552,-.0546)
i= 75;(x,y)=( .8072, .9626);(Vx,Vy)=(.1989, .3513)
i= 76;(x,y)=( .2289, .7042);(Vx,Vy)=(.0196,-.1034)
i= 77;(x,y)=( .8458, .3561);(Vx,Vy)=(-.0164, .1142)
i= 78;(x,y)=( .4310, .8599);(Vx,Vy)=(.0761, .0235)
i= 79;(x,y)=( .6248, .8662);(Vx,Vy)=(.1223, .1722)
i= 80; (x,y)=( .3914, .4793);(Vx,Vy)=(.0116,-.0033)
i= 81;(x,y)=( .7800, .2820);(Vx,Vy)=(-.0401, .0692)



C 鸣叫的知了
盛夏季节，在一些树上常常都会有许多长"鸣"不断的知了。有趣的是，一棵树上往往有十几只甚至更多的知了，但它们的鸣叫声是如此的同步；如此的协调，就如同一个知了在鸣叫一样，而其声音的量级又远远大于单个知了发出的"鸣叫"声。
1. 如果假设一棵树上的每一个知了的特性是相同的，即其发出"鸣叫"声的机制原理都是相同的，所能发出最大的声音量级的能力也是相同的。试建立恰当的数学模型来描述并解释此类生态现象发生演化的过程。
2. 对于你以上建立的数学模型，试讨论当树上的知了数目在"鸣叫"的过程中逐渐减少，那么此类生态现象是否会消失，何时消失？
3. 大自然中、社会生活中是否还有类似的自然现象或社会现象，你所建立的数学模型是否可以解释之？请至少举出两例。

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