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HUASHI3483

现将半内多来发布的帖子进行整理，归纳，有相当一批论文帖将登，注意浏览

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HUASHI3483

捕鱼优化的论文：

水资源的市场分配机制及其效率

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HUASHI3483

蛋白质分解成氨基酸的问题（有程序哦）

        题目：
                  生命蛋白质是由若干种氨基酸经不同方法组合而成的。在实验中
              为了分析某个生命蛋白质的分子组成，通常用质谱验测其分子量x（
              正整数），然后将分子量x分解为n个分子量a（i=1...........n）氨
              基酸的和的形式。某实验室所研究的问题中：
                         n=18,  x<=1000
              a(i=1...........18) 分别为 57，71，87，97，99，101，103，
              113，114，115，128，129，131，137，147，156，163，186
              要求针对该实验室拥有或不拥有计算机的情况作出解答？？？

HUASHI3483

方法是分枝定界法。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>
#include <time.h>
#define FOR(j)  for(i[j]=0;i[j]<=m[j];i[j]++) {
#define M(j)  temp=0; for(k=0;k<j;k++) temp+=a[k]*i[k]; m[j]=(s-temp)/a[j];

void main()
{
int a[18] = {57, 71, 87, 97, 99, 101, 103, 113, 114, 115, 128, 129, 131, 137, 147, 156, 163, 186};
int i[18],temp=0,k,s;
double m[18];
unsigned long rt=0;
long t1,t2,secs_now;
struct tm *tm_now;
clrscr();
printf("Molecular weight of proteid:");
scanf("%d",&s);
time(&secs_now);
t1=secs_now;
m[0]=s/a[0];
printf("Wait");
FOR(0)     M(1)
FOR(1)     M(2)
FOR(2)     M(3)
FOR(3)     M(4)
FOR(4)     M(5)
FOR(5)     M(6)
FOR(6)     M(7)
FOR(7)     M(8)
FOR(8)     M(9)
FOR(9)     M(10)
FOR(10)    M(11)
FOR(11)    M(12)
FOR(12)    M(13)
FOR(13)    M(14)
FOR(14)    M(15)
FOR(15)    M(16)
FOR(16)
temp=0; for(k=0;k<17;k++) temp+=a[k]*i[k];
if((s-temp)%a[17]==0) {
  i[17]=(s-temp)/a[17];
  rt=rt+1;
}
}}} }}} }}} }}} }}} }}
printf("\nResults number:%ld.\n",rt);
time(&secs_now);
t2=secs_now;
printf("Run time:%ld seconds.\n",t2-t1);
getch();
}

HUASHI3483

球队赛程最佳安排方案模型
下表中给出12支足球队，在某年比赛中的成绩，要求：
1. 设计一个依据这些成绩派出诸队名次的算法，并给出用该算法百名的结果。
2. 把算法推广到任意N个队的情况。
3. 讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。

一．问题的提出

体育比赛，作为丰富大﹑中﹑小学生的课外活动的手段之一，受到社会和学校的大力支持以及同学们的热烈欢迎。赛程安排是否合理将直接影响到同学们参加的积极性。所以，建立一支模型确定赛程安排以及评价比赛的公平性和合理性有十分重要的现实意义。
下面有支例子：
         A     B     C     D     E          没两场比赛相间隔场次数
A        X      1     9      3     6        1，2，2
B        1      X     2      5     8        0，2，2
C        9      2     X      7     10        4，1，0
D        3      5     7      X     4        0，0，1
E        6      8     10     4     X        1，1，1
某学校要进行一场球赛，一共有五支队参加。由于只有一支场地，只能进行单循环赛。一共有十场比赛。他们的赛程是这样安排的：记5支球队为A，B，S，D，E，在下表左半部分的右上角的10个空格中的1，2…10，代表各队参加比赛的场次，即第1场A对B，第2场B对C…第10场C对E。       
表一









从表中我们很容易看出，这支赛程的安排很不合理，各队每两场中得到的休息时间很不均等。显然这支赛程对A，E有利，而对D则很不公平。
下面要求我们编制一支赛程，要求两场比赛之间的时间间隔尽可能的均衡。即：
1．        对于5支球队的比赛，给出一支各队每两场比赛中间至少相隔一场的赛程。
2．        当有n支球队比赛时，各队每两场比赛中间间隔的场次数的上限是多少。
3．        在达到2）的上限的条件下，给出n=8，n=9的赛程，并给出它的编制过程。
4．        除了每两场比赛间隔场次外，给出几支其他方面的指标来衡量一支赛程的优劣，并说明在3）中给出的赛程达到这些指标的程度。

二．问题分析

        这是一支排序问题。在有N支队的情况下，因为是单循环赛，有排列组合的知识易知一共要进行Cn2  即n(n-1)/2场比赛。因为任意两场比赛的两支队是不完全相同的，所以共有(N(N—1)/2)！种不同的赛程。在那么多不同的赛程中，有的各队每两场比赛间相隔的场次数（也是各队每两场比赛中间得到的休整时间）有的较多，有的较少。这就存在不公平。我们的任务是在那么多不同的赛程中间找一支各队每两场比赛间相隔的场次数较均等的赛程（或称最优赛程）。由于有n支队参加比赛的总的不同赛程数是一个定数（（N（N—1）/2）！），因此最优赛程是存在的。而且由于文中将要说道的原因，最优赛程是不唯一的。
三．问题的假设
1．        两队组合进行一场比赛，不考虑第几场比赛只考虑每队两场比赛的间隔数。
2．        不考虑各参赛队实力对赛程安排的影响。
3．        每队都能如期按时间参加比赛，不考虑天气，场地，队员受伤等因素对赛程的影响。
4．        当参赛的总队数小于3时候，赛程只有一种，没有研究的实际意义，我们默认参赛的总队数是大于等于3的。

四 符号说明

建模中所用到的符号如下：
A：上限
N：参赛的队数
P1，P2，P3，…；PI，PJ：表示第1，2，3…I，J个参赛队；以及它们的变形如P（N—1）等前面的P表示参赛队，后面的数字及代数式表示参赛队的序数即第几个参赛队。

五 模型的建立和求解

（1）.上限的确定
定义（上限）：N队进行比赛，共有N（N—1）/2）！种不同的赛程，在第PI种赛程中，各队每两场比赛中间最少的场次间隔为M，把各种赛程中各队每两场比赛的最少场次间隔中的最大值定义为场次数最少间隔的上限，简称上限。记为A。
定理 1 在一支有N个队参加的比赛中，上限是唯一存在的。
证明   因为参赛队数N是已知的，所以不同的赛程数（N（N—1）/2）是固定的。每一种赛程安排都有一个各队间隔的最少场数，所以上限是存在的。因为最大值只能有一个，所以上限是唯一的。
定理2在一支有N个队参加的比赛中，上限A=（TRUNC（N—3）/2）。（对（N—3）/2取整）。
证明  1．假设A&gt;TRUNC（（N-3）/2），则有上限的定义知：A最少应为TRUNC（（N-3）/2）+1。
当N为偶数时，有
TRUNC（（N-3）/2）=N/2—2
有上限的定义知：
          （A+1）（N—1）+N N(N—1)/2
即：      （N/2 —1）（N—1）+N N(N—1)/2
化简得：  1 0
显然是假设是错误的。
        同理可证N为奇数是假设也是错误的。
        2．假设A&lt; TRUNC（（N-3）/2），则有上限的定义知：其最大只能为 A= TRUNC（（N-3）/2）—1。
        设N=5时，A= TRUNC（（N-3）/2）—1=0。易排出P1P2→P3P4→P5P1→P2P3→P4P5→P1P3→P2P5→P4P1→P3P5→P2P4，其上限为1。
        所以假设是错误的。
有1，2以及定理1知，A=（TRUNC（N—3）/2）。
（2）最优赛程的确定
        我们所要求的最优赛程是各队没两场比赛中间得到的休息时间比较均等的赛程。也是上限所在的赛程。在这一节里我们将介绍寻找最优赛程的方法，也是寻找上限所在的赛程的方法。
定义（正规赛程） 在一个赛程中第PI个队已经参加了K场比赛，在参加K+1场比赛时，其他各队参加比赛的场次数最大不大于K+2的赛程叫做正规赛程。
定理3 不是正规赛程的赛程一定不是最优赛程。
证明 假设一个最优赛程不是最优赛程，有正规赛程的定义知：
            PI， PJ，当PI参加了K场比赛时，PJ已经参加了K+2场，这样可以调换PI和PJ，使得PI，PJ之间的休息时间更均等，从而是赛程更优。所以假设是错误的。所以不是正规赛程的赛程一定不是最优赛程。
定义（一个循环）：在有N支球队参加的球赛中，每支球队都至少参加一次，而且所有球队参加的场次都相等，所进行比赛的最少场数称为一个循环。
        有常识知：当N为偶数时打一个循环需要进行N/2场，当N为奇数时打一个循环需要进行N场。
定理 4在一支有N个队参加的比赛中，上限所在的赛程是一个有有限个循环所组成的赛程。
证明  对于确定的参赛队数N，其比赛总场数是一定的，一共要进行N（N—1）/2比赛。
        假设上限所在的赛程不是一个有有限个循环所组成的赛程。则有
（1）当N为偶数时，把N/2场连续的比赛分为一段，一共可分为N—1段。
        假设前K（K=0，1，2…N—1）段比赛都是整个循环，则在前K段比赛中各队参加的场次数都相同。当进行第K+1段比赛时，若第K+1段是最后一段，则每个队只剩一场比赛，组成一个循环。若第K+1段是不是最后一段，设有PI没有参加第K+1段比赛，则 PJ，使得PJ参加了第K+1段的两场比赛，当PI在次参加比赛时，PJ参加的比赛常数比PI参加的场数多2或者更多，则赛程不是正规赛程，就不是最优赛程，从而也不是上限所在的赛程。
        （2）同理可证N为奇数时定理成立。
        证毕。
        有定理4可知上限所在的赛程是一个有有限个循环所组成的赛程。根据一个循环的定义，我们可以把有N个队参加的比赛的赛程的参赛队组合分组，使得每组是一个循环。下面介绍分组的方法。
        把N个队的N（N—1）/2场比赛的参赛队组合排成下面的形式：
表二
P1，P2                                               
P1，P3        P2，P3                                       
P1，P4        P2，P4        P3，P4                               
P1，P5        P2，P5        P3，P5        P4，P5                       
…        …        …        …        …               
…        …        …        …        …        P（N-1），P（N-2）       
P1，PN        P2，PN        P3，PN        P4，PN        …        P（N-2），PN        P（N-1），PN
N+1        2N+2        3N+3        4N+4        …        （N-2）*N+N-2        （N-1）*N+N-1

把各个参赛队的下标按与水平线成1350  对角线求和，结果如上图所示。
        按求和的结果先把最小的和最大的为一组，次小的和次大的分为一组…依次论推。
        当N为奇数时，各组的每场比赛的参赛队的组合依次为：
P1，P（N—I）；P2，P（N—I+1）；……P（N—I），PN；P1，PI+1；P2，P（I+2）；……P（N—1+1），PN；可划分为（N—1）/2个组，每个组的每个队都参加两场比赛，有一个循环的定义知，这正好是一个循环。
        当N为偶数时，各组的每场比赛的参赛队的组合依次为：
P1，P（N—I）；P2，P（N—I+1）；……P（N—I），PN；P1，PI；P2，PI+1；……P（N—I—1），PN；
易知这每组是两个循环，并且非常容易划分开。
最后剩下最中间的那一列：
P1，PN/2+1；P2，PN/2+2；……PN/2，PN；正好是一个循环。
        下面我们考虑对每个循环的排列。
        当N为奇数时：
        在每一个循环中，各个队都参加了两场比赛，设有一循环为：
P1，P2；P2，P3；P3，P4；……PN—2，PN—1；PN—1，PN；PN，P1。
        其他形式的循环可以通过下标之间的调换等价到这种形式。
根据上限的要求，我们把第一个循环排为：
P1，P2；P3，P4；……PN—2，PN—1；PN，P1；P2，P3；……PN—1，PN。
然后任取一个循环作为第二个循环。在排第二个循环时，在循环中找这样的组合，使得其下标的两个数字在它前面相隔A个的两个组合出现的数字，并且除去它前面的组合出现的数字。依上例第二个循环的第一个组合应为在PN—2，PN—1，P1三队组成的组合中，在所选的第二个循环出现的中任选一个。依次论推，一直到排完。
        当N为偶数时：
有一个循环的定义知每一个循环的的任意组合都满足上限的要求。所以可任取一个循环作为第一个循环。往下的排法同N为奇数时的情况。
（3）具体问题求解
1）对于5支球队的比赛易排出P1P2→P3P4→P5P1→P2P3→P4P5→P1P3→P2P5→P4P1→P3P5→P2P4。
2）当有N支球队参加时，有定理2知各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为TRUNC（N—3）/2）。
3）在达到2）的上限的条件下，当N=8时有排序：
表三
        P1        P2        P3        P4        P5        P6        P7        P8        每两场比赛相隔场次数
P1        \        1        20        5        24        9        17        13        3,3,3,3,2,3
P2        1        \        23        28        19        6        14        10        4,3,3,4,3,4
P3        20        23        \        2        12        15        26        7        4,4,2,4,2,2
P4        5        28        2        \        16        25        11        21        2,5,4,4,3,2
P5        24        19        12        16        \        3        8        27        4,3,3,2,4,2
P6        9        6        15        25        3        \        22        18        2,2,5,2,3,2
P7        17        14        26        11        8        22        \        4        3,2,2,2,4,3
P8        13        10        7        21        27        18        4        \        2,2,2,4,2,5










编制过程：
（1）分组。
表四
P1，P2                                               
P1，P3        P2，P3                                       
P1，P4        P2，P4        P3，P4                               
P1，P5        P2，P5        P3，P5        P4，P5                       
P1，P6        P2，P6        P3，P6        P4，P6        P5，P6               
P1，P7        P2，P7        P3，P7        P4，P7        P5，P7        P6，P7       
P1，P8        P2，P8        P3，P8        P4，P8        P5，P8        P6，P8        P7，P8

        N=8，为偶数。可分为4组。
表五
第一组        P1，P2；P2，P3；P3，P4；P4，P5；P5，P6；P6，P7；P7，P8；P8，P1
第二组        P1，P3；P2，P4；P3，P5；P4，P6；P5，P7；P6，P8；P1，P7；P2，P8
第三组        P1，P4；P2，P5；P3，P6；P4，P7；P5，P8；P1，P6；P2，P7；P3，P8
第四组        P1，P5；P2，P6；P3，P7；P4，P8；
（2）把每组划分为整个循环。
表六
第一个循环        P1，P2；P3，P4；P5，P6；P7，P8
第二个循环        P1，P4；P2，P7；P3，P6；P5，P8
第三个循环        P1，P6；P2，P5；P3，P8；P4，P7
第四个循环        P2，P3；P4，P5；P6，P7；P8，P1
第五个循环        P1，P7；P2，P4；P3，P5；P6，P8
第六个循环        P3，P1；P2，P8；P5，P7；P4，P6
第七个循环        P1，P5；P2，P6；P3，P7；P4，P8；
（3）排序。
        先排第一个循环有：P1，P2；P3，P4；P5，P6；P7，P8
在排第二个循环时有：从P1，P2，P3，P4所组成的组合中在第二个循环中有P1，P4；放在第二组的第一位；然后有P3，P5，P6所组成的组合中在第二组中有P3，P6；放在第二组的第二位；然后有P5，P7，P8所组成的组合中在第二组中有P7，P8；放在第二组的第三位；剩下一组，放在第四位。依次类推，排到第七个循环，可达到表三的结果。
当N=9时有排序：
表七
        P1        P2        P3        P4        P5        P6        P7        P8        P9        每两场比赛相隔场次数
P1        \        1        32        10        23        19        14        28        5        3，4，3，4，3，4，3
P2        1        \        36        6        31        11        26        16        21        4，4，4，4，4，4，4
P3        32        36        \        2        27        7        22        12        17        4，4，4，4，4，4，3
P4        10        6        2        \        35        15        30        20        25        3，3，4，4，4，4，4
P5        23        31        27        35        \        3        18        8        13        4，4，4，4，3，3，3
P6        19        11        7        15        3        \        34        24        29        3，3，3，3，4，4，4
P7        14        26        22        30        18        34        \        4        9        4，4，3，3，3，3，3
P8        28        16        12        20        8        24        4        \        33        3，3，3，3，3，3，4
P9        5        21        17        25        13        29        9        33        \        3，3，3，3，3，3，3
编制过程：
（1）分组：
表八
P1，P2                                                       
P1，P3        P2，P3                                               
P1，P4        P2，P4        P3，P4                                       
P1，P5        P2，P5        P3，P5        P4，P5                               
P1，P6        P2，P6        P3，P6        P4，P6        P5，P6                       
P1，P7        P2，P7        P3，P7        P4，P7        P5，P7        P6，P7               
P1，P8        P2，P8        P3，P8        P4，P8        P5，P8        P6，P8        P7，P8       
P1，P9        P2，P9        P3，P9        P4，P9        P5，P9        P6，P9        P7，P9        P8，P9
N=9，是奇数，要分四组。
表九
第一组        P1，P2；P2，P3；P3，P4；P4，P5；P5，P6；P6，P7；P7，P8；P8，P9；P9；P1
第二组        P1，P3；P2，P4；P3，P5；P4，P6；P5，P7；P6，P8；P7，P9；P1，P8；P2，P9
第三组        P1，P4；P2，P5；P3，P6；P4，P7；P5，P8；P6，P9；P1，P7；P2，P8；P3，P9
第四组        P1，P5；P2，P6；P3，P7；P4，P8；P5，P9；P4，P9；P3，P8；P2，P7；P1，P6
        每组都是一个循环，这比N为偶数时少了一步。
所以有：
表十
第一个循环        P1，P2；P2，P3；P3，P4；P4，P5；P5，P6；P6，P7；P7，P8；P8，P9；P9；P1
第二个循环        P1，P3；P2，P4；P3，P5；P4，P6；P5，P7；P6，P8；P7，P9；P1，P8；P2，P9
第三个循环        P1，P4；P2，P5；P3，P6；P4，P7；P5，P8；P6，P9；P1，P7；P2，P8；P3，P9
第四个循环        P1，P5；P2，P6；P3，P7；P4，P8；P5，P9；P4，P9；P3，P8；P2，P7；P1，P6
（2）排序。
第一个循环可排为P1，P2； P3，P4； P5，P6； P7，P8； P9；P1；P2，P3；P4，P5；P6，P7；P8，P9。
在排第二个循环时考虑第一个循环中与第二个循环相隔为三场和四场的参赛队，并除去与它不相隔的那场比赛出现的队。在这里是P1，P2，P3。在这里取P1，P3；仿照N为偶数时的情况，依次类推，可排出如表七所示的结果。
4）除了两场比赛的场次间隔外，我们认为后打的队对先打的技术熟悉也是影响赛程公平的一个方面。在这方面我们所排出的赛程也是符合的非常好的。当为偶数个队时，不存在先打后打情况；当为奇数个队时有一个队在方面先占了一点优势（仅一场的优势），不过在后面的比赛中对这个队的那点优势作了调整。总的来说还是符合的很好的。

六 模型的评价及改进

        在我们的模型中，首先，我们明确了上限的概念，给出了上限的表达式，并作了分析和证明。然后明确了最优赛程就是上限所在的赛程，两者的关系是等价的。我们首先定义了几个名词和定理，对最优赛程所具有的性质进行了分析和证明，然后很自然的给出了找最优赛程的方法，并给出了任意大小规模的单循环的赛程排序方法。很自然的解决了问题。
        总的来说，我们成功的构造了模型，并且当队数很大时工作量也不大，在后面的事例中也可以说明我们的方法是行之有效的。虽然我们引如了若干个定理和定义，但是我们认为有的地方证明的还不够严谨，表述的不那么清晰。在最后的时间里，我们还想到了所有的最优赛程都是等价的，但是由于时间关系没能写进去。

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HUASHI3483

生产计划
琼雪飞扬（QQ：45863438）
摘要：
    企业要制定一套合理的生产计划，需要考虑的约束条件主要来自三个方面：其一，企业自身在特定时间段内各种资源的限制；其二，市场在特定时间段内对于特定产品的需求量的限制；其三，不同产品，占用的设备资源不同，所获利润也不同。本文在建立模型的全过程中，紧紧抓住这三个限制对企业生产计划的巨大影响，采用多变量线性约束优化的方法，首先，建立一个初步优化模型，制定出该厂每个月的生产计划，然后对数据进行分析，初步评估了该厂的实际生产能力以及当时市场的供求关系。接着又建立一个高级优化模型，在宏观上调整该厂六个月的生产计划，更加充分的利用了该厂有限的设备资源，最大限度的满足了市场的需求，得出一个令人满意的生产计划，使得该厂总获利最大。最后，从该厂的实际情况出发，我们认为在三月和六月租用该厂相应短缺的机器设备获利的概率最大。因此，我们假设该厂在三月和六月租用了其相应短缺的机器设备，利用已经建立的初步优化模型和高级优化模型，从新制定出一份生产计划。通过比较前后总获利的差额，同时考虑到该厂对租用机器设备后净增利润的期望(XP)，从而求出了租用机器的价格。
                          


                             一  问题提出：
    某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示：

单件所需台时                        ( 表1 )


        产品                 I        II        III       IV        V        VI        VII
设备

磨床        0.5      0.7        --       --        0.3       0.2        0.5
立钻            0.1      0.2       --        0.3       --        0.6        --
水平钻          0.2      --        0.8       --         --        --         0.6
镗床            0.05     0.03      --        0.07      0.1        --        0.08
刨床            --       ---        0.01      --        0.05       --        0.05

单件利润（元）  100     60        80        40      110       90        30

    从1月到6月份，下列设备需进行维修：1月——1台磨床，2月——2台水平钻，3月———1台镗床，4月——1台立钻，5月——1台磨床和1台立钻，6月——1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示：

( 表2 )

    产品
月份        I        II        III        IV        V        VI        VII
1月        500        1000        300        300        800        200        100
2月        600        500        200        0        400        300        150
3月        300        600        0        0        500        400        100
4月        200        300        400        500        200        0        100
5月        0        100        500        100        1000        300        0
6月        500        500        100        300        1100        500        60


    当月销售不了的每件每月贮存费为5元，但规定任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。
若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求：
（a）该厂如何安排计划，使总利润最大；
（b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。




                         二  问题分析：


    根据马克思&lt;&lt;资本论&gt;&gt;对市场供求关系的论述，企业应该根据市场的需求安排生产，使市场的供求关系向理想的供求相等状态趋近。只有这样，企业才能真正做到：不仅不会因为盲目增产而导致产品积压，阻碍企业资金的周转，同时还要支付一定金额的存储费用；而且还能够充分利用了该企业拥有的所有资源，最大限度地满足市场的需求，从而使该企业获得最大的利润。
由于，不同型号的产品的生产利润不同，不同型号的产品在不同的时间里，市场的需求量是变化的，生产不同的产品所利用的设备资源量不同，不同的设备在一月至六月最多允许的总工作时间也是变化的。因此，制定生产规划，就是要确定：在每一种设备有限的工作时间内， 根据市场的供求关系的变化，生产出能够在当时的市场上获得利润最高的产品，使得在决策过程中，受到一定实际情况制约的情况下(比如：机器维修；市场需求不高甚至为零；设备工作时间有限； 当月销售不了的每件每月贮存费为5元，但规定任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件等等)，能够充分的利用给定的资源，获得最大的生产利润。
    由此可见，本题(a)的实质就是在一个资源受限的条件下，根据市场供求关系，寻求最大利润的多变量线性约束优化问题。
至于(b)问题，其实，它就是在(a)的基础上进一步分析，假设在租用或购买某种设备后，利用(a)所建立的模型，从新对问题进行类似的求解，最后把求解结果与(a)的相比较，看看该厂的利润增长了多少。



                        三  模型假设：
1.  不考虑产品在各种设备上的加工顺序；
2.  被维修的设备在当月内不能安排生产，也就是说在当月内，需要该设备进行生产的产品产量为零；
3.   所给数据准确可靠，该厂对市场需求的评估数据精确可信；
4.   一月份，某种产品超过市场需求数量的那部分， 先扣除一个月的储存费用， 再把所得的利润算在当月的总利润里，下个月就不再计算此利润了。为了统一，我们对二月，三月，四月，五月的总利润也做相应的假设；
5.   六月末各种产品各贮存50件，把这些产品扣除一个月的储存费用所得的利润算在六月份的总利润里。



                           四  变量说明：


如下表所示：
x11：表示该厂1月份计划生产产品I  x11(件)，其中字母x后面的第一位数字表示月份，第二位数字表示产品的型号，依此类推。
( 表3 )
       产品
月份        I        II        III        IV        V        VI        VII
1月        x11        x12        x13        x14        x15        x16        x17
2月        x21        x22        x23        x24        x25        x26        x27
3月        x31        x32        x33        x34        x35        x36        x37
4月        x41        x42        x43        x44        x45        x46        x47
5月        x51        x52        x53        x54        x55        x56        x57
6月        x61        x62        x63        x64        x65        x66        x67
P(1)： 表示按初步优化模型求出的生产计划组织生产，该厂六个月内所获得的总利润；
P(2)： 表示按高级优化模型求出的生产计划组织生产，该厂六个月内所获得的总利润；
P(3)： 表示在租用相应设备后，按照新的生产计划组织生产，该厂六个月内所获得的总利润；

P1：表示按照初步优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂一月份所获得的总利润；
P2：表示按照初步优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂二月份所获得的总利润；
P3：表示按照初步优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂三月份所获得的总利润；
P4：表示按照初步优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂四月份所获得的总利润；
P5：表示按照初步优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂五月份所获得的总利润；
P6：表示按照初步优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂六月份所获得的总利润；

P2’ ：表示按照高级优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂二月份所获得的总利润；
P5’ ：表示按照高级优化模型求出的生产计划组织生产， 该厂五月份所获得的总利润；

P3’’：表示在租用相应设备后，按照新的生产计划组织生产， 该厂三月份所获得的总利润；
P6’’：表示在租用相应设备后，按照新的生产计划组织生产， 该厂三月份所获得的总利润；

XP：  假设该厂租用相应机器设备以后，对其所应获得净增利润的期望最少应为XP；
Q：  表示在三月和六月内该厂租用相应短缺的设备的总价格。

HUASHI3483

五  模型建立和数据分析：


    已知， 从1月到6月份，下列设备需进行维修：1月——1台磨床，2月——2台水平钻，3月———1台镗床，4月——1台立钻，5月——1台磨床和1台立钻，6月——1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，很容易求得每一种设备在每月允许的最大的工作时间。求解结果如下表所示：(单位：小时)
( 表4 )
       月份
设备        1月        2月        3月        4月        5月        6月
磨床        1152        1536        1536        1536        1152        1536
立钻        768        768        768        384        384        768
水平钻        1152        384        1152        1152        1152        768
镗床        384        384        0        384        384        384
刨床        384        384        384        384        384        0
   
    在每个月，每一种设备允许的最大工作时间是有限的，由表1，表3和表4的含义可以列出以下不等式：
x11*0.5+x12*0.7+x15*0.3+x16*0.2+x17*0.5≤1152
x11*0.1+x12*0.2+x14*0.3+x16*0.6≤768
x11*0.2+x13*0.8+x17*0.6≤1152
x11*0.05+x12*0.03+x14*0.07+x15*0.1+x17*0.08≤384
x13*0.01+x15*0.05+x17*0.05≤384

x21*0.5+x22*0.7+x25*0.3+x26*0.2+x27*0.5≤1536
x21*0.1+x22*0.2+x24*0.3+x26*0.6≤768
x21*0.2+x23*0.8+x27*0.6≤384
x21*0.05+x22*0.03+x24*0.07+x25*0.1+x27*0.08≤384
x23*0.01+x25*0.05+x27*0.05≤384

x31*0.5+x32*0.7+x35*0.3+x36*0.2+x37*0.5≤1536
x31*0.1+x32*0.2+x34*0.3+x36*0.6≤768
x31*0.2+x33*0.8+x37*0.6≤1152
x31*0.05+x32*0.03+x34*0.07+x35*0.1+x37*0.08≤0
x33*0.01+x35*0.05+x37*0.05≤384

x41*0.5+x42*0.7+x45*0.3+x46*0.2+x47*0.5≤1536
x41*0.1+x42*0.2+x44*0.3+x46*0.6≤384
x41*0.2+x43*0.8+x47*0.6≤1152
x41*0.05+x42*0.03+x44*0.07+x45*0.1+x47*0.08≤384
x43*0.01+x45*0.05+x47*0.05≤384

x51*0.5+x52*0.7+x55*0.3+x56*0.2+x57*0.5≤1152
x51*0.1+x52*0.2+x54*0.3+x56*0.6≤384
x51*0.2+x53*0.8+x57*0.6≤1152
x51*0.05+x52*0.03+x54*0.07+x55*0.1+x57*0.08≤384
x53*0.01+x55*0.05+x57*0.05≤384

x61*0.5+x62*0.7+x65*0.3+x66*0.2+x67*0.5≤1536
x61*0.1+x62*0.2+x64*0.3+x66*0.6≤768
x61*0.2+x63*0.8+x67*0.6≤768
x61*0.05+x62*0.03+x64*0.07+x65*0.1+x67*0.08≤384
x63*0.01+x65*0.05+x67*0.05≤0

根据x11至x67这四十二个变量的实际意义，生产的产品的数量不可能为负数，得到
x11，x12，x13，…，x66，x67≥0

由已知条件，任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件，得：
x11≤600
x12≤1100
x13≤400
x14≤400
x15≤900
x16≤300
x17≤200
x11+x21≤1200
x12+x22≤1600
x13+x23≤600
x14+x24≤400
x15+x25≤1300
x16+x26≤600
x17+x27≤350

x11+x21+x31≤1500
x12+x22+x32 ≤2200
x13+x23+x33 ≤600
x14+x24+x34 ≤400
x15+x25+x35 ≤1800
x16+x26+x36 ≤1000
x17+x27+x37 ≤450

x11+x21+x31+x41 ≤1700
x12+x22+x32+x42 ≤2500
x13+x23+x33+x43 ≤1000
x14+x24+x34+x44 ≤900
x15+x25+x35+x45 ≤2000
x16+x26+x36+x46 ≤1000
x17+x27+x37+x47 ≤550

x11+x21+x31+x41+x51 ≤1700
x12+x22+x32+x42+x52 ≤2600
x13+x23+x33+x43+x53 ≤1500
x14+x24+x34+x44+x54 ≤1000
x15+x25+x35+x45+x55 ≤3000
x16+x26+x36+x46+x56 ≤1300
x17+x27+x37+x47+x57 ≤550

x11+x21+x31+x41+x51+x61≤2200
x12+x22+x32+x42+x52+x62≤3100
x13+x23+x33+x43+x53+x63≤1600
x14+x24+x34+x44+x54+x64≤1300
x15+x25+x35+x45+x55+x65≤4100
x16+x26+x36+x46+x56+x66≤1800
x17+x27+x37+x47+x57+x67≤610

该厂所得的总利润为该厂每个月获得利润之和：
P=P1+P2+P3+P4+P5+P6；

    为了简化初步优化模型，我们首先不考虑产品的存储问题，仅就市场需求，以及设备允许的最大工作时间的限制，分别对一月，二月，三月，四月，五月，六月该厂所获得的最大利润进行分析，以便对该厂的生产能力初步估计，同时也对该厂与市场的供求关系初步定位，以便在得出一个初步的数据之后，再宏观调整生产计划，使在六个月内该厂所得的总利润最大。
首先，对一月份该厂的利润分析，建立初步优化模型：
P1=x11*100+x12*60+x13*80+x14*40+x15*110+x16*90+x17*30

在以下约束条件下，求P1的最大值：

x11*0.5+x12*0.7+x15*0.3+x16*0.2+x17*0.5≤1152
x11*0.1+x12*0.2+x14*0.3+x16*0.6≤768
x11*0.2+x13*0.8+x17*0.6≤1152
x11*0.05+x12*0.03+x14*0.07+x15*0.1+x17*0.08≤384
x13*0.01+x15*0.05+x17*0.05≤384

0≤x11≤500
0≤x12≤1000
0≤x13≤300
0≤x14≤300
0≤x15≤800
0≤x16≤200
0≤x17≤100
    只要求得P1的最大值，P1就是该厂在一月份所能够获得的最大利润。利用Matlab6.5，我们可以用它的工具箱中的fmincon函数求得 (–P1)的最小值。 程序清单在本论文的“Matlab6.5程序清单”部分。
同样，用这个初步优化模型，我们可以对该厂的二月，三月，四月，五月，六月的生产进行规划。利用Matlab6.5软件，我们就可以求得每个月相应的最大利润。 把求解结果列成表格，如下：

初步决策表如下：                  ( 表5 )

    产品
月份        I        II        III        IV        V        VI        VII        利润
1月        500        888.571        300        300        800        200        0        245314
2月        600        500        200        0        400        300        150        181500
3月        0        0        0        0        0        400        0        36000
4月        200        300        400        500        200        0        100        115000
5月        0        100        500        100        1000        300        0        187000
6月        550        550        0        350        0        550        0        150500

    如果采用该生产计划，该厂六个月所获得的总利润：
P(1)=P1+P2+P3+P4+P5+P6=915314
    为了方便对上表进行分析，我们对表5做了标注，做成表6如下。从表6中我们可以看出，在标有$的格子里， 该厂依据设备限制做出的决策能够较理想的满足市场的需要，并且不会造成产品的积压，也就不需要支付储存产品的费用了；  标有@的格子，表示当时的市场对该产品需求量为零，显然，如果这时生产该产品，只会造成产品的不必要的积压，影响该厂资金的周转，同时也把一部分资金浪费在该产品的存储费用上了；  标有? 的格子，表示当时由于设备维修，根据假设“被维修的设备在当月内不能安排生产”，所以当时该厂生产的相应的产品产量为零。 虽然当时该产的相应产品产量为零，考虑到市场对相应产品还是有需求的，我们为了获得更大的利润，可以考虑在标有? 的格子的上个月里，增加其产量，保存一个月后再出售。这样就可以获得最大的利润了。
           
分析表格：                         ( 表6 )

    产品
月份        I        II        III        IV        V        VI        VII
1月$        500  $        888.571$        300   $        300   $        800   $        200   $        0    $
2月        600        500        200   $        0  @        400        300   $        150
3月$        0   ?        0   ?        0  @        0  @        0   ?        400   $        0   ?
4月$        200  $        300  $        400   $        500  $        200   $        0  @        100  $
5月        0  @        100  $        500        100  $        1000        300  $        0  @
6月$        550  $        550  $        0   ?        350  $        0   ?        550  $        0   ?

    我们用初步优化模型解得的该厂对于一月，三月，四月，六月的生产规划是充分利用了该厂的实际生产设备资源，同时也最大程度地满足了市场需求。 根据以上分析，我们必须对二月和五月的生产计划进行相应的调整，此时，我们已经把存储费用问题也考虑在我们的高级优化模型里了。
对于二月，我们建立了相应的高级优化模型：

P2’=600*100+95*(x21-600)+500*60+(x22-500)*55+x23*80+x24*40+500*110+(x25-400)*105+x26*90+150*30+(x15-150)*25

在以下约束条件下，求P2’的最大值：

x21*0.5+x22*0.7+x25*0.3+x26*0.2+x27*0.5≤1536
x21*0.1+x22*0.2+x24*0.3+x26*0.6≤768
x21*0.2+x23*0.8+x27*0.6≤384
x21*0.05+x22*0.03+x24*0.07+x25*0.1+x27*0.08≤384
x23*0.01+x25*0.05+x27*0.05≤384

0≤x21≤700
0≤x22≤600
0≤x23≤200
0≤x24≤0
0≤x25≤500
0≤x26≤300
0≤x27≤250
    放宽对x21，x22，x25，x27的约束，就可以更加充分地利用二月该厂拥有的所有设备资源，储存一定数量的产品， 已满足三月相应产品的短缺， 从而获得更大的利润。
对于五月，我们建立了相应的高级优化模型：

P5’=x51*100+x52*60+500*80+75*(x53-500)+x54*40+1000*110+105*(x55-1000)+x56*90+x57*25
在以下约束条件下，求P5’的最大值：

X51*0.5+x52*0.7+x55*0.3+x56*0.2+x57*0.5≤1152
X51*0.1+x52*0.2+x54*0.3+x56*0.6≤768
X51*0.2+x53*0.8+x57*0.6≤1152
X51*0.05+x52*0.03+x54*0.07+x55*0.1+x57*0.08≤384
X53*0.01+x55*0.05+x57*0.05≤384

0≤x51≤0
0≤x52≤100
0≤x53≤600
0≤x54≤100
0≤x55≤1100
0≤x56≤300
0≤x57≤100

    放宽对x53，x55，x57的约束，就可以更加充分地利用五月该厂拥有的所有设备资源，储存一定数量的产品，已满足六月相应产品的短缺，并满足”6月末各种产品各贮存50件”的要求，从而获得更大的利润。
用Matlab6.5优化工具箱中的fmincon函数对上述高级优化模型求解，并综合初步优化模型解得的合理的生产规划数据，得到：最优决策如下：

( 表7 )

    产品
月份        I        II        III        IV        V        VI        VII        利润
1月        500        888.571        300        300        800        200        0        245314
2月        700s        600s        200        0        500s        300        140s        206700
3月        0        0        0        0        0        400        0        36000
4月        200        300        400        500        200        0        100        115000
5月        0        100        600s        100        1100s        300        100s        206750
6月        550        550        0        350        0        550        0        150500

如果采用该生产计划，该厂六个月所获得的总利润：
P(2)=P1+P2+P3+P4+P5+P6=960264

    根据以上模型求解得出的最优生产规划数据，我们很容易就可以求出该厂每一种设备每个月份的实际工作时间，列成下表。综合表7和表8 ，我们清楚地看到，三月份和六月份该厂的厂量不容乐观，究其根本原因： 3月仅有的1台镗床需要维修，6月仅有的1台刨床也需要维修，而被维修的设备在当月内不能安排生产，造成生产线脱节，不能完成相应产品的生产工作，很自然，该厂在三月和六月所获得的最大利润也不理想。

                                  ( 表8 )

       月份
设备        1月        2月        3月        4月        5月        6月
磨床        1152        1050        80        420        510        770
立钻        437.7        370        240        230        230        600
水平钻        340        384        0        420        540        110
镗床        152.7        114.2        0        82        128        68
刨床        43        34        0        19        66        0

比较表8与表4，可以求出该厂每种设备在每个月的利用率，列成表9，如下：

                                 ( 表9 )

       月份
设备        1月        2月        3月        4月        5月        6月
磨床        100%        68.36%        5.21%        27.34%        44.27%        50.31%
立钻        56.99%        48.18%        31.25%        59.90%        59.90%        78.125%
水平钻        29.51%        100%        0%        36.46%        46.875%        14.32%
镗床        39.77%        29.74%        -----------        21.35%        33.33%        17.71%
刨床        11.20%        8.85%        0%        4.95%        17.19%        ------------

    从表9可以看出，该厂生产能力较强，不仅能够比较理想地满足市场的需求，而且所有设备的平均利用率并不高。如果市场需求更大时，该厂还有扩大生产的余地。由此可见，就目前市场的需求量并不太高的形势，不购买机器是理智的决策。因为如果购入新机器，只会导致相应的设备的平均利用率更低，造成不必要的资源浪费。
与此同时，我们也应该看到，该厂在三月和六月获得的利润不高。可以考虑在三月租用一台镗床，在六月租用一台刨床，以满足生产的需要。在表6的生产规划中，我们只需对三月和六月的生产规划进行相应的调整就可以了。

P3’’=x31*100+x32*60+x33*80+x34*40+x35*110+x36*90+x37*30

在以下约束条件下，求P3’’的最大值：

x31*0.5+x32*0.7+x35*0.3+x36*0.2+x37*0.5≤1536
x31*0.1+x32*0.2+x34*0.3+x36*0.6≤768
x31*0.2+x33*0.8+x37*0.6≤1152
x31*0.05+x32*0.03+x34*0.07+x35*0.1+x37*0.08≤384
x33*0.01+x35*0.05+x37*0.05≤384

0≤x31≤300
0≤x32≤600
0≤x33≤0
0≤x34≤0
0≤x35≤500
0≤x36≤400
0≤x37≤100

对于六月：
P6’’=x61*100+x62*60+x63*80+x34*40+x65*110+x66*90+x67*30

在以下约束条件下，求P3’’的最大值：

x61*0.5+x62*0.7+x65*0.3+x66*0.2+x67*0.5≤1536
x61*0.1+x62*0.2+x64*0.3+x66*0.6≤768
x61*0.2+x63*0.8+x67*0.6≤768
x61*0.05+x62*0.03+x64*0.07+x65*0.1+x67*0.08≤384
x63*0.01+x65*0.05+x67*0.05≤384

0≤x61≤550
0≤x62≤550
0≤x63≤150
0≤x64≤350
0≤x65≤1150
0≤x66≤550
0≤x67≤110
                              ( 表10 )

    产品
月份        I        II        III        IV        V        VI        VII        利润
1月        500        888.571        300        300        800        200        0        245314
2月        600        500        200        0        400        300        150        181500
3月        300        600        0        0        500        400        100        160000
4月        200        300        400        500        200        0        100        115000
5月        0        100        500        100        1000        300        0        187000
6月        550        550        150        350        1150        550        110        291550

如果采用该生产计划，该厂六个月所获得的总利润：
P(3)=P1+P2+P3+P4+P5+P6=1180364

    比较P(1)，P(2)，P(3)不难发现：P(3)&gt(2)&gt(1)，假设该厂对于租用相应机器设备以后所应获得的净增利润的期望最少应为XP，否则该厂不会租用相应的机器设备。同时，假设在三月和六月内该厂租用相应短缺的设备的总价格为Q，我们可以把P(2)，P(3)，Q和XP的关系用不等式表达，如下：
P(3)-P(2)-Q≥XP
对上式变形：Q≤P(3)-P(2)-XP=220100-XP
上式表明：只要在特定时间租用相应的机器设备的总价格不高于(220100-XP)，该厂还是能够依靠租用设备来满足生产需要和市场的需求，并获得(220100-Q)的利润。

六  模型的优缺点：
本文的优点如下：
1)        采用“从整体到局部再回到整体”的分析问题的方法，首先，从整体上分析问题的实质，确定出约束生产计划的主要因素，然后，就每个月市场需求的实际情况以及该厂资源的限制，建立初步优化模型，对每个月的生产计划初步定位，最后建立高级优化模型，从宏观角度上对该厂六个月的生产计划进行合理的调整，从而使该厂六个月内获得的总利润最大。
2)        提出了设备利用率的概念，求得利用最优策略组织生产时，该厂各设备每月实际利用率表。该表可以为该厂进一步决策提供参考。
3)        初步优化模型和高级优化模型均采用多变量线性优化的方法，并用数学软件Matlab6.5进行计算机求解，算法稳定，准确性高，容量大，逻辑性严格，计算速度快，具有较强的说服力和适应能力。
本文的缺点如下：
1) 在“是否购买机器设备”这个问题的决策上，由于所给数据有限，我们无法对从长远的角度来看这个问题。所以我们仅就目前该厂的实际情况作出“租用机器设备”的决策，此决策有一定的局限性。

七  Matlab6.5程序清单：
本论文各模型所用的Matlab6.5的程序类似，限于篇幅，在此仅把用初步优化模型求(-P1)的最小值得程序清单列出，求解其余函数(-P2，-P3，-P4，-P5，-P6，-P2’，-P5’，
-P3’’，-P6’’)的最小值只需更改函数表达式和数据即可。


     %编写myfun.m函数：
function f=myfun(x)
f=-x(1)*100-x(2)*60-x(3)*80-x(4)*40-x(5)*110-x(6)*90-x(7)*30；

回到命令窗口，输入：
A=[0.5      0.7      0       0      0.3    0.2     0.5；
   0.1      0.2      0       0.3    0      0.6     0；
   0.2      0        0.8     0      0      0       0.6；
   0.05     0.03     0       0.07   0.1    0       0.08；
   0        0        0.01    0      0.05   0       0.05] ；
b=[1152
768
1152
384
384
]；
lb=[0；0；0；0；0；0；0]；
ub=[500 1000 300 300 800 200 100]；
x0=[10；10；10；10；10；10；10]；
[x，fval]=fmincon(&#39;myfun&#39;，x0，A，b，[]，[]，lb，ub)；

输出结果：
x=
500
888.57
300
300
800
200
0
fval=
-2.453142857142857e+005





[参考文献]：
1.        MATLAB原理与工程应用 [美]Edward B. Matlab等著 高会生 李新叶 胡智奇 等译 电子工业出版社2002年6月第一版
2.        Matlab 6.5辅助优化设计计算与设计 飞思科技产品研发中心  编著 电子工业出版社2003年1月第一版
3.        数学模型 任善强 雷  鸣  编著 重庆大学出版社 1998年4月第二版

HUASHI3483

基金使用计划问题(有论文哦）
基金使用计划
一 题目简介
某单位基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。
单位基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀职工，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。单位基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助单位基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
1. 只存款不购国库券；
2. 可存款也可购国库券。
3．单位在基金到位后的第八（2010年）年要举行50年庆祝，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

存款种类
活期
3个月
6个月
一年
二年
三年
五年

年利率%
0.72
1.71
1.89
1.98
2.25
2.52
2.79

额外条件
1 实际收益利益为公布利率的80%，20%为利息税上交国库
2 国库券具有2年，3年，5年的三种，其存款利率与周期的定期存款利率相同，但不交利息税。

HUASHI3483

浙江水利水电专科学校学报
JOURNAL OF ZHEJIANG WATER CONSERVANCY AND HYDROPOWER COLLGEG

                                            最佳基金使用计划模型＊

                                          郑玉仙，陈国林，许英俊，朱云信

                                （浙江水利水电专科学校，浙江　杭州　310016）



    摘　要：运用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n年．这样，对前面的（n－1）年，第i年终时M1到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第n年，则用除去M元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使用方案问题．
　　关键词：超限归纳法；排除定理；仓恩定理

1　问题简介
    基金使用计划
　　某校基金会有一笔数额为M元的基金，欲将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见表1．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．



　　校基金会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．需
帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M＝5 000万元，n＝10年给出具体结果：
    ①只存款不购国库券；
    ②可存款也可购国库券．
　　③学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20％．
2　模型的分析、假设与建立
2．1　模型假设
    ①每年发放的奖金额相同；
    ②取款按现行银行政策；
    ③不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响；
    ④基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放；
　　⑤国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费；
　　⑥到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券．
2．2　符号约定
    K——发放的奖金数；
    ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；
　　Mi——支付第i年奖金，第1年开始所存的数额（i＝1，2，…，10）；
    U——半年活期的年利率；
2．3　模型的建立和求解
2．3．1　情况一：只存款不购国库券（1）分析
　　令：支付各年奖金和本金存款方案———Mij（i＝1，…，10，i；j属于N）．

根据排队定理：一个集一定可以依一个次序排除．
    ∴A中每行必存在上界，
    ∵A中存在一个极大组合．
　　M万元基金存入银行后，每年又拿出相同数额的本息奖励优秀师生，因为最后剩余的金额等于原来的本金，所以用这种发放的奖金总数可以看作是n年中各种利息的总和．将基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存1年，M2存2年，…，Mn存n年，对前面的（n－1）年，第i年的次年年初Mi到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第10年，则用除去M元后所剩下的钱作为第n年的奖金发放．
    一般的模型：

关键在于如何计算每一个Ri．
　　基金在年初到位，而学校当年的奖学金一般在次年年初发放．因此，选择存活期或不可能使得到的利息最大．要尽可能提高奖金额，应选择存定期．在定期的选择上，应把尽可能多的钱存到定期长的储种上去；同时由于储种有限（只有半年、1、2、3、5年定期），这就需要对某些储种进行组合优化．即应尽可能地利用年份多的储种（如能用3年的决不用2年定期），对于M1，为了支付第一年的奖金，显然是存1年期拿到本金和利息最高，余者显然亦如此．对于特定年份的定期存款采用现有的储蓄种类的组合（如4年定期采用3年定期和1年定期组合等），要使所得的利息最大，对于该结论的说明如下所述．
    存4年定期时的有2种方案：

N为任意存款），显然，3年定期和一年定期组合最优．同理，通过计算各种组合，Mi得最大利息的存储方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分别表示定期存的年数）．




    从表中可以得出以下结论：
　　①这是一个以5年为周期的方案组合，从第6年开始相当于对应的年份再加上一个5年定期，所得的存储方案最为合理．
　　②采用超限归纳法的推论，可将模型论推广到n年，则可得到如下的结论．对于一个以m年为周期的方案组合，可以从第m＋1年开始，在相应的年份上再加上一个m年定期，此时所得的方案最为合理．
　　（2）每1个Mi经过i年后得到的本金和利息，可用于支付奖金，下面可用反证法加以证明．
　　证明：假设有另外一种方案使K1＞K，则显然存在某个n年期的存款到期后所得的总额R，可满足R－K1＞0（因为在我们的计算方式下，R＝K，即刚好用完）．则需要将R－K1转存入下一个存款．而按照前面我们得出的结论，要使所得的利息最大，则应尽可能地利用年份多的储种．
　　可推断，由此所得的利息要比一开始就将R－K1存一个更长时间的定期要少．与假设相矛盾．所以上述方式使得每年获得的奖金额度最大．
    （3）求解：根据以上的讨论，可以建立以下的方程组：



    其中ri是i年期的存储的一个增长系数
　　由MATLAB编程的线性优化函数LP（Linear Program－ming），可得K＝109．800 0（万元）
　　这样，我们就可以通过把分成这10份，前9份刚好付当年的奖金，第10份刚好满足奖金和原有的基金，并得到了最优化的解（见表3）．
2．3．2　情况二：可存款也可购国库券
　　我们对情形二外加了一个购买国库券的方式．同样把M分成M1，M2，…，Mn；存n年；且n年终将本金和利息一起取出来作为奖金发放，在外加购买国库券后，对Mn达到最大本金和利息有更多的组合及考虑因素．
　　因为国库券发行时间任意，且银行结算与发放奖金均在年终，因此得到购券基金并不能马上购券，需先存银行，国库券到期也不能马上作为奖金发掉，也需存银行．




    因经购买一次国库券，必定耽误一年的时间使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明显高于活期，又不影响对奖金的发放，所以这一年一定存1个半年定期和半年的活期。由于国库券发行时间不定，一年中任何一天发行都是可能，这就涉及到数学期望的问题。可以把一年的分为360天，如果国库券发行在上半年的第n天，则n天到期后的本金和利息为（0.792%×n>180),这笔钱要分半年定期和活期是最优化的.先不考虑定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是[0.792%×(180-n)/360+1]m,那么这笔钱有半年里的本金和利息为[0.792%×(180-n)/360+1]×

    u=0.00396
    由上节(2)已证了Mi经过i年的本金和利率,刚好放奖金时最优,现在讨论Mi在i年中存银行或购买国库券,或两者都有,以不同组合的所得到的利息的高低来取最优的组合.我们对每年Mi的组合都进行分析(见表4),对于M1,M2不能考虑国库券,两年内尚不可支取用于支付奖金.对于M3根据情形可得出要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种这样一个结论.

从表4可知,最优的方案如表达所示.


根据以上的讨论,可以建立以下的方程组:

ro/2)(1+u)=k
     与上题同法,用线优化函数(lp)就解得:
    k=127.5(万元)

按照表6所述的对Mi各组达到最优化分配，并保证了所发放的奖金k达到最优值．
2．3．3　学校基金到位后的第三年的奖金比其他年度多20％
　　要使得基金到位后第3年的奖金比其他年度多20％，问题3与问题1和问题2的情形类同．可分为只存银行与既存银行又买国库券两种情形．将情形一的（3）式改成

其余保持不变．
    得最优解，K＝107．53（万元）
　　其本金收益计算于见表7．

将情形二的（3）式改成M3×（1＋r3）＝1．2×K；其余保持不变．
    得最优解：K＝124．8（万元）
　　其本金收益见表8．

3　模型的分析和改进
　　情形一，我们利用超限归纳法及其推论，对结论2给出了一个完整的说明，从而对下述定理的证明及推广也起了很大的作用，该方法使得数学模型大为简化．但情形一中，我们所考虑的是大大简化了的模型，要考虑各方面因素，不会影响该模型，我们只需对原方程中加入一些参数，思路不变．
　　例如：不假设学校一年发两次奖金．对于该题，我们需要考虑存半年期的情况，这也就是与前面最大的不同之处．
　　情形二，前面用有限枚举法，通过与情况一的比较确定更优值，其思想方法简单易行，但计算太复杂．可以利用集论中的仓恩定理对该模型求出一个上限或下限．上限，即国库券随时可购，可用情况一的求解方法，直接求解，然后由仓恩定理可得出必定存在极大元素，再对各种可能的情况进行分析，计算，从中选出极大值，这就是我们所要求的最优方案．下限，就是考虑到想买买不到的情况．
　　如存9年期的M9，假如第一年国库券发行时间是9月份，买了一个5年期的．那就是到第5年的9月份才能取出来，但第5年的国库券发行时间可能在9月份之前，也就是只有到下一个才能买到．这就有一个最坏的情况，可以求出问题的一个下限．
　　同时我们也要考虑到求每个Mi的增长率时，不能单独考虑．
　　如：对于存9年期的M9如果考虑对M6买一个五年期的国库券时把发行时间定在第一个季度，那么对M9先买5年期的国库券也要在第一个季度．
4　结　语
　　这一思想的理论基础是《序数》中所用的“排队定理”和“仓恩定量”．
　　对第一问，通过计算我们得到最优的将基金的本金（加上去）作为奖金发放，同时我们用超限归纳法及其推论，可以证明这样的方案是最优的．而且，对于实际操作，我们给出了一个以5年为周期的规律，便于推广．对于第二问，推广了前面一种情形的思路，增加了购买国库券，其实质就是对这Mi经过i年存款和购买国库券得到的本金和利息最高．对于第三问，我们分只存款不购买国库券和购买国库券两种情况分别给出了结果．
参考文献：


［1］　大学生数学建模竞赛辅导教材［M］．长沙：湖南教育出版社．
［2］　王丙武．实用教程［M］．北京：中国水利水电出版社．
［3］　北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组．代数续论［M］．北京：北京大学出版社．

附：

HUASHI3483

电涡流传感器温度稳定性问题(有论文哦）
清华大学学报(自然科学版)
JOURANL OF TSINGHUA UNIVERSITY
(SCIENCE AND TECHNOLOGY)
1999年 第39卷　第10期　Vol.39　No.10 1999


                               电涡流传感器温度稳定性研究*

                                   丛华　张德魁　赵鸿宾

文摘　为了提高磁悬浮轴承高频电主轴控制系统中电涡流传感器的温度稳定性，针对恒频调幅式电涡流位移振动传感器，分析了电涡流传感器的基本结构和工作原理，建立了检测电路数学模型，找出了影响其温度稳定性的主要原因，并提出了对激励信号进行稳频、稳幅，尽量减小检测线圈等效损耗电阻以及差动补偿等提高温度稳定性的措施。作者在此基础上研制出的精密差动式电涡流位移振动传感器，在实际运行中温度系数达到2×10－4 ℃－1以上，长期稳定性优于0.5%。
关键词　电涡流；传感器；温度稳定性；磁轴承
分类号　TP 212.15

                         Research on temperature stability
                                  of eddy current sensor

CONG Hua, ZHANG Dekui, ZHAO Hongbin
Department of Engineering Physics,
Tsinghua University, Beijing 100084, China

Abstract　To improve the temperature stability of eddy current sensor in active magnetic bearing controlling system, in allusion to amplitude modulation vibration and displacement eddy current sensor, by the means of mathematical model analysis, the reasons that cause the temperature instability of eddy current sensors are found out and analyzed. A practical design of eddy current sensor is given, with the optimization of the resistance of induction coil and the design of highly frequency and amplitude stabilized oscillatory signal source, and with the method of differential compensation, a high temperature stability is reached. The temperature coefficient is less than 2×10－4　℃－1, the long term stability is better than 0.5%.
Key words　eddy current；　sensor；　temperature stability; magnetic bearing

　　电涡流位移振动传感器以其灵敏度高、响应快和测量的非接触性等优点，在位移、振动的测量以及材料的物理参数检测等方面有着广泛的应用。但是，电涡流传感器有一个最大的缺点，就是温度稳定性差。
　　电涡流传感器主要测量电路从形式上大致可以分为恒频调幅式和调频式两大类。其中，恒频调幅式电涡流传感器温度稳定性相对较高，国内外市场上的商品电涡流传感器基本上都是属于这一类，其温漂的性能指标均在5×10－4～10×10－4　℃－1之间。为进一步提高恒频调幅式电涡流传感器的温度稳定性，本文建立了数学模型，分析并找出了影响传感器温度稳定性的主要因素，提出了解决问题的思路和方法。

1　数学模型

　　恒频调幅式电涡流位移振动传感器可以用如图1所示电路模型表示。
　　图中U1为检测电路输出电压；L1为传感器线圈等效电感；L2为被测体的等效电感；R2为被测体的等效电阻；M为线圈与被测体之间的互感；R0为分压电阻；I2为被测体中等效电流；R2为传感器线圈等效电阻；I1为检测线圈中的电流；C为并联谐振电容；U0为激励信号电压。

：

图1　恒频调幅式电涡流传感器等效检测电路模型

　　采用恒频、恒幅的高频正弦信号U0对检测电路进行激励，利用电容C和检测电感线圈构成并联谐振回路，当被测体与检测电感线圈相对距离发生变化时，检测线圈与被测体涡流环之间的互感M发生变化，从而引起输出信号U1变化。由基尔霍夫电流定率KCL和电压定律KVL可得到如下方程：

：

(1)

解方程(1)可求得传感器检测电路数学模型：

：

(2)


其中：
：

(3)

：

(4)

2　影响因素分析

　　从式(2)可知，激励信号U0的幅值和频率、线圈等效损耗电阻R1、线圈电感L1、并联谐振电容C、分压电阻R0以及由被测导体引入的R，L都可能影响传感器的输出。
　　被测导体的温度和特性参数，如电导率、磁导率等是随着被测导体的不同而变化的。由被测导体引入的R，L对传感器输出的影响，最终可以等效为R1和L1对传感器的影响，因此这里认为传感器空载而对R，L不予考虑。分压电阻R0一般与检测电感线圈是分开的，当采用温度系数小的电阻元件时，引起的温漂很小，可以忽略不计。
2.1　激励信号
　　当传感器空载时，式(2)可写为

：

(5)

　　当传感器其它参数不变而激励信号U0发生变化时，从式(5)可以得到

：

(6)

也就是说U0的相对幅值变化与U1的相对幅值变化相等。
　　激励信号频率变化的影响如图2所示，其中U是传感器工作在谐振点时U1的取值。对于1　MHz激励信号，假设谐振回路无载品质因数Q值为100，那么频率变化1%，U1的幅值变化约为20%.

：

图2　激励信号频率对传感器的影响

　　所以激励信号的幅值、频率稳定程度直接影响了传感器的稳定程度。
2.2　等效损耗电阻
　　传感器工作时线圈中的电流是变化的，由于线圈发热和周围环境温度的变化，R1也是在变化的。当L1一定时，R1直接决定了检测电路的品质因数。图3中所示不同的R1对应的传感器的输出曲线是不同的。 R1越大，回路品质因数越小，传感器输出信号幅值越低，反之就越大。通常情况下，R1变化1%, |U1|也将变化1％左右。而且，这一比例随着R1的增大而增大。

：

图3　等效损耗电阻对传感器的影响

2.3　线圈电感和并联谐振电容
　　电涡流传感器的检测电感线圈属于高频小线圈，一般为蜂房式或叠绕式多层空心圆柱形结构，它的电感值按电讯工程设计要求用下面的经验公式计算［1］：


：
(7)

　　式中符号Dc，b，h的意义如图4所示，单位为cm，n为线圈匝数，L1单位为μH。


：
图4　电感线圈

　　从式(7)知道，电感线圈匝数一定时，电感值与线圈外形尺寸有关，而线圈的骨架和导线所采用材料的线膨胀系数一般都在10－6℃－1左右。所以传感器线圈电感的温度系数一般都是可以忽略的。
　　并联谐振电容中虽然包含了电缆和线圈的分布电容，但是和并联谐振电容C相比，它们是极小量。所以并联谐振电容对传感器的温度稳定性的影响取决于电容C，当采用温度系数小甚至负温度系数的C时，它对传感器的温度稳定性的影响也是可以忽略的。

3　改进措施

　　从以上分析知道，激励信号U0的频率、幅值的温漂和线圈等效损耗电阻R1是影响电涡流传感器温度稳定性的主要因素。下面具体分析提高电涡流传感器的温度稳定性的措施。
3.1　对激励信号进行稳频稳幅
　　电涡流位移振动传感器激励信号一般是由一个频率为1　MHz或2　MHz的电容三端式正弦波振荡器和一个功率放大器组成的信号发生器提供。这种信号发生器的频率稳定度取决于电感和电容元件参数的稳定性、谐振回路无载Q值、负载等因素，其频率的稳定度很难超过10－4。石英的物理特性十分稳定，而且品质因数高，选频特性好，起振容易，波形失真小。采用AT切型石英谐振器构成的石英晶体振荡器，在-20℃～60℃的范围内其频率的稳定度［2］可以达到10－7，从2.1的分析知道，在这一温度范围内传感器由于激励信号频率引起的温漂可以控制在10－6。
　　对于激励信号幅值的稳定方法可以采用深度负反馈网络构成AGC电路，其结构如图5所示。这样可以使激励信号的幅值稳定在10－4，因此可以把由于激励信号幅值引起的传感器温漂控制在10－4。
：


图5　激励信号发生器原理图

3.2　减小等效损耗电阻
　　等效损耗电阻R1不仅包含了导线的直流电阻，而且也包含了由于集肤效应和邻近效应等引起的交流阻抗。设图1中所示并联谐振回路阻抗为X，有

：

(8)

　　并联谐振回路的无载Q值很高，也就是说R1很小，C也相对较小，于是(8)式可以写成

：

(9)

　　由于传感器工作时L1一定，因此，当R1有微小变化ΔR1时有：

：
(10)

　　所以R1越小，传感器受R1的影响越小，图6能够更直观地说明这一结论。从图6中可以看出，当L1一定时，R1越小，相对于L1来说，R1对传感器的影响也越小。

：

图6　R1，L1对传感器的影响

　　从上面的分析看，应该用导电率高而温度系数小的导电材料制作电感线圈，但是导电材料的温度系数总是存在的，如铜的温度系数为0.4%℃－1。为进一步减小等效损耗电阻R1，应该对电感线圈的R1进行优化计算。当线圈的几何尺寸和电感一定时，导线线径的优化是减小R1的关键。采用最佳的导线线径［3］可以最大限度地减小由于集肤效应和邻近效应引起的交流阻抗，必要时进行多股并绕。
　　另外，从图6还可以发现，在传感器灵敏度和线性测量范围允许的条件下，传感器工作点可以离谐振点适当远一点，以减小R1的影响。
3.3　差动补偿
　　激励信号U0的幅值、频率和传感器线圈等效损耗电阻R1引起的温度系数通过优化设计可以减小，但是完全消除是困难的。为进一步提高传感器的温度稳定性，差动补偿是一个有效的方法，其电路原理如图7所示。由于采用两个完全相同的检测电感线圈组成差动结构，而且电路设计也完全对称，使得两个回路的温漂以及时漂作为共模信号互相抑制，从而提高了传感器的温度以及时间稳定性。传感器探头可以根据被测体的结构设计成单探头结构或双探头结构。

：

图7　差动补偿原理

4　设计实例

　　为满足对磁悬浮轴承高速转子在大的温度变化范围内进行长期精确的位移及振动监测的特殊需要，作者在上述理论分析的指导下，设计了高稳定度电涡流位移振动传感器。该传感器采用双探头差动补偿的结构形式［4］，探头线圈直径5　mm。通过设计高幅值、高频率稳定度的激励信号源电路和对线圈线径进行优化等措施，使传感器线性量程范围达到2　mm，温度系数达到2×10－4 ℃－1以上，这一性能指标大大优于一般商品传感器。图8是对传感器在实际工作环境(约30℃的温度变化范围)中，进行长时间稳定性检测的结果，可以看出其长期稳定性优于0.5%. 图中横轴为时间t，纵轴为漂移量d。

：

图8　传感器稳定性实验结果

5　结　论

　　影响电涡流传感器的温度稳定性的主要因素有三个方面： 激励信号幅值的温漂、激励信号频率的温漂和检测线圈等效损耗电阻的温漂。
　　利用石英晶体振荡器和AGC电路设计高幅值稳定度和高频率稳定度的激励信号源；利用导电率高而且温度系数小的材料来制做检测线圈，并且对线圈进行优化设计以最大限度地减小等效损耗电阻，是提高电涡流传感器的温度稳定性的有效措施。
　　采用差动补偿的方法，也可以有效地提高涡流传感器的温度稳定性。

*基金项目： 国家自然科学基金资助项目 (59575030)
第一作者： 男, 1966年生, 博士研究生
作者单位：清华大学 工程物理系, 北京 100084

参考文献

1　薛达章. 电讯工程设计手册. 北京：人民邮电出版社，1995
2　刘明亮. 振荡器的原理和应用. 北京： 高等教育出版社，1984
3　切巴卢赫 A M. 仪表电感元件设计. 萧静西译. 北京： 机械工业出版社，1987
4　Cong Hua, An Gang, Zhao Hongbin. Differential eddy current sensor. In: Wen T D, lst eds. 2nd International Symposium on Test and Measurement. Beijing: International Academic Publishers, 1997: 409～412