数学模型基础知识

b · 发表于 2004-5-29 21:10:03

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align=center>数学模型基础知识<

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>一．数学模型的定义
 　　现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
二．建立数学模型的方法和步骤
第一、模型准备
 　　首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
第二、模型假设
　　根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、模型构成
　　根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
第四、模型求解
　　可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
第五、模型分析
　　对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不同"，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
 
关于数模竞赛的几本好书
<<数学建模竞赛培训教材>> 共三本叶其孝主编
<<数学模型>> 第二版姜启源
<<随机规划>> 
<<模糊数学>> 
<<数据结构>>
<<数学建模入门>> 徐全智
<<计算机算法设计与分析>> 国防科大
基础：1 数学分析 2 高等代数 3 概率与数理统计 
 4 最优化理论 5 图论 6 组合数学
 7 微分方程稳定性分析 8 排队论

b · 发表于 2004-5-29 21:33:12

数学模型概述<

21pt">数学模型应用于科学技术的每一个领域，是一切科学技术部门的重要工具和手段，也是环境系统分析的基础。应用环境系统工程方法解决环境污染控制问题时，一个重要的技术过程就是将所研究的环境系统行为抽象为数学模型，这是进行定量研究工作的基础。

b · 发表于 2004-5-29 21:33:27

1 数学模型的定义和分类<

17.95pt; mso-char-indent-size: 10.45pt; mso-char-indent-count: 1.71">系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事物 M 与另一个事物 S 之间，满足两个条件：<

38.95pt; TEXT-INDENT: -21pt; tab-stops: list 38.95pt; mso-list: l0 level1 lfo4">1. M 中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表 S 中的一个元素(分量)；<

38.95pt; TEXT-INDENT: -21pt; tab-stops: list 38.95pt; mso-list: l0 level1 lfo4">2. M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。 <wrapblock><v:group><v:shapetype><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t"></v:path></v:shapetype><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 3.906pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.187pt; WIDTH: 29.531pt; TOP: auto; HEIGHT: 13.656pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1045"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>模型 </DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.312pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.75pt; WIDTH: 96.562pt; TOP: auto; HEIGHT: 15.375pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1046"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>图2.1 模型的形式 </DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.218pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.718pt; WIDTH: 49.843pt; TOP: auto; HEIGHT: 15.343pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1047"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>抽象模型 </DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 3.968pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.718pt; WIDTH: 44pt; TOP: auto; HEIGHT: 17.343pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1048"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>具体模型 </DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.031pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.781pt; WIDTH: 154.906pt; TOP: auto; HEIGHT: 44pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1049"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序 </DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 3.875pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.531pt; WIDTH: 160.781pt; TOP: auto; HEIGHT: 48pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1050"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>相似模型

实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型 </DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shapetype><v:formulas><v:f eqn="sum #0 0 0 "></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 #0 "></v:f><v:f eqn="sum #1 0 #0 "></v:f><v:f eqn="sum #1 #0 0 "></v:f><v:f eqn="prod #0 9598 32768 "></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 @4 "></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 #1 "></v:f><v:f eqn="min #1 @6 "></v:f><v:f eqn="prod @7 1 2 "></v:f><v:f eqn="prod #0 2 1 "></v:f><v:f eqn="sum 21600 0 @9 "></v:f><v:f eqn="sum #1 0 0 "></v:f></v:formulas><v:path connecttype="custom" textboxrect="13963,@4,21600,@5" arrowok="t" connectlocs="21600,0;0,10800;21600,21600"></v:path><v:handles><v:h position="center,#0" yrange="0,@8"></v:h><v:h position="topLeft,#1" yrange="@9,@10"></v:h></v:handles></v:shapetype><v:shape></v:shape><v:shape></v:shape><v:shape></v:shape><w:wrap type="topandbottom"></w:wrap></v:group></wrapblock> 我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。从形式上看，模型可分成抽象模型和具体模型。图2-1 列出了抽象模型和具体模型的一些例子。满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型。环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。依照变量与时间关系、变量间关系、变量性质、参量性质等不同的划分方法，可以获得不同的数学模型分类（表2-1）。 表2-1 数学模型的分类<TABLE medium none; BORDER-TOP: medium none; MARGIN-LEFT: 17.4pt; BORDER-LEFT: medium none; BORDER-BOTTOM: medium none; BORDER-COLLAPSE: collapse; mso-border-top-alt: solid green 1.5pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-bottom-alt: solid green 1.5pt" cellSpacing=0 cellPadding=0 border=1><TR><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: green 1.5pt solid; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 93.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: green 0.75pt solid" vAlign=top width=124>划分依据</TD><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: green 1.5pt solid; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 177.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: green 0.75pt solid" vAlign=top width=236>模型类型</TD></TR><TR><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 93.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; mso-border-top-alt: solid green .75pt" vAlign=top width=124>变量与时间关系</TD><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 177.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; mso-border-top-alt: solid green .75pt" vAlign=top width=236>稳态模型动态模型</TD></TR><TR><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 93.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none" vAlign=top width=124>变量间关系</TD><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 177.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none" vAlign=top width=236>线性模型非线性模型</TD></TR><TR><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 93.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none" vAlign=top width=124>变量性质</TD><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 177.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none" vAlign=top width=236>确定性模型随机性模型</TD></TR><TR><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 93.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none" vAlign=top width=124>参量性质</TD><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 177.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none" vAlign=top width=236>集中参数模型分布参数模型</TD></TR><TR><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 93.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: green 1.5pt solid" vAlign=top width=124>模型用途</TD><TD medium none; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; BORDER-LEFT: medium none; WIDTH: 177.3pt; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: green 1.5pt solid" vAlign=top width=236>模拟模型(评价)，管理模型(优化)</TD></TR></TABLE> 数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。这种研究，较之在原型或实物模型上的研究具有很多优点。数学模型的另一个特征是经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。但是，数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造成某些失真。所谓“模型就是模型”(而不是原型),即是指该性质。

b · 发表于 2004-5-29 21:34:16

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>2数学模型的建立<

>2.1建立数学模型的过程<

>一个模型要真实反映客观实际，必须经过实践-抽象-实践的多次反复。建立一个能够付诸实用的数学模型要经历的步骤如图2-2所示.对照图2-2所示的建立数学模型步骤,对各阶段的实施内容可以大致说明如下: 1.数据的搜集和初步分析：数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的充分、准确。在获得一定数<wrapblock><v:group> <v:group><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.75pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 8.312pt; WIDTH: 38.875pt; TOP: auto; HEIGHT: 34.187pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1060"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>观测数据组Ⅰ</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.75pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 8.312pt; WIDTH: 38.875pt; TOP: auto; HEIGHT: 34.187pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1061"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>模型结构选择</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.75pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 8.312pt; WIDTH: 29.875pt; TOP: auto; HEIGHT: 34.187pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1062"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>模型应用</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.625pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 8.312pt; WIDTH: 74.875pt; TOP: auto; HEIGHT: 17.343pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1063"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>观测数据组Ⅱ</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.75pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 8.312pt; WIDTH: 29.875pt; TOP: auto; HEIGHT: 34.187pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1064"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>参数估计</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.937pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 8.312pt; WIDTH: 56.875pt; TOP: auto; HEIGHT: 25.75pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1065"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>检验与验证</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line><v:line><v:stroke endarrow="block"></v:stroke></v:line></v:group><v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 3.843pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.187pt; WIDTH: 129.625pt; TOP: auto; HEIGHT: 23.718pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1075"><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV>图2-2 建立数学模型的步骤</DIV></TD></TR></TABLE></v:textbox></v:shape><w:wrap type="topandbottom"></w:wrap></v:group></wrapblock> 据量以后，应尽早进行数据的初步分析，努力发现规律性或不确定性，以便及时调整数据搜集的策略，为数学模型的建立打下良好的基础。数据分析的主要方法有:时间序列图绘制，反映空间关系的曲线图形绘制或列表，反映变量关系的曲线图形绘制或列表；从中考察和分析系统中各元素的时空变化规律,和元素间关系变化规律。 2.模型的结构选择模型的结构大致可分为白箱、灰箱和黑箱三种。(1)白箱模型根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方法是质量平衡法,在预知污染物质反应的方式和速度时,用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法建立白箱模型并不需要经过图2.2所列的建立数学模型步骤，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很难获得的。(2)灰箱模型即半机理模型。在应用质量平衡法建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常采用经验系数来定量说明。经验系数的确定则要借助于以往的观测数据或实验结果。(3)黑箱模型即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性，可被多种不同类型的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模型在使用时必须注意其导出过程中的取值范围,不可任意进行扩展。 例2-1 在x<4，由归纳法建立的两函数为：<v:shapetype><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0 "></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0 "></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1 "></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2 "></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth "></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight "></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1 "></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2 "></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth "></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0 "></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight "></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0 "></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock v:ext="edit" aspectratio="t"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata src="./ja2.files/image005.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape> 和 <v:shape><v:imagedata src="./ja2.files/image007.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape>，试绘制其函数图形，并分析其扩展性。解：绘制的函数图形如图2-3所示。在x<4时 y 的数值相当接近，因此在这个区间，它们都可能被用作某事物的经验模型，但一旦外推到 x>5 的情况下，两函数的取值相差很远，说明它们不具有扩展性。 <v:shape><v:textbox style="MARGIN-TOP: 4.187pt; LEFT: auto; MARGIN-LEFT: 7.187pt; WIDTH: 246.625pt; TOP: auto; HEIGHT: 16.187pt; mso-next-textbox: #_x0000_s1077"></v:textbox></v:shape><TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%"><TR><TD><DIV class=shape 7.2pt; PADDING-LEFT: 7.2pt; PADDING-BOTTOM: 3.6pt; PADDING-TOP: 3.6pt" v:shape="_x0000_s1077">图2-3 归纳法数学模型的不唯一性和局限性举例</DIV></TD></TR></TABLE><wrapblock><v:shape><v:imagedata src="./ja2.files/image009.wmz" title=""></v:imagedata><w:wrap type="topandbottom"></w:wrap></v:shape></wrapblock> 3.估计模型的参数在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到，灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观测数据或实验结果的基础上。 4.模型的检验和修正结构形式和参数数值确定之后，数学模型就已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验和验证的模型才能在一定范围内应用。输入新的(独立)观察数据,并根据输出数据和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算结果；如果调整参数并不能使模型的精度有所改进，则要考虑模型结构的调整，并重新进行参数的估计和模型验证。经验证明合格的模型，可以在一定范围内应用。在应用过程中，要根据实际系统返回的信息对模型不断地修正和完善。

南山居士 · 发表于 2004-5-30 07:31:28

好帖子.

tae512 · 发表于 2004-5-30 08:12:16

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>占个好位子顶一下~~~~~~

smbw · 发表于 2004-5-30 23:23:26

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>还是太抽象，不是很懂

zhangwei · 发表于 2004-6-5 00:57:01

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>[em06],这么多啊!嗯,不是很懂!<

>看样子你是高手,等到九月十七号的时候,我再来向你请教,OK?

flypetrel · 发表于 2004-6-2 08:59:10

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>请问，做数学建模作业的时候，应该写出哪些步骤呢<

>例如，模型假设，模型求解等等<

>还是什么都不必要，只要写出程序就行？拜托！！

hjiong · 发表于 2004-6-5 02:13:40

能否加入更多的例子,太理论了.

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