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HUASHI3483

二房室的数学模型(有论文哦）
一.急性心肌梗塞(AMI)后心肌酶代谢动力学的一房室数学模型设计

    AMI后心肌酶的动态变化曲线与一次口服或肌肉注射给药后血药时间-浓度曲线极为相似, 对口服给药的一房室数学模型[28]加以改良, 推导了心肌酶代谢动力学的数学模型。基本假设如下:

    1.心肌酶代谢符合一房室模型(图1), 即心肌酶在梗塞心肌中部分被降解, 其余部分释放入血; 心肌酶在血液中被逐渐清除。这些过程均符合一级动力学过程。

┌────┐  ┌────┐

│        │Ka│         │

│ 心肌 │──→│ 血液 │

│       │   │        │

└─┬──┘  └─┬──┘

│Kc         │Kd

↓           ↓   

图1 心肌酶代谢的一房室模型

Kc: 梗塞心肌中的心肌酶的降解速率常数(降解常数)

Ka: 心肌酶由梗塞心肌中释放入血的速率常数(释放常数)

Kd: 心肌酶从血液中被清除的速率常数(清除常数)

    2.AMI后任意时刻心肌酶从梗塞心肌释放入血的量与梗塞心肌内心肌酶含量呈正比, 比例常数为Ka, 称做释放常数; 梗塞心肌内心肌酶的降解量与梗塞心肌内心肌酶含量呈正比, 比例常数为Kc, 称作降解常数; 梗塞心肌内心肌酶在任意时间的变化量等于释放量与降解量之和。微分方程为:

dM=－Kc·M·dt－Ka·M·dt (2)

    M为任意时刻梗塞心肌中酶的含量, 当时间t=To时, M=ET, To为AMI后心肌酶开始升高的时间, ET为梗塞心肌内酶的总量。

    3.AMI后任意时刻血液内心肌酶被清除量与血液内心肌酶的量呈正比,比例常数为Kd, 称做清除常数; 血液内心肌酶的变化量等于进入血液的量减去离开血液的量。微分方程为:

dE=Ka·M·dt－Kd·E·dt (3)

    E为任意时刻血液内心肌酶的含量, 当时间t=To时, E=0。用拉普拉斯变换解微分方程组(2)、(3)可得血液内心肌酶的量E与时间t的关系如下:

Ka·ET

E＝ ─────·EXP[Kd·(To－t)]－EXP[(Ka＋Kc)·(To－t)] (4)

　 Ka＋Kc－Kd

方程两边同时除以血浆量V(或血清量V)即可得血浆(或血清)心肌酶浓度C与 时间t的关系如下:

Ka·CT

C＝ ─────·EXP[Kd·(To－t)]－EXP[(Ka＋Kc)·(To－t)] (5)

　　 Ka＋Kc－Kd

其中: C＝E/V, CT＝ET/V

    无论是正常人还是AMI病人, 当t=To时, 血浆(或血清)心肌酶均有一定基础浓度, 该浓度与心肌酶曲线的峰值相比数值较小, 几乎可以忽略不计, 故在数学模型设计中未考虑心肌酶的基础浓度, 但在实际应用中, 为了减少由此带来的计算误差, 心肌酶浓度C在代入公式(5)前应减去基础浓度加以校正[14]。

二.急性心肌梗塞后心肌酶代谢动力学的二房室数学模型设计

    AMI后心肌酶的动态变化曲线与口服或肌肉注射给药后血药浓度-时间曲线极为相似, 对口服给药的二房室数学模型[28]加以改良, 推导了心肌酶代谢动力学的二房室数学模型。基本假设如下:

    1.心肌酶代谢符合二房室模型(图2), 即心肌酶在梗塞心肌中部分被降解, 其余部分吸收入血; 血液中的心肌酶浓度高于血管外组织液的心肌酶浓度时, 心肌酶可从血液渗出到血管外组织液中, 反之则回渗入血; 心肌酶在血液中被逐渐清除。这些过程均符合一级动力学过程。

┌────┐

│       │    Kc

│    M    ├──→

│       │

└─┬──┘

   │Ka

   ↓

┌────┐ ┌────┐

│ │ Kep │ │

│ E │──→│ P │

│ │←──│ │

└─┬──┘ Kpe └────┘

│Kd

↓

图2 心肌酶代谢的二房室模型

M: 梗塞心肌中的心肌酶

E: 血液中的心肌酶

P: 组织液中的心肌酶

Kd: 心肌酶从血液中被清除的速率常数(清除常数)

Kc: 梗塞心肌中的心肌酶的降解速率常数(降解常数)

Ka: 心肌酶由梗塞心肌中释放入血的速率常数(释放常数)

Kep: 心肌酶由血液渗出至组织液的速率常数(渗出常数)

Kpe: 心肌酶由组织液回渗至血液的速率常数(回渗常数)

   2.AMI后任意时刻心肌酶从梗塞心肌释放入血的量与梗塞心肌内心肌酶的量呈正比, 比例常数为Ka, 称做释放常数; 梗塞心肌内心肌酶的降解量与梗塞心肌内心肌酶的量呈正比, 比例常数为Kc, 称作降解常数; 梗塞心肌内心肌酶在任意时刻的变化量等于释放量与降解量之和。微分方程为:

dM=－Kc·M·dt－Ka·M·dt (6)

   3.AMI后任意时刻心肌酶从血液向组织液的渗出量与血液内心肌酶的量呈正比, 比例常数为Kep, 称做渗出常数; 心肌酶从组织液向血液内的回渗量与组织液心肌酶含量呈正比, 比例常数为Kpe, 称做回渗常数; 即组织液内任意时刻的心肌酶变化量等于渗入量与渗出量之差。微分方程为:

dP=Kep·E·dt－Kpe·P·dt (7)

   4.AMI后任意时刻血液内心肌酶被清除量与血液内心肌酶的量呈正比,比例常数为Kd, 称做清除常数; 血液内心肌酶的变化量等于进入血液的量减去离开血液的量。微分方程为:

dE=(Ka·M·dt＋Kpe·P·dt)－(Kep·E·dt＋Kd·E·dt) (8)

   当时间t为To时, 梗塞心肌内心肌酶的总量为ET, 血液内心肌酶的基础量为和组织液中的心肌酶量均为0, 用拉普拉斯变换解微分方程组(6)、(7)、(8)可得血液内心肌酶的量E与时间t的关系如下:

(K－Kpe)·e－K·t (A－Kpe)·e－A·t (B－Kpe)·e－B·t

E＝ET·Ka ─────────＋─────────＋───────── 　(9)

　　　 　 (B－K)·(K－A) (K－A)·(A－B) 　(K－B)·(B－A)

方程两边同时除以血浆量V(或血清量V)即可得血浆(或血清)心肌酶浓度 C与时间t的关系如下:

(K－Kpe)·e－K·t (A－Kpe)·e－A·t (B－Kpe)·e－B·t

C＝CT·Ka ─────────＋─────────＋───────── 　(10)

　　 　　 (B－K)·(K－A) (K－A)·(A－B) 　(K－B)·(B－A)

其中: C＝E/V, CT＝ET/V, K＝Ka＋Kc,A＋B＝Kd＋Kep＋Kpe, A·B＝Kd·Kpe

在实际应用时, 心肌酶浓度C在代入公式(10)前的校正同一房室模型。

三.心肌酶代谢动力学模型中的各参数对心肌酶活性-时间曲线的影响

1.数学模型

采用AMI后心肌酶代谢动力学的二房室模型(表达式10)。

2.心肌酶代谢动力学模型中的各参数对心肌酶活性-时间曲线的影响

表达式中梗塞心肌内酶的总量CT、释放常数Ka和清除常数Kd是最为重要的三个参数, 固定其中两个参数, 改变其中一个参数, 可观察该参数对心肌酶活性-时间曲线的影响。渗出常数Kep、回渗常数Kpe的临床意义相对较小,在一房室数学模型中甚至未引入这二个参数, 本文根据文献[14]取其平均值。降解常数Kc为固定值, 有待于实验测定, 现取其假定值。各参数取值见表2。用GW-BASIC语言编写计算机程序作图3~5。

表2 CT、Ka、Kd三参数的不同取值

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

编号 CT Ka Kd Kep Kpe Kc

(U/L) (h-1) (h-1) (h-1) (h-1) (h-1)

─────────────────────

改变CT

1 4000 0.10 0.08 0.017 0.02 0.1

2 3000 0.10 0.08 0.017 0.02 0.1

3 2000 0.10 0.08 0.017 0.02 0.1

4 1000 0.10 0.08 0.017 0.02 0.1

改变Ka

1 2000 0.40 0.08 0.017 0.02 0.1

2 2000 0.10 0.08 0.017 0.02 0.1

3 2000 0.05 0.08 0.017 0.02 0.1

4 2000 0.02 0.08 0.017 0.02 0.1

改变Kd

1 2000 0.10 0.01 0.017 0.02 0.1

2 2000 0.10 0.04 0.017 0.02 0.1

3 2000 0.10 0.10 0.017 0.02 0.1

4 2000 0.10 0.40 0.017 0.02 0.1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

四.改良单纯形法非线性回归分析在估计心肌酶代谢参数中的应用

(一)单纯形法非线性回归分析的改良

　　董德元等[29]对单纯形法非线性回归分析(以下简称单纯形法)的计算过程已经做了详细的阐述，本文对原始单纯形法进行了改进, 即:

1.根据专业知识设置了待定参数的上、下界, 在待定参数可能的取值范围内查询最小剩余平方和。

2.多次重构单纯形。

(二)一房室模型计算心肌梗塞面积的曲线拟合误差估计

1.数学模型: 采用AMI后心肌酶代谢动力学的一房室数学模型如表达式(5)。其中, Co、Kc、To为常数, 在本研究中分别取值为0、0.0144和6, Ka、Kd、CT为待定参数。待定参数CT代表心肌梗塞面积, 故有较重要临床意义。

2.假设数据: 假设了20例AMI病人各自的心肌酶代谢参数CT、Ka和Kd(表3), 每例病人均取时间t＝6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,42,48,54,60,66,72,78,84,96等20个点, 代入表达式(5)求得对应的心肌酶值C。

表3 待定参数Ka、Kd、CT的假设值和CT计算值

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

编号 Ka假设值 Kd假设值 CT假设值 CT计算值

────────────────────────

1 0.011 0.223 1795 1794.96

2 0.088 0.152 2114 2114.64

3 0.050 0.126 5123 5123.51

4 0.059 0.135 13567 13566.75

5 0.054 0.123 4793 4793.12

6 0.050 0.135 16861 16861.89

7 0.035 0.153 5899 5898.94

8 0.067 0.249 26726 26725.09

9 0.043 0.197 6307 6307.14

10 0.036 0.110 10837 10837.11

11 0.028 0.159 13737 13736.94

12 0.048 0.403 22260 22259.66

13 0.073 0.110 3528 3537.89

14 0.041 0.110 7508 7507.89

15 0.021 0.198 20539 20539.47

16 0.010 0.135 13278 13277.43

17 0.010 0.130 1249 1248.57

18 0.059 0.225 27108 27107.99

19 0.091 0.280 2753 2750.52

20 0.047 0.426 2633 2632.94

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

3.非线性回归分析: 采用作者编写的改良单纯形法计算机程序, 待定参数CT、Ka、Kd的初值及上、下界值见表4, Kd的上、下界取值依据Willems[14]的报告, CT和Ka的上、下界取值根据专业知识确定。计算机程序在486微型计算机上运行,连续迭代100次而剩余平方和不能减少则终止迭代, 打印输出有重要临床意义的待定参数CT的回归结果。CT的估计值与假设值之间的相对误差计算公式如下:

相对误差＝│计算值－假设值│/假设值×100% (2)

表4 待定参数的初值和上、下界值

━━━━━━━━━━━━━━━━━

CT Ka Kd

─────────────────

初值 2000 0.03 0.50

上界 ** 1.00 0.66

下界 0 0.00 0.11

━━━━━━━━━━━━━━━━━

**未设置上界

(三)改良单纯形法与原始单纯形法估计心肌酶代谢参数中的应用和比较

1.数据样本的取得及数学模型

查阅我院1989~1994年AMI住院病人中有完整心肌酶资料的病历16份, 摘录发病后不同时间(T)点血清中CK活性值(C), 每例病人至少取得7组T-C数据。数学模型如表达式(5)。

2.回归分析

改良单纯形法计算机程序由作者编写, 原始单纯形法计算机程序应用SYSTAT软件中的单纯形法。打印输出各待定参数的回归结果, 计算不合理结果的发生率。

五.梗塞心肌内肌酸磷酸激酶MB同功酶降解常数的估测

1.数据资料来源

Grande[23]报告了8例AMI死亡病人在死亡后不同时间测定的每克心肌组织的CK-MB活性值, 有死亡后6、12、18、24和30小时等5个时间点的CK-MB活性均值, 以死亡后6小时的CK-MB活性值为100%, 其余时间点CK-MB活性值以占其百分率表示, 其数值分别为100%、90%、80%、77%、74%。

2.数学模型

根据心肌酶代谢动力学的一房室和二房室模型的数学假设, 心肌酶在梗塞心肌中部分被降解, 梗塞心肌内心肌酶的降解量与梗塞心肌内心肌酶的量呈正比, 比例常数为Kc, 称作降解常数; 这一过程符合一级动力学过程。暂不考虑心肌酶释放入血, 则心肌内心肌酶活性E与时间t的关系如下[30~32]:

E＝ET·EXP[-Kc·t] (12)

式中ET为梗塞前心肌组织内心肌酶的含量,CK-MB活性的半衰期T1/2的计算公式为[30]:

0.693

T1/2＝──── (13)

Kc

发生心肌梗塞即刻, 心肌细胞尚存活。当心肌缺血持续了一定时间(To), 一般为4小时, 心肌内溶酶体破裂, 释放蛋白水解酶, 心肌酶在梗塞心肌中开始被逐渐降解, 心肌酶在梗塞心肌中的代谢过程才符合上述假设, 若以发生心肌梗塞即刻为时间的零点, 则尚需将参数To(本文中取值为6小时)引入上述公式, 则心肌内心肌酶活性E与时间T的关系如下:

E＝ET·EXP[Kc·(To-T)] (14)

本数学模型被称作单指数模型。

3.非线性回归分析及统计学处理

将5个时间点的CK-MB活性值代入公式(3), 应用作者编写的单纯形法计算机程序在486微型计算机上运行, 迭代次数为100次。打印输出Kc、T1/2和复相关系数R。R计算公式[29]为:

R＝√1-估计误差平方和/总离均差平方和 (15)

拟合优度检验采用方差分析。

六.一房室模型和对数正态模型对急性心肌梗塞后肌酸磷酸激酶(CK)曲 线拟合的比较

1.病例选择

查阅我院1990~1995年AMI住院病人中有完整心肌酶资料的病历22份, 摘录发病后不同时间(T, 小时)点对应的血清中CK活性值(C, 单位/升), 每例病人至少取得7组T-C数据。

2.数学模型

(1)一房室模型如表达式(5)。

(2)对数正态模型[15]

血清或血浆心肌酶活性C与时间T的关系的对数正态模型如下:

b (lnT-c)2

C＝──·EXP ────── (16)

T -2·d2

其中b、c、d为待定参数。

3.非线性回归分析及统计学处理

非线性回归分析采用改良单纯形法, 应用作者编写的BASIC语言程序在486微型计算机上运行, 迭代次数为5000次。待定参数的初值和上、下界值见表5。打印输出各待定参数的计算结果和复相关系数R。两种模型各自的和两种模型之间的拟合优度检验均采用方差分析,两种模型估计误差平方和的比较采用配对t检验。做Ka和从持续胸痛开始至出现CK峰值的时间(h)的直线相关分析。

表5 待定参数的初值和上、下界值

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

CT Ka Kd To b c d

───────────────────────

初值 2000 0.1 0.30 6 1200 3 0.5

上界 ** 1 0.66 10 ** ** **

下界 0 0 0.11 0 ** ** **

HUASHI3483

"平等"的理性分析(有论文哦）
"平等"的理性分析
                                        何逊

    人与人之间要平等，但不少人有一种错误的理解：平等即是绝对平均分配。以下我运
用纯粹理性的方法来分析什么才是真正的平等。
    首先建立三个公设：
   (1)社会要发展进步，就必须存在差异和层次，即人的能力是不同的。
   (2)每个人对社会资源占有量也是不同的，越多，心情越愉快；但若少到一定程度，就
会犯罪。
   (3)社会效益等于各个人对社会贡献的总和，对单个人来说，贡献=心情*能力*资源。
    然后建立数学模型：
    设n个人，能力为L1...Ln，对社会资源占有量为Z1...Zn。
    社会资源总量为Z=Z1+Z2+...+Zn。公平参考比例因子为G=Z/(L1+L2+...+Ln)。
    心情愉快度函数为Yi=X(Zi/Li,G)(i=1...n)。当Zi/Li=G时，Yi=1，人是愉快的
；Zi/Li越大越好；当Zi/Li=G/2时，Yi=0，人的心情处于临界点；Zi/Li再小，Yi<0，
人就犯罪，对社会贡献是负数。
    社会效益为P=Y1*L1*Z1+Y2*L2*Z2+...+Yn*Ln*Zn。
    则有三种资源分配方案：
    (1)Zi=Li*G(i=1...n)。即能力强的人，占有社会资源的量就多；能力弱的人，占
有社会资源的量就少。
    (2)Zi=Z/n(i=1...n)。即绝对平均分配。
    (3)Zi=Z*(1/Li)/(1/L1+1/L2+...+1/Ln)。即能力强的人，占有社会资源的量反
而少；能力弱的人，占有社会资源的量反而多。
    显然第一种情况的P值最大，第三种情况的P值最小，这在思维中也是符合逻辑的。这
说明，真正的平等是按能力分配。对于每个人所享有的权利和承担的义务也是如此。理性立
法正是要保证这点。硬性规定平均分配，反而是真正的不平等。而第三种情况，在现今十分
普遍，因而现在的情况并不是最佳的。
    当然，社会要平衡稳定，人与人之间要友爱互助。但从总体上说这与"平等"是不矛盾
的。

HUASHI3483

奥运会场馆的人员疏散问题(有论文哦）

                                           奥运会场馆的人员疏散问题

    2008年奥运会将在北京举行，奥运会期间的交通问题是非常重要的问题。特别是开幕式、
闭幕式这样的场合，参与人员多，离开时间集中，对交通设施的建设和车辆的安排调度都是一
个值得探讨的问题。
    根据你所了解的往届奥运会举办城市的有关交通方面的解决方案的信息，考虑到北京市的
场馆设施和交通状况，请你分析和设计一套可以保证在奥运会期间的任何仪式或比赛结束后能
够在合理的时间内将人员疏散的方案，方案的设计要尽可能的节省投资。
假设场馆坐落在市郊，可容纳10万人，附近有足够通行能力的高速公路。要求就场馆的出口、
通道、停车场的设置、合理的车型、各类参加人员的构成估计、车辆的调度、可以接受的等待
时间等问题进行分析和设计，建立适当的数学模型来解决。给出一个模拟疏散实况，计算全部
撤离所需的时间。

HUASHI3483

奥运会场馆的人员疏散问题
                    作 者： 龙中胜 粟 宇 舒建华
                   指导老师： 黄江华 汪建军 孙德才
摘要： 本文对北京市2008年奥运会人员疏散问题进行了分析，根据往届奥运会的交通问题相关经验，我们先作出一个简单的人员疏散模型后，再逐步优化。模型求解过程我们利用数学软件MATLAB，通过大规模数据采掘来确定一个合理的疏散时间。
此模型考虑到影响疏散时间的长短主要是交通流量，要使疏散时间越短，只有实行交通总量控制，均衡路网流量。
关键词： 交通流量 、 疏散时间 、 会场人员疏散方案 、数学模型

一、 问题提出：

2008年奥运会将在北京举行，奥运会期间的交通问题是非常重要的问题,特别是开幕式、闭幕式这样的场合，参与人员多，离开时间集中,对交通设施建设和车辆的安排调度都是一个值得探讨的问题。
根据你所了解的往届举办城市的有关交通方面的解决方案的信息，考虑到北京市的场馆设施和交通状况，请你分析和设计一套可以保证在奥运会期间的任何仪式和比赛结束后能够在合理的时间内将人员疏散的方案，方案的设计要尽可能的节省投资。
假设场馆坐落在市郊,可容纳10万人，附近有足够通行能力的高速公路。要求该场馆的出口、通道、停车场的设置、合理的车型、各类参加人员的构成估计、车辆的调度、可以接受的等待时间等问题进行分析和设计，建立适当的数学模型来解决。给出一个模拟疏散实况，计算全部撤离所需要的时间。


二、问题分析：
1、考虑到场馆在人员的疏散在路径上的各个环节存在链式效应( 即场馆的出口道的个数和大小、停车场的数量和类型、车辆的型号和数量等都具有瓶颈作用) 因此在方案设计过程中，我们必须全面的考虑它们的制衡关系，从节省投资成本和及时疏散等方面，找到最佳结合点，并且设计出该最佳情况下，出口、通道、停车场的设置等的方案。
2、由于参加人员的层次不同，因此在人员的疏散过程中必须区别对待，譬如需要优先满足首长、来宾、代表团、裁判员以及运动员的交通引导和疏散工作。同时，对车型的安排必须满足不同层次的要求，对允许接受的等待时间也必须作出不同的安排。
3、根据所确定的方案，模拟疏散的实况，计算全部撤离所需的时间，再找出与疏散成本和时间有关的参数，依据这些参数的不断变化，确定政府的最佳宏观调控策略和作用。
三、模型假设：
1、该场馆坐落在市郊，可容纳10 万人，附近有足够通行能力的高速公路，我们只考虑该场馆满负荷运作，即需要一次性疏散10万人；
2、型号相同的车可以容纳数量相等的人，并且每台车每次都满载运行；
3、将所有人员全部送上高速公路即为疏散完毕；
4、人员是从场馆步行至停车场，然后乘车向高速公路疏散，并且人的步行速度和车辆驶向高速公路的速度一定；
5、在人员的疏散过程中，所需车辆可以满足要求,即有足够的车辆能随时补充开出的车辆；
四、符号系统：
1、 场地到停车场的距离 2、 停车场至高速公路的距离
3、 人的步行速度 4、 车辆驶向高速公路的速度
5、 车辆等待的时间 6、 贵宾所占的比重


五、模型建立与求解：
模型Ⅰ
此模型是在不考虑管理控制的情况下，建立人员疏散的一般模型。人员的疏散过程经由n 个大小相同的出口、通道，步行至停车场，然后送至高速公路，并且使用统一型号的运输工具，又由于没有管理控制，故每个人所选择的出行路径都是随机的，根据最大熵原理，对于连续型概率分布，概率密度p(x) ，其中 ，则随机的熵为： ，可得均匀分布的熵最大。因此，对于这样一个系统，我们可以近似地认为每个出口通过的人数都是一样的，且每一个出口对应一条通道，一个停车场，则可根据链式效应，求出相应的疏散时间。
第一批人疏散时间为： ……..(1)
总的疏散时间为： ……..(2)
人员的流动速度为： ……..(3)
表示每分钟通过的车辆数
表示每辆车的载客数
……..(4)
表示出口的个数
表示每个出口每分钟通过的人数



我们先代入一些随机数据，求出相应情况下的有关数据如下表:
随机取数据次数 1 2 3 4 5
V1(米/分) 80 85 90 95 100
V2(米/分) 500 550 600 650 700
S1(米) 100 200 300 400 500
S2(米) 1000 1200 1500 1600 2000
b1(人) 10 15 20 25 30
b2(人/分) 10 30 35 40 45
n1(辆/分) 10 100 150 200 300
n2( 个) 1 10 15 20 25
t0(车等待时间) 5 8 10 12 13
t1=s1/v1 1.25 2.3529 3.3333 4.2105 5
t2=s2/v2 2 2.1818 2.5 2.4615 2.8571
t31=10万人/n1 b1 1000 66.667 33.333 20 11.111
t32=10万人/n2 b2 10000 333.33 190.48 125 88.889
t3(max)(分) 10000 333.33 190.48 125 88.889
t3(min)(分) 1000 66.667 33.333 20 11.111
T=t0+t1+t2+ t3(max)(分) 10008 345.87 206.31 143.67 109.75
T=t0+t1+t2+ t3(min)(分) 1008.3 79.201 49.167 38.672 31.968
由上表可以得出:
要想疏散时间越短,我们就要控制好在每一个阶段的人流速度,不要出现瓶颈现象,为此我们先根据最大人流速度,来确定其它阶段的人流速度,要想疏散时间最短,我们只有使每一个阶段人流速度等于最大人流速度,根据上表的数据我们知道最大人流速度 , 其对应的最短疏散时间为: 31.968分钟.
模型Ⅰ在建立的过程中存在很多明显的缺陷，如对车辆采用同一种型号，人员的流动不加限制、随机分布，场内人员不分层次等，数据的随机性,取最大人流速度时没有考虑到经费合适等一系列问题,显然与现实相差甚远.因此，对模型Ⅰ无论从硬件，还是从软件都作出更符合实际的分析、优化，从而得出一个更加贴近现实，更具有实用价值的模型Ⅱ.
模型Ⅱ　
一、硬件方面
场馆的设计
对场馆的结构和布局，要求我们参照现行北京市体育场馆的有关资料，抽象出场馆的规划模型，得出场馆的形状大致成圆形层叠式结构，主席台设在场馆的中央，其中场馆内的坐位只分为贵宾位和一般位两种，其中贵宾位设在与该圆同原点的小圆上， 贵宾位外圆环及上层圆环均设为一般位，并且将每个圆环均分为若干扇区，每个扇区均设一个大小相同的出口，每个出口都有通道可直达各类停车场，并且各通道的长度是相等的，为了确保贵宾的安全和快速疏散的要求，我们在贵宾位区域内设定一条专供贵宾通行的地下通道，可直达贵宾停车场。
停车场的设计
停车场按不同的层次的要求，可分为贵宾停车场和一般停车场，同时，贵宾停车场又分为大客停车场和小汽车停车场等，一般停车场又可分为公交车停车场，大客车停车场，小汽车停车场等。由于考虑到贵宾需要优先疏散及其它原因，因此贵宾停车场与场馆的距离要相对比一般停车场近些，考虑到场馆的和谐美观等因素，其它类型的停车场在满足疏散速度要求后，要尽可能的离场馆远些。同时，我们假设同一类型的停车场与场馆的距离是相等的。
软件方面
管理控制设计：
我们要求每个扇区内的人只能从规定的扇区出口行走出场馆后，根据自己的需要选择停车场的类型，然后上车向外疏散。 人员向外疏散的过程是均匀的，即从场馆到高速公路这一段之间，每一个环节的人流是相同的，人员的等待只在场馆内进行，外面无需建立人员流动的缓冲区，贵宾与一般人员同时开始疏散，只有当贵宾的疏散与一般人员疏散发生冲突时，优先疏散贵宾。

从而可得出如下关系式：

贵宾的疏散时间为： ……..(5)
一般人员的疏散时间为： ……..(6)
总时间为： ……..(7)
现在考虑到链式效应，可根据 、 确定出口个数及大小，公交车的数量与型号，停车场的大小和数量等，使得他们在每一个环节都必须不小于 、 ，从成本的角度考虑，则又不允许太大，
从而得出：
一般人员
……..(8) ……..(9)
……..(10)
n1 每分钟驶出的公交车的辆数 b1 每辆公交车的载客量
n2 每分钟驶出的大客车的辆数 b2 每辆大客车的载客量
n3 每分钟驶出的小客车的辆数 b3 每辆小客车的载客量
一般人员每台车停留的时间 场馆内一般位划分的扇区个数
每个出口单位时间通过的人数
贵宾人员
…(11) …(12)
n4 表示每分钟大客车的辆数 n5表示每分钟大客车的辆数
步行长度 停车场至高速公路的长度
并根据实际情况代入相应参数，便可得出相应措施的一组数据列表如下：

取数据次数 1 2 3 4 5
V1(米/分) 90 90 90 90 90
V2(米/分) 6000 6000 6000 6000 6000
v3(米/分) 4800 4000 3200 2400 1600
V4(米/分) 2800 2800 2800 2800 2800
S1(米) 500 500 500 500 500
S2(米) 1000 1000 1000 1000 1000
S3(米) 100 100 100 100 100
S4(米) 1400 1400 1400 1400 1400
b1(个/台) 40 40 40 40 40
b2(个/台) 40 40 40 40 40
b3(个/台) 4 4 4 4 4
(个/分) 150 150 150 150 150
n1(辆/分) 50 40 30 20 10
n2(辆/分) 50 40 30 20 10
n3 (辆/分) 200 200 200 200 200
n4(辆/分) 50 50 50 50 50
n5(辆/分) 200 200 200 200 200
(个) 32 27 22 16 10
(分) 0.5 0.5 0．5 0．5 0．5
(分) 0.5 0.5 0．5 0．5 0．5
t2 (分) 6.23 6.23 6．23 6．23 6．23
t2(分) 1.84 1.84 1．84 1．84 1．84
(分) 25.0 28.7 34．3 43．7 62．5
t1 (分) 5.4 5.4 5．4 5．4 5．4
N(万个) 10 10 10 10 10
0.1 0.1 0．1 0．1 0． 1
(分) 25.0 28.7 34．3 43．7 62．5

此模型虽然较为全面的分析了人员疏散问题，并得出了与人员疏散速率、成本以及其它因素相关的参数，从而可以利用该模型这些相关参数，在满足条件的情况下确定最优的场馆设施的设计和人员调度的优化方案,但此模型也存在某些方面的不足。例如在人员的疏散过程中考虑各个环节之间在整个过程中速度相等，但事实上在每一小段时间内的速度不一定相等，停车场的设计也较粗糙等等。因此，对模型Ⅱ做进一步的修改,便得到模型 Ⅲ。
模型　　Ⅲ
硬件方面

场馆的设置：
我们在参照现行北京市体育馆的有关结构和布局(见附图)的基础上，作出适当的优化改进，其中在模型Ⅱ的基础上改进了人员的出口、通道位置、大小、方向。

停车场设计：

为了更好地满足贵宾的安全和快速疏散的要求，将贵宾停车场直接设在场馆的地下，而一般的停车场则在与场馆等距离的圆周上建立多个排列均匀停车场，每个一般停车场又分为公交车停车场、大客车停车场、小汽车停车场，贵宾停车场又分为 大客车停车场、小汽车停车场，从而确保了更大可能的疏散要求。但一个场馆不可能同时建立如此多的停车场，这不仅造成资金的浪费，也为场馆以后的综合利用带来负面影响。因此，在考虑到大型活动和平时需要基础上，建立永久停车场和临时停车场两类。
软件方面
管理控制：
贵宾可以从贵宾停车场疏散，也可从一般停车场疏散，而一般人员只能从一般停车场疏散。人员向外疏散过程是连续的但不均匀的。即在每一个环节人流的速率是不一样的，人员的等待可以在多个环节进行，各环节均需要建立人员流动的缓冲区，另外，一般人员还有一部分步行疏散，从而得出以下关系式：
贵宾不占用一般人员疏散资源时
贵宾的疏散时间为：
……..(13)
一般坐车人员疏散时间为：
……..(14)
总时间为:
……..(15)
其中β为一般人员步行疏散的比例。
由于链式效应，可知： 、 均由各环节中最小环节确定，即由最后的环节确定。从而得出：
……..(16)
贵宾人员： ……..(17)
一般人员： ……..(18)
……..(19)
当贵宾需要占用一般人员的疏散资源时，考虑只有当贵宾全部疏散完毕后，一般人员才开始疏散的情况，可得：
贵宾人员： ……..(20)
……..(22)
……..(23)
……..(24)
……..(25)
一般人员：
……..(26)
……..(27)
……..(28)
总时间为： ……..(29)
根据实际情况代入相应参数，可得一组数据如下：
取数据次数 1 2 3 4 5
V1(米/分) 90 90 90 90 90
V2(米/分) 6000 6000 6000 6000 6000
v3(米/分) 4800 4000 3200 2400 1600
V4(米/分) 2800 2400 2000 1600 1200
S1(米) 500 500 500 500 500
S2(米) 1000 1000 1000 1000 1000
S3(米) 100 100 100 100 100
S4(米) 1400 1400 1400 1400 1400
b1(个/台) 40 40 40 40 40
b2(个/台) 40 40 40 40 40
b3(个/台) 4 4 4 4 4
n1(辆/分) 50 40 30 20 10
n2(辆/分) 50 40 30 20 10
n3 (辆/分) 200 200 200 200 200
n4(辆/分) 50 40 30 20 10
n5(辆/分) 200 200 200 200 200
(分) 0.5 0.5 0．5 0．5 0．5
(分) 0.5 0.5 0．5 0．5 0．5
t2 (分) 6.23 6.23 6．23 6．23 6．23
t2(分) 6.23 6.23 6.23 6.23 6.23
(分) 22.5 25.9 31.5 40.0 48.5
t1 (分) 5.4 6.0 6.5 8.1 9.6
N(万个) 10 10 10 10 10
0.1 0.1 0．1 0．1 0． 1
0.1 0.1 0.1 0.1 0. 1
(分) 22.5 25.9 31.8 41.3 50.0


五、模型评价与分析：
模型Ⅰ从一般的角度阐述了疏散过程中疏散时间与其它参数之间的关系，虽然考虑得比较粗糙，但可根据此模型参数的关系，确定模型改进的具体措施。从而优化这些参数，得出模型Ⅱ，模型Ⅱ较全面地、很实际地分析了人员疏散过程。尤其是对贵宾的区别对待，对人员流动控制，使其连续均匀疏散等做出较好的优化，但也存在不足，考虑到贵宾疏散不能满足要求时，停车场优化设计等还得出模型 Ⅲ。模型 Ⅲ 则首先在对疏散的一般人员分为需乘车和不需乘车两种。在特殊情况下可允许先让贵宾全部疏散完毕，再疏散一般人员。在多环节建立人口流动缓冲区，这更加实际反映了疏散过程。并且以上多模型均给出了明确的数字表达式，定量地分析了各参数的关系。
但上述模型也存在不少不足，由于模型的参数较多，且有关参数需要查阅相关资料才能得出，并且许多因素之间关系复杂，不能给出一个确定的答案，只能根据一些参数来确定 另一些参数，也只有在相关参数确定的情况下，才能模拟疏散的实际情况，计算出全部疏散所需要的时间。

六、 参考文献：
[1] 北京市盈率2008年交通规划及管理
--------------------来自 中国停车行业网
[2] 九运会交通组织经验与启示
--------------------来自 城市交通网
[3] 奥运面面观---悉尼交通全接触
-------------------- 来自 洋城体育
[4] 数学模型
---------------姜启源 编 高等教育出版社


日期: 2003年7月25日


附录：
（1） 现行北京市体育馆的有关结构和布局图：

（2）奥运会主会场--国家体育场
图为计划修建的奥运会主会场，承担奥运会的开、闭幕式以及田径比赛


另一篇见

http://www.hstc.edu.cn/xibu/sxx/sxjm/jmhd/shuxuejianmo7.doc

HUASHI3483

男生追女生问题(有论文哦）
关于男生追女生的数学模型[转帖]
时刻A君的学业成绩为Y(t)；
B女对A君的疏远度为X(t);
当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长（平时发现的A君的不良行为）
符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。
当Y(t)存在时，单位时间内减少X（t）的值与X(t)的值成正比，比例常数为b，从而
dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t).
在假定A君发起对B女追求攻势后，立即转化为B女对A君的好感，并设定转化系数为α，而随着的A君发起对B女的攻势后，A君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。
于是有dY(t)/dX=αbX(t)Y(t)-eY(t).
这样，就得到了由学业与疏远度所构成的两个数字在无外界干扰的情况下互相作用的模型：
{dX(t)/dt=aX-bXY;dY(t)/dt=cXY-eY.(1)}其中c=αb.
这是一个非线性自治系统，为了求两个数X与Y的变化规律，我们对它作定性分析。
令{aX-bXY=0;cXY-eY=0.}
解得系统（1）的两个平衡位置为：O(0,0),M(d/c,a/b).
从（1）的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分:
F(X,Y)=cX-dln？X？-aln？Y？=k. (2)
容易求出函数F（X,Y）有唯一驻点为M（d/c,a/b）
再用第五章中所讲的极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。
同时易见，当X→∞（B女对A君恨之入骨）或Y→∞（A君是一块只会学习的木头）时均有F→∞; 而X→0（A君作了变形手术，B女对他毫无防备）;Y→0（A君不学无术，丝毫不学习）时也有F→∞.
由此不难看出，在第一像限内部连续的函数，z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k(k＞0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k(k＞0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。
从生态意义上看这是容易理解的，当A君的学习成绩下降时，B女会疏远A君；于是A君就又开始奋发图强，学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往，疏远度又下降了。与B女交往多了，当然分散了学习的时间A君的学习成绩Y(t)下降了。然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上，由（1）的第二个方程可得：dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分，得：
∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3)
注意到当t经过一个周期T时，点（X,Y）绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：
∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0.
所以，由（3）式可得：
（∫Xdt）/T=d/c.
同理，由（1）的第一个方程可得：
（∫Ydt）/T=a/b.
现在考虑追求攻势对上述模型的影响。
设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为：
{d X/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY;dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y}(4).
将（4）式与（1）式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把（1）中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。
因此，对（4）式有
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c,y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5).
利用（5）式我们可见：
攻势作用力h的增大使X’增加，Y’减少。考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与无考试期间相比，将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。

此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到
满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上
适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！！！！！！！！

HUASHI3483

篮球投篮的最佳角度问题(有论文哦）
一个运动员犯规，对方运动员要中距离（运动员距离篮圈中心距离小于10米）定点投篮，问其最佳投球角度是多少
请见点击

shui618

不错

hgch1982

我觉得“蛋白质分解成氨基酸的问题”如果用lingo来解会有一个非常简单的方法，那就是给每一个a附一个权值，表示x中包含的a的个数，今年暑假建模辅导碰到这个题目时我曾经那样解过，并获得了成功。参加竞赛时我也曾经用类似的方法解过B题，得了一等奖。不知道那样对不对？

HUASHI3483

                          数学模型和王朝寿命研究
一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。
    　　　　　　　　　　　　　　——马克思

1历史学家与数学家的合作

    本章，我们将给出中国封建社会超稳定系统的一个近似的数学模型。
    每当人们试图把数学应用到错综复杂的历史研究中时，常常会碰到两方面的极端意
见：一种是数学万能论，企图用数学解决一切问题，推出人们凭历史直觉难以想象的结
论；另一种则否定数学应用于历史研究的可能性。在后一种意见看来，数学描述的对象
只能是机械的、简单的、定量的关系，而历史过程太复杂，不宜于运用数学进行研究，
尤其是对于涉及人的有目的的活动应用数学工具进行研究，那不过是赶时髦和贴标签而
已。
    这两种看法，都是对数学的本质不够了解而造成的。实际上，用数学来描述规律，
只不过是把人们用直观和语言所把握的规律形式化、定量化、精确化而已。数学符号表
达式和文字语言描述是等价的。对于规律的把握，如果用语言描述做不到，那么用数学
工具也是不可能的。因此，前面说的第一种观点几乎是一种幻想。然而，当研究对象关
系措综复杂，用直观推理会造成混乱时，运用数学方法却会显示出其简洁、准确的效用。
可见，认为不能用数学模型来研究历史也是片面的。以往历史研究中应用数学不成功，
这有两方面的原因：一方面，数学工具本身还有待于发展；另一方面，历史研究要提供
较为明确的规律性认识，以至于清晰到可供运用数学工具进行研究时才好运用数学工具，
但过去往往缺乏这个条件。这就需要历史研究工作者和数学工作者共同努力。
    把数学应用到社会科学研究中，往往有三个必需的步骤：
    第一，社会科学对某些问题的研究已深入到一定程度，我们对其规律性已经可以用
描述性语言表达。
    第二，将描述性语言转化为数学语言。
    第三，应用数学语言推理，使讨论越出直观描述性语言所把握的深度，向精确化、
定量化方向发展，推出直观一下子难以把握的某些结果。
    在这三个必要步骤中，第一和第二步是基础，称为“提出数学模型”，或称“数学
化”。第三步是用数学语言讨论模型。一般人们所理解的运用数学方法，则往往只看到
第三步。其实，对于社会科学家最重要的是第一、二步。
    在本书前九章中，我们用描述性语言分析了超稳定系统。
    这是运用数学模型方法进行研究的基础。本章，我们主要是完成第二步，表明如何
把描述性语言所叙述的规律转变为数学语言，提出中国封建社会超稳定系统的数学模型。2从事件到数轴的映射：寻找主要变量

    我们提出的数学模型仅局限于讨论王朝寿命问题。这样就可以暂时撇开中国封建社
会超稳定系统其他方面的性质。前面，我们已经证明影响王朝盛衰的因素可以归结为无
组织力量和一体化调节力量这两个主要的变量。
    我们用Φ来表示整个社会的无组织力量，用Ψ来表示一体化调节力量。整个社会无
组织力量Φ成为经济、政治、意识形态三结构无组织力量的总和，即：
    Φ=Φ（经济）十Φ（政治）＋Φ（意识形态）
    Φ（经济）主要表现为土地兼并的程度。从原则上讲，土地兼并的程度是可以计量
的。
    Φ（政治）是官僚机构的腐朽和膨胀程度的度量。第五章的曲线就是一种计量方法。
    Φ（意识形态）是意识形态结构中的无组织力量，它似乎不好计量。但是我们在前
几章证明它与经济。政治结构中无组织力量是成正比相关增长的、也就是说，存在着如
下关系：Φ（意识形态）=k1Φ（政治）＋k2Φ（经济）。所以，我们可以说，Φ是可以
计量的一个变量。
    Ψ代表一体化调节力量。控制论关于系统的控制能力度量单位是“比特”，即单位
时间内能作出多少二择一事件的选择。目前为止，我们并没有统计过中国封建超级大国
在单位时间内拥有多少比特的调节能力，但Ψ也是可以计量的。
    要用数学模型来讨论王朝盛衰，还必须有一个变量来表示王朝盛衰的状态。但要找
出一个统一的量来度量王朝盛衰是有困难的。怎么办呢？数学中采用了一种重要方法，
即规定一个从事件（在这里是王朝强盛、衰落或分裂等的各种可能状态)到数轴S的一个
映射，使得各种状态对应着数轴S上不同的数，如图33所示。S上的点并不真正代表某一
个可以实际计量的代表王朝盛衰状态的量，它只是一种简化了的数学表示方法。这种方
法在物理学和生物数学中经常应用。如在广义相对论中引进空间曲线坐标系，空间不同
位置的点与不同的数对应。这一坐标系仅仅是用数来表示空间不同位置，本身并无长度、
角度等实在物理含义。这种表达方式可以使模型形象化，又不妨害计算。
    我们把S称为“状态变量”，因为它描述模型中王朝盛衰状态。Φ和Ψ则称为“控制
变量”，它们是影响王朝盛衰的两个主要条件。找到状态变量和控制变量，是提出模型
的关键性步骤。

    3王朝稳定性的数学表示

    前几章中，我们论证了这样一个观点；一体化调节力量越大，无组织力量越小，王
朝就越稳定。而当Ψ很小，Φ很大时，也具有这种性质。状态G是不稳定的。它不处于势
函数曲线的洼中，只要有微小的干扰就会很快变化到两个稳态之一中去。形象地讲，系
统处于稳定态，好比小球处于低洼的坑中。
    对于不同的系统，变量的内容千差万别，稳定机制也极不相同。但这种高度抽象的
数学表达方式，抓住了系统稳定性在行为方式上的共同特点，从而为研究系统稳定性是
怎样随不同因素而变化提供了一般性的数学语言。
    这样一来，Φ和Ψ这两个变量是怎样影响王朝的稳定性就可以用洼的深浅形象地表
示了。一体化的调节力量越大，王朝的大一统局面就越稳定，其表示方法是Ψ越大，B洼
就越深。而无组织力量越大（Φ越大），代表大一统的B洼就越浅。随着无组织力量增加
Ψ减小，势函数变化如图35、图36、图37所示。当无组织力量Φ增大到一定程度时，B洼
就消失，这时大一统王朝不稳定，系统不能再处于B，它一下子离开B，向A突变，如图3
7所示。这就是王朝崩溃。如果在崩溃动乱中无组织力量没有减少，系统就会落入A洼，
呈分裂割据状态。同样，如果一开始社会处于分裂割据状态A，随着一体化调节力量的不
断增加，Φ增大，势函数曲线就会如图38、图39、图40所示的变化。当一体化调节力量
Ψ大到一定程度，分裂局面就维持不住了，系统重新从A状态突变到B状态，表示新的统
一王朝的建立。我们找到王朝稳定性的数学表示，也就找到了王朝崩溃和建立的表达方
法了，这就为建立数学模型奠定了基础。

    4行为曲面与盛衰曲线

    建立模型最重要的是明确Ψ、Φ两个变量和S的关系。我们以Ψ、Φ两个变量组成底
平面，S为垂直坐标，在SXΨXΦ空间大一统封建王朝就不稳定，封建割据的分裂状态倒
是稳定的。我们在讨论Ψ、Φ是如何影响S的时候，首先要设法用数学语言来描述王朝的
稳定性。
    控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地用势函数趋
于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数曲线的一个洼。如图34
中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在A点，第二个洼的中心位置在B点。只要系统
处于A点或B点，都是稳定的。
    为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态可以看作是
当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离回到稳定态。图34中的
两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏离稳态A时，系统的势函数就相应增大
了。系统的稳定机制是使势函数趋于最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态A。在
图34中。这一稳定机制形象地表示为系统状态自动地下滑回A点。同样，另一个洼B点，
中，描述S和Ψ、Φ关系的是一曲面，我们称之为“行为曲面”。
    知道了行为曲面的形状，就知道Ψ、Φ怎样决定S了。但由于我们不知道势函数G(S、
Ψ、Φ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。但前面的讨论已明确，势函
数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，另一个洼代表封建割据状态。并且，Ψ
越大，Φ越小时，大一统状态就越稳定，其相应的洼就越深。而当Φ越大，Ψ越小时，
代表封建割据状态的另一个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解
函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡
是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型来表示，其
行为曲面如图41所示。行为曲面上任一点表示不同的Ψ、Φ值下封建王朝所处状态。行
为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于B状态，即大一统状态；折叠的下半叶表
示A状态，即分裂割据状态。折叠面之间的尖角形空间表示大动乱，它是由B到A突变过程
的不稳定状态。当Ψ和Φ都很小时，折叠消失在Q’点七，就是说Φ和Ψ趋于0时，社会
组织几乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
    行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图42）。折叠的一边
Q’M’在底平面上的投影为QM，另一边Q’N’的投影为QN。我们将QN称为“建朝边界”，
QM为“动乱边界”。为什么要这样称呼呢？如果社会一开始处于分裂割据状态K，随着Ψ、
Φ两个量的变化，社会状态沿着KK’曲线在曲面上变化，一旦到达Q’N’边界上，分裂
割据状态的面就中断了。系统状态将突变到行为曲面上半叶的L点，表示大一统的新王朝
建立。K’点相应的Ψ和Φ值正好在QN线上，也就是说QN线表示一条边界，只要Ψ、Φ值
一旦达到它，新王朝建立，所以称QN为建朝边界。同样，只要Ψ、Φ值落到QM线上，系
统状态就从上半叶跌落下来，跌落过程处于折叠区的空间，表示社会的大动乱。所以QM
线称为动乱边界。在底平面图上，QM以下的区域表示系统处于分裂割据状态，大一统王
朝不能建立。现在，我们可以用图41所示的模型来形象地描述中国封建王朝的盛衰变化
了。我们假定，一个新王朝建立时Ψ、Φ的情在a1点上，随着Ψ、Φ两个值的变化，社
会状态点在行为曲面的上半叶沿着曲线a1b'd'1运动。到达d'1点上，Φ、Ψ值就到达了
动乱边界，大动乱以突变的方式出现，社会状态顺着d'1K线落下来。一旦社会状态脱离
d'1点处于两个折叠面中间时，表示整个社会处于不稳定的大动乱之中。这时，就有两种
可能性。一种是大动乱有效地杀伤了无组织力量，使Φ位迅速变小，也就是说Φ值在社
会状态离开d'1点时就开始减小，还未落到行为曲面下半叶时，无组织力量Φ的值已充分
小，使得Ψ、Φ值又回到建朝边界上。这时系统就不会落到K点，分裂割据不会出现。系
统状态在Φ变小过程中落到行为曲面下半叶的折叠边界——建朝边界上，系统马上又以
突变的方式回升到行为曲面的上半叶。新的大一统封建王朝建立了。它表示改朝换代。
第二种可能性是，大动乱没有有效地消灭无组织力量，Φ值不能迅速变小，Ψ、Φ值不
能回到建朝边界上，这时系统就会落到行为曲面的下半叶，表示出现稳定的分裂割据局
面。
    我们可以看到，只要根据王朝各个时期Ψ、Φ两量的变化，就可以通过模型把握王
朝盛衰和动乱。读者显然可以发现第六章图17所示超稳定系统行为曲线，就是根据这一
模型画出的。读者会说，这种数学模型有什么用呢？它只不过把我们用描述性语言所叙
述的历史过程用一个立体模型图来表示一下而已。实际上数学模型的作用远不止于此，
它可以使我们把握用直观的描述性语言所难以捉摸的条件。例如，Ψ、Φ两个变量变化
到什么范围内会出现王朝崩溃，在什么条件下稳定的分裂割据状态会出现等等，从而使
研究可以更为清晰和细致。下面，我们根据模型作深入一步的讨论。

    5王朝盛衰方程

    我们先分析Ψ、Φ变化的规律性。中国封建社会存在三种不同状态：大一统王朝的
稳定局面、崩溃动乱和分裂割据。在这三种状态下，Ψ、Φ变化的情况是不同的。下面，
我们分别进行讨论。

    一，统一王朝稳定状态。

    这时，Ψ、Φ的变化是连续的，不采取突变的方式。Ψ、Φ两个量的变化可以用微
分方程来描述，也就是说，Ψ、Φ两个量各自只能影响对方和自身的增长率，而不能直
接限定对方。这是社会稳定期间连续变化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表
示Ψ、Φ的关系：
    dΨ/dt=p(Ψ、Φ）
    dΨ/dt=Q（Ψ、Φ）
    一般说来，P（Φ、Ψ），Q（Φ、Ψ）是。，Ψ的非线性函数。在每个大一统王朝
中无组织力量和一体化调节力量能存在大致机同的制约关系，我们可以认为方程（1）、
（2）对于历代封建王朝都是相同的。显然，只要知道（1）、（2）方程的具体形式，Ψ、
Φ两个量在王朝稳定阶段的变化情况就可以确定了。个尽管我们还不具备精细地、定基
地考察Ψ、Φ之间关系的条件（缺乏统计分析基础），但仍可以根据前九章得到的历史
结论对方程进行考察。
    我们已证明无组织力量中的增长是不可遏制的，并且具有自繁殖性。这些特征可以
用数学形式表示为；
    dΨ/dt=P（Ψ,Φ）>0，且
    P（Φ1，Ψ）＞P（Φ电，Ψ）当Φ1＞Φ2时（3）
    我们还论证了一体化调节力量越大时，无组织力量越长越慢，这一关系可以表示为：
    P（Φ,Ψ1）＜P（Φ,Ψ2）当Ψ1>Ψ2（4）
    当无组织力量大到一定程度对，它对一体化调节力量的破坏将加剧。这种关系也可
以用数学表示为：
    dΨ/dt=Q（Φ1,Ψ）<0当Φ1很大时（5）
    方程（1）、（2）是王朝盛衰方程。条件（3）、（4）、（5）是对P（Φ,Ψ）,Q
（Φ，Ψ）函数关系的限定。有了（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式，确们就可半
定量地讨论王朝寿命。

    二，王朝崩溃动乱状态。

    王朝崩溃动乱时，Ψ、Φ两个量的变化再也不遵循方程（1）、（2）了。大动乱中，
无组织力量和一体化调节力量的变化不是连续的。很难用方程来描述它们。一般说来，
大动乱发生后无组织力量就迅速减小，一体化调节力量一开始也是减小的，但只要王朝
修复机制不出现障碍，一体化调节力量在减小以后还会增加，这就使得中国历史上多数
场合大动乱发生不久，Ψ、Φ状态很快回到建朝边界，新王朝得以重建。
    另一种情况是，Φ不能有效地减少，这时将出现某种稳定的分裂局面。
    显然，只要引入这一阶段Ψ、Φ两个量变化的数学描述，也应该是可以半定量地讨
论正朝崩溃持续的时间，割据出现的可能性等问题。我们在本章不涉及这些问题的讨论。

    三，某种稳定的分裂割据局面。

    一旦系统跌落到代表分裂割据状态的行为曲面的下半叶，Ψ、Φ两个量的变化和上
述两种情况都不一样了。社会上存在着几个相对稳定的相互交战的小国，已不象大动乱
时处于完全无序的状态。小国割据及其战争，并不能象大动乱那样杀伤无组织力量，这
时如果整个社会无组织力量Φ变化不快，而一体化调节力量Ψ迅速变大，那么系统会进
入建朝边界，在分裂割据的基础上实现统一。秦、西晋、隋、宋代的建朝就是这样。如
果Ψ量增长很慢，例如魏晋南北朝，这时系统就会长期停留在行为曲面下半叶。
    显然，只要进一步引入这一阶段中Ψ、Φ在各种条件下变化的模型，也是可以半定
量地讨论分裂割据局面维持的时间、统一发展的过程等问题的。但在本章数学模型中我
们不准备讨论它，而仅就王朝稳定阶段Ψ、Φ变化来研究王朝寿命问题。
    10．6王朝寿命讨论及其他推论
    现在，我们可以用这一模型来导出一些凭直观难以推出的结论。
    在此，我们仅限于对数学模型半定量地讨论。所谓半定量地讨论，是指引进变量，
但不进行具体的数值运算，只从模型来分析各个量之间的关系。在社会科学研究中进行
半定量的讨论，是有价值的。它可以避免大量统计所带来的困难和混乱，又能发挥数学
模型的精确判断作用。
    一，一个朝代开始时，内部无组织力量越小，王朝寿命就越长。
    要计算王朝寿命就必须先求出Ψ、Φ运行轨线。可以在数学上证明，王朝在建朝边
界上处的起点位置不同，运动轨迹也是不相交的，如图43所示。如果a1、a2、a3……a6
各点为不同朝代起点，a1b1d1等轨线代表各个朝代。数学上可以证明，当王朝建立时无
组织力量越小，即越是外部的轨线，相应王朝寿命越长。
    这个推论揭示：封建王朝内部无组织力量积累的程度和它的寿命长短有着深刻的内
在联系。一个在建朝时看来不那么富裕强盛的王朝，但因其内部无组织力量较小，发展
余地倒很大。而一些建朝时十分强大的王朝，其发展余地却很小。
    这个推论与历史事实符合程度如何呢？尽管我们目前还缺乏各王朝建朝时无组织力
量大小的统计资料，但仍可以举出一些众所周知的历史事实来印证。
    西汉和东汉两个朝代，从历史记载上看，东汉初年无组织力量明显大于西汉初年。
汉光武帝不敢触犯豪门士族的利益。东汉寿命比西汉短。历史学家知道，在三国基础上
实现统一的西晋王朝，无组织力量——一主要是贵族门阀势力相当强大，其寿命也很短。
    因为统计资料的不足，我们很难确定一些王朝建立时无组织力量的大小。但是，我
们在前面几章中已讨论过，农民大起义对无组织力量扫荡得越彻底，新建王朝初期的无
组织力量就越小，其寿命就越长。这一结论，本章用数学模型半定量分析作出了证明。
    二，由封建割据统一起来的王朝寿命较短。
    1O．5部分证明分裂割据局面出现时，无组织力量不会减小。当一体化调节力量慢慢
增大时，分裂割据局面会实现统一。这种由割据统一的王朝内部保存了相当大的无组织
力量，因此这样的王朝一般寿命都很短。这一推论与历史事实相符。
    在中国历史上，农民大起义后建立起来的朝代比由封建割据统一起来的朝代寿命要
长得多。农民大起义后建立起来的朝代是西汉、东汉、唐、明、清，它们的寿命在二百
年上下，有的近三百年。由封建割据统一起来的有秦、隋、晋和北宋。前三个朝代寿命
很短，只十几年到几十年的时间。北宋有一百多年历史。北宋的情况很特别，但也不与
我们推论矛盾。数学上可以证明，当一个王朝建立，无组织力量相当大，而中央一体化
调节力量也相当大时，就可以出现一些象北宋这样的特殊的王朝。
    三，存在着三类王朝：盛大王朝、短周期王朝和后期王朝。
    图43中建朝边界上a1，a2……a6表示六个不同的王朝建朝的初始状态，从其轨线上
看，这些王朝可以分为两类。一类是a1b1d1,a2b2d2，a3b3d3，a4b4d4，这四条轨线起始
于建朝边界，后来又一次通过建朝边界，它们与建朝边界有两个交点。另昂类王朝的轨
线是a5d5，a6d6，它们自建朝边界开始后再也不和建朝边界相交了。
    这两类轨线所代表的王朝是有很大差别的。与建朝边界有两个交点的王朝寿命长，
后一类寿命短。此外，前一类王朝的轨线中有一段处于建朝边界以上区域，即处于太平
盛世。后一类王朝从开始就处于建朝边界与动乱边界之间的尖角形内。尖角形内区域含
有两种可能，即统一或分裂。它暂时处于稳定的统一局面，但动乱的可能性已经威胁着
它了。虽然轨线要达到动乱边界时才发生崩溃，但一旦王朝的轨线进三角区内，就表示
它已离开太平盛世走下坡路了。因此，第一类正朝经过两个阶段：上升阶段，也可以称
为太平盛世阶段；由繁荣走向崩溃的后期阶段。第二类王朝没有太平盛世阶段，建立后
马上由鼎盛点走向崩溃。我们把第一类王朝称为“长周期王朝”，或“盛大王朝”；第
二类王朝称为“短周期王朝”。中国历史上的西汉、东汉、唐、明、清都属于长周期王
朝；秦、晋、隋属于短周期王朝。
    除了这两类王朝外，还有没有第三类王朝呢？如果一个王朝建立时处于建朝边界的
b1，b2,b3……这些点上，那么它建朝初期内部无组织力量就比短周期王朝的无组织力量
还要大，但它的一体化调节力量也很大。因而这样的王朝建立后开始按一个盛大王朝的
轨线运行，但它没有经过盛大王朝前期的上升阶段。这类正朝我们称之为“后期王朝”。
这种王朝在建立时，Ψ和Φ都足够大，类似一个盛大王朝的中后期情况。这造成了一些
独特的历史现象，如商品经济一开始就相当繁荣，出现盛大王朝只有中后期才会出现的
某些现象。中国历史上只有一个属于这类的王朝，这就是宋朝。宋朝一建立，某些地区
（如四川）土地兼并程度相当高，商品经济发达，农民起义次数相当多、规模也较大。
这些现象是一个盛大王朝中后期才突出起来的。理论上可以证明，这种很特殊的后期王
朝的寿命，介于长周期王朝与短周期王朝之间。宋朝正是这样。理论分析还证明这类王
朝只可能是通过统一割据局面建立起来的，这也与宋朝建立的过程相符合。

    四，越是盛大王朝，后期变法越困难。

    由于建朝边界和动乱边界呈喇叭口形状，越是盛大王朝其轨线越处于外围，后期无
组织力量相当大，又离建朝边界很远。在这种情况下，即使搞变法改革，只能暂时减少
无组织力量，根本不可能将社会推回太平盛世区域。越是盛大王朝，其轨线越长，变法
也越困难。这一现象我们在前九章中已经做了说明。五，短周期王朝崩溃以后，不太容
易形成割据局面，而常产生盛大王朝。
    从图43可以明显地看出，短周期王朝崩溃时，Φ、Ψ值离建朝边界较近。这也就是
说，只要对无组织力量有足够的杀伤，就能很快回到建朝边界，而且处于无组织力量较
小的起始点上。这样的王朝往往是一个长周期王朝。而盛大王朝崩溃后，离建朝边界较
远，对无组织力量的杀伤也不太容易，这时出现分裂状态的可能性就较大。
    历史学家们早已注意到，在中国历史上，秦以后出现的西汉，隋以后出现的唐朝，
这汉与唐是两个最盛大的王朝。这种现象决不是偶然的。另外，中国历史上几次分裂割
据局面都出现在长周期王朝之后。如东汉以后的三国鼎立，唐以后的五代十国。
    需要指出的是，短周期王朝西晋以后出现的长期分裂局面，并不构成上述讨论的反
例。我们在第七章中指出，西晋灭亡后长期分裂的出现，是由于一体化调节发生了障碍，
使得Ψ的值一直很小，大一统的王朝建立不起来。这是和东汉末年、唐朝末年的情况不
相同的。
    以上五个推论是从数学模型半定性讨论得到的，如果我们仅仅满足于对超稳定系统
作非数学的研究，凭直观是不那么容易把握这些结论的。这就体现出数学模型的作用。
    当然，这个模型是非常粗糙的，而且距数值运算的要求还差得很远。我们之所以把
建立模型的步骤写出来，无非是想说明把数学模型方法引进到历史研究中来并不神秘。
它既不是无用的，也不是万能的。应该说，在今后的研究中，它是必须的，它应该成为
历史学家得心应手的工具。数学在历史学研究中也要担负起它在其他学科研究中那义不
容辞的责任。数学模式将由历史学家从具体而精细的历史研究中抽出，然后再用它清晰
的逻辑推理和明确的预见性，来照亮纷繁变幻的历史现象深处的客观规律。



载自<<盛与危机——论中国封建社会的超稳定结构>>
金观涛　　刘青峰 著  

HUASHI3483

优化设计的基本术语和数学模型
优化设计方法是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。
    工程设计问题的优化，可以表达为优选一组参数，使其设计指标达到最佳值，且须满足一系列对参数选择的限制条件。这样的问题在数学上可以表述为；在以等式或不等式表示的约束条件下求多变量函数的极小值或极大值问题，即求
minf（x）=f（x*）     x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn

受约束于gu（x）≤0
    或  gu（x）≥0    u=1，2，…，m
        hv（x）=0     v=1，2，…，p＜n
因此，优化设计都应按此形式将工程设计问题作出数学上的描述，适应采用优化设计方法求解的需要，这就是所谓优化设计的数学模型。下面首先介绍优化设计中常用的几个基本术语。
    1.设计变量
    在工程设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它们相当于数学上的独立自变量。
    一个优化设计问题如果有n个设计变量，而每个设计变量用xi（i=1，2，…，n）表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置，X=[x1，x2，…，xn]T。我们把X定义为n维欧氏空间的一个向量，设计变量x1，x2，…，xn为向量X的n个分量。在优化设计中把这个n维的欧氏实空间称为设计空间，用Rn表示，它是以设计变量x1，x2，…，xn为坐标轴的n维空间。设计空间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每个设计方案就对应着设计空间一个设计向量或者说一个设计点X。
    设计变量的数目越多，其设计空间的维数越高，能够组成的设计方案的数量也就越多，因而设计的自由度也就越大，从而也就增加了问题的和复杂程度。一般来说，优化设计过程的计算量是随设计变量数目的增多而迅速增加的。因此，对于一个优化设计问题来说，应该恰当地确定设计变量的灵敏目。并且原则上讲，应尽量减少设计变量的数目，即尽可能把那些对设计指标影响不大的参数取作给定参数，只保留那些对设计指标影响显著的、比较活跃的参数作为设计变量，这样可以使优化设计的数学模型得到简化。
    设计变量通常是有取值范围的，即

ai≤xi≤bi     （i=1，2，…，n）

式中，ai、bi分别表示设计变量xi的下界约束值和上界约束值。在设计变量的取值范围中，设计变量的取值多数是连续的，但有些设计变量只能选用规定的离散值。对于有离散型设计变量的优化设计问题，有两种处理方法：一是先按连续型设计变量对待进行求解，然后再对最优解进行离散化后处理，但是离散化后处理有时会使结果远离最优解；另一是选用能处理离散型设计变量的优化设计方法进行求解，但这些方法种类较少，且求解能力较弱。
    2.目标函数
    每一个设计问题，都有一个或多个设计中所追求的目标，它们可以用设计变量的函数来加以描述，在优化设计中称它们为目标函数。当给定一组设计变量值时，就可计算出相应的目标函数值。因此，在优化设计中，就是用目标函数值的大小来衡量设计方案的优劣的。优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数值达到最佳值。最佳值可能是极大值，也可能是极小值，由于求目标函数f（x）的极大化等价于求目标函数—f（x）的极小化，因此，为算法和程序的统一，通常最优化就是指极小化，即f（x）→min。
    在工程设计问题中，设计所追求的目标可能是各式各样的，当目标函数只包含一项设计指标极小化时，称它为单目标设计问题。当目标函数包含多项设计指标极小化时，这就是所谓的多目标设计问题。单目标优化设计问题，由于指标单一，易于衡量设计方案的优劣，求解过程比较简单明确。而多目标问题则比较复杂，多个指标往往构成矛盾，很难或者不可能同时达到极小值。多目标问题的求解，较为简单的方法是采用线性加权的和的形式将多目标问题转为一个单目标问题求解，或将一些目标转为约束函数。这样处理后的数学模型，往往不能很好地体现多目标问题的实质，求得的最优解不能很好地满足设计要求。
    由于目标函数是设计变量的函数，故给定一组设计变量值就相应地有一个函数值，并在设计空间相对应地有一个设计点，因此也可以说设计空间的任何一点都有一个函数值与之相对应。具有相同函数值的点集在设计空间内形成一个曲面或曲线，称为目标函数的等值面或等值线。
    在优化设计中正确建立目标函数是很重要的一步工作。它不仅直接影响到优化设计的质量，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。还有，并不是所有优化设计问题的目标都可以用显式的目标函数来描述，如：原理方案设计、下料问题等。
    3.设计约束
    优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值，同时还必须满足一些附加的条件，这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制，在优化设计中叫做设计约束。它的表现形式有两种，一种是不等式约束，即

gu（x）≤0
或              gu（x）≥0    u=1，2，…，m

另一种是等式约束，即

hv（x）=0     v=1，2，…，p＜n

式中，gu（x）和hv（x）分别为设计变量的函数，统称为约束函数；m和p分别表示不等式约束和等式约束的个数，而且等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n。因为从理论上讲，存在一个等式约束就可以用它消去一个设计变量，这样便可降低优化设计问题的维数。
    根据约束的性质不同，可以将设计约束分为区域约束和性能约束两类。所谓区域约束是直接限定设计变量取值范围的约束条件；而性能约束是由某些必须满足的设计性能要求推导出来的约束条件。在求解时，对这两类约束有时作不同的对待。
    不等式约束及其有关概念，在优化设计中是相当重要的。每一个不等式约束都把设计空间划分成两部分，一部分是满足该不等式约束条件的，另一部分则不满足。两部分的分界面叫做约束面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一个复合约束边界，复合边界内的区域是满足所有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变量是允许采用的，这个区域称为设计可行域或简称可行域。除去可行域以外的设计空间称为非可行域。据此，在可行域内的任一设计点都代表了一个允许采用的设计方案，这样的点叫做可行设计点或内点。在约束边界上的点叫做极限设计点或边界点，此时这个边界所代表的约束叫做适时约束或起作用约束。
    在建立数学模型时，目标函数与约束函数不是绝对的。对于同一对象的优化设计问题（如齿轮传动优化设计），不同的设计要求（如要求重量最轻或承载能力最大等），反映在数学模型上是选择不同的目标函数和约束函数，设定不同的约束边界值。换言之，目标函数和约束函数都是设计问题的性能函数，只是在数学模型中充当不同的角色。所以，通常的做法是将目标函数和约束函数视为问题函数，建立起某一对象的优化设计通用数学模型，求解时，再根据具体的设计要求，指定某个或某些问题函数为目标函数，某些问题函数为约束函数且设定边界值。
    当优化数学模型中的问题函数均为设计变量的线性函数，则称为线性规划问题。若问题函数中包含非线性函数时，则称为非线性规划问题。多数工程优化设计问题的数学模型是属于有约束的非线性规划问题。
    4.约束优化设计问题的最优解
    优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即

minf（x）=f（x*）     x∈Rn
s.tgu（x）≤0    u=1，2，…，m
    hv（x）=0    v=1，2，…，p＜n

式中，称x*为最优点，称f（x*）为最优值。最优点x*和最优值f（x*）即构成了一个约束最优解。
    在约束优化设计问题中，如果目标函数是多峰的，或约束集合是非凸集，则有可能存在不止一个局部极小点，此时每一个局部极小点和对应的局部极小值统称为一个局部最优解。显然，我们总是期望获得全域最优解，但一般情况下是很难断定所得的一个解就是全域最优解。在优化设计求解过程中，绝大多数的是优化方法都是通过参照当前点周围的信息来判断是否找到了最优解，这样求得的解很可能是局部最优解，不同的初始点可能求得不同的最优解。所以，在求解约束优化设计问题时，通常的做法是用多个方法程序、多个初始点来求同一个问题，再从求得的多个局部最优解中取一个最优的。