第七讲建模方法论（6）——建模实例（二）

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:56:20

<

align=left>　　人口增长模型
　　问题分析
　　人口问题给我们这个赖以生存的地球造成的麻烦是越来越多了，资源、环境、疾病以至于温饱都成了问题，所以人们对这个问题给予了充分关注。数据调查的结果表明，近两个世纪以来的人口数字令人震惊：1830年的人口总数为10亿，到1930年这100年间，人口总数翻了一番达到20亿，到1975年不足50年间人口总数又翻了一番达到40亿，按此规律计算下来，到2000年人口总数至少是80亿。当然这预测值是错误的。那么人口增长的规律是什么?如何在数学上描述这一规律成了各界人士关注的一个热点。
　　1798年，英国人口学家马尔萨斯在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了著名的马尔萨斯人口增长模型，通常称之为指数增长模型。用现在的数学建模语言叙述即为：
　　模型假设
　　1．时刻t的人口函数是连续可微的；
　　2．人口的增长率（=出生率-死亡率）是常数；
　　3．人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:56:39

模型建立
　　设t时刻的人口数为x（t），增长率为r（常数）。依平衡原理，在时间段Δt内，有
　　　 {人口增长数}={出生人口数}-{死亡人口数}
　　　　　　　　　 +{迁入人口数}-{迁出人口数}
　　由假设3，上式后两项被忽略掉。于是
　　{人口增长数}={出生人口数}-{死亡人口数} （1.13）
　　又出生或死亡人口数均依赖于两个因素：
　　（1）时间间隔Δt的长短；
　　（2）时间间隔开始时的人口总数x（t），且为正比例关系，从而可写出
　　 Δt间隔内的出生人数= <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image004.gif"> 
　　 Δt间隔内的死亡人数= <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image006.gif"> 
其中 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image008.gif"> 分别为出生率与死亡率，代入（1.13）式便可得到Δt间隔内人口的增量为
　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image010.gif"> 
改写上式为
　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image012.gif"> 
令 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image014.gif"> ，则得
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image016.gif"> 
按假设， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image018.gif"> 为常数r，再设开始时的人口数为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image020.gif"> ，便构成一个初值问题
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image022.gif"> 
　　此即著名的马尔萨斯（Malthus）人口增长模型。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:57:00

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>　　模型求解
　　此为一阶可分离变量方程的初值问题，很容易求得其解为
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image024.gif"> （1.14）
　　模型分析、评价与检验
　　考虑二百多年来人口增长的实际情况。1961年世界人口总数为3.06 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image026.gif"> ，在1961-1970年这段时间内，每年平均的人口增长率为2%，代入（1.14）式可写为
　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image028.gif"> （1.15）
　　根据1700-1961年间世界人口统计数据，我们发现这些数据与（1.15）式的计算结果符合。因为在这期间地球上人口大约每35年增加一倍，而（15）式算出的是每34.6年增加一倍。但利用（1.15）式对1961年后的世界人口进行预测，则会得出令人不能理解的结论：当t=2670年时， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image030.gif"> ，即达到4400万亿人，这相当于地球上每平方米要容纳至少20人。
　　那么用这种指数模型估计的结果与实际结果的误差如此之大的原因是什么呢?当然是模型的假设不合理所至：其一是假设人口增长率为常数不合理；其二是假设3显然也不合理。事实上，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型的结果。这里一个主要原因就是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口快速增长的阻滞作用越来越显著。为了生存及人类文明程度的不断提高，顺其自然地会采取有效措施来控制人口的增长，使增长率成为一个递减数，而可供人类生存的自然资源、环境等条件也为人口数量的最大值给予了强硬的限制。这就导至了比较适合于人口发展规律的新数学模型的产生。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:57:15

模型的修改与重建
　　 1．将增长率r表示为人口x（t）的函数 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image032.gif"> ，按前面的分析， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image033.gif"> 应为x的减函数。为简单，我们假定其为x的线性函数（线性化）
　　　　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image035.gif"> 
　　其中r，s>0，这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率。显然对任意的x>0， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image037.gif"> 。
　　 2．设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image039.gif"> （也称最大人口容量）。因为 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image041.gif"> 时增长率应为零，由此确定 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image043.gif"> ，便得到增长率函数的表达式为
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image045.gif"> （1.16）
　　其中常数r， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image047.gif"> 要根据人口统计数据确定。
　　 3．将指数模型中r换为（1.16）式便得到新模型
　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image049.gif"> （1.17）
称为阻滞增长模型或罗捷斯蒂克（Logistic）人口增长模型。
　　仍然使用可分离变量方程解法可得其解为
　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image051.gif"> （1.18）

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:57:34

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>　　4．模型解的再分析与检验
　　对（1.18）式求二阶导数可得
　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image053.gif"> （1.19）
　　由此我们来分析人口总数 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image055.gif"> 的规律（参照图1-12）：
　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image057.jpg">
　　　　　　　　　　　　　　　　图1-12
　　（1） <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image059.gif"> ，即无论人口初值如何，人口总数均以 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image061.gif"> 为极限，而 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image063.gif"> 是 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image065.gif"> 图形的水平渐近线。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:57:52

（2）当 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image067.gif"> 时， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image069.gif"> ，这说明 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image071.gif"> 是单调增加的；又由（1.19）式知，当 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image073.gif"> 时， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image075.gif"> ，当 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image077.gif"> 时， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image079.gif"> ，即 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image081.gif"> 是x（t）图形的拐点。这就是说，人口变化率函数 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image083.gif"> 在 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image084.gif"> 处取到最大值。
　　根据以上分析可见，人口总数尽管一直是增长的，但有极限值 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image086.gif"> 限制而不会无限增长下去，到了自然资源与环境条件等因素所能容纳的最大人口数时便会停止增长，这是合乎人类发展常识的。另外，人口总数达到极限值一半以前是加速增长时期，此后的增长率会逐渐变小，最终达到零增长。
　　最后， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image087.gif"> 的确定要根据人口统计资料以及自然环境等因素确定，因而当条件改变时， <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_07/htm/sxjm7.files/image089.gif"> 也将随着改变。
　　本例模型，特别是阻滞人口增长模型用途十分广泛。它不仅限于人口增长问题的研究，可稍加修改用于生态、经济、医学等诸领域，届时应注意通过联想与类比等方法运用之。

duanshumo · 发表于 2004-7-24 00:38:45

谢谢你的帖子

coeeoc · 发表于 2004-8-10 02:36:46

THks

aaron34 · 发表于 2007-3-23 06:41:55

楼主是好人!

waisyren · 发表于 2007-3-25 22:10:03

有一数模题：设有n个人参加一个宴会，已知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多？有没有哪位大大知道这题怎么建模啊？求助啊，谢谢！

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第七讲 建模方法论（6）——建模实例（二）

第七讲建模方法论（6）——建模实例（二）