数学建模教程----(一)数学建模概论

tshc

随着计算机的不断更新和科学技术的迅猛发展。数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而逐步深入到人类活动的各个方面。生物、医学、社会、经济……，各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，急待人们去研究、去解决。
??应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型。从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。

tshc

模型是客观实体有关属性的模拟。陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机，至于它是否真的能飞则无关紧要；然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同，如果飞行性能不佳，外形再象飞机，也不能算是一个好的模型。模型不一定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符号、文字和数字来反映出该地区的地质结构。数学模型（Mathematical Model）也是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。为了更清楚地说明什么是数学建模，让我们来看一个具体实例。
??例（万有引力定律的发现）
??有一种流传甚广的说法，一个苹果从树上掉下，打在了坐在树下的牛顿（1642-1727）头上，于是万 有引力定律就被牛顿发现了。这一说法的真伪我们暂且不说，树上掉下的苹果也许的确给过牛顿某种启示，但万有引力定律的诞生却决非如此简单，事实上，它是几代人努力的结果。
??十五世纪中期，哥白尼（1473-1543）冲破宗教势力的束缚，向长期统治人们头脑的地心说发起挑战,提出了震惊世界的日心说。按照哥白尼的理论，地球在一个以太阳为圆心的圆形轨道上作匀速圆周运动，绕太阳一周的时间为一年。哥白尼的理论是科学史上的一次重大革命。尽管由于受历史和科学水平的限   制，其学说免不了也包含了一些不尽人意的缺陷。此后，丹麦著名的实验天文学家第谷（1546-1601）花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况，留下了十分丰富而又精确的第一手资料。第谷的学生和助手开普勒（1571-1630）对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，第谷的观察结果与哥白尼的理论并不完全一致，例如，火星的运行周期就相差1/8度。开普勒深信第谷的观察结果是精确无误的，这就使他对哥白尼的圆形轨道的假说产生了怀疑。他以观察数据为依据，归纳出了开普勒第一定律：行星沿椭圆形轨道绕太阳运行，太阳在此椭圆的一个焦点上。开普勒在计算出当时已知的五大行星的运行周期T和轨道长半轴a后，又发现了行量运行的某些规律（见表1-1），
??表1-1 五大行星运行周期及轨道长半轴（注：以地球为参照单位）

行星       周期T         长半轴a           T^2           a^3
水星       0.241          0.387           0.0581       0.0580
金星       0.615          0.723           0.378         0.378
火星       1.881          1.524           3.54           3.54
木星       11.86          5.203           140.7         140.9
土星       29.46          9.539           867.9         868.0

当时，对数表已经出现了，把上述数据的对数查出来，得一新表：
??表1-2

              水星    金星     火星     木星       土星
   lga     -0.41     -0.14       0.18        0.72          0.98
    lgT    -0.62     -0.21       0.27        1.07          1.47
   


    由表1-2可以看出，lga:lgT=2:3，故a^3=T^2。据此，开普勒提出了至今仍十分著名的三大假设（即Kepler三定律），这就是：
    （1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。
    （2）行星在单位时间内扫过的面积不变。
    （3）行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）
??牛顿认为，行星运动至所以会具有上述特征，必定是某一力学规律的反映，他决心找出这一规律。此外，根据（1）（2），行星运行的速度显然是变化的，这种变化的速度在当时还无法计算，为了研究这种变化的速度，牛顿引入了全新的计算方法，从而创立了微积分。

tshc

??从上节的例子可以看出，万有引力的导出并不像有些人想象的那样简单，即使不把哥白尼的工作计算在内，也包含了几代人的辛勤努力。没有第谷的观察数据就不会有开普勒的三大定律，而没有开普勒的三大定律，牛顿也无从着手，不可能得出万有引力定律。从万有引力定律的导出可以看出建立数学模型的过程大致可以分为以下几个步骤。
??（1）了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。这一步骤可以看成是建模准备，没有对实际问题的较为深入的了解，就无从下手建模。为了对实际问题有所了解，有时还要求建模者对实际问题作一番深入细微的调查研究，就像第谷观察行星的运动那样，去搜集掌握第一手资料。
??（2）在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。这一步骤实为建模的关键所在，因为其后的工作和结果都是建立在这些假设的基础之上的，也就是说，科学研究揭示的并非绝对真理，它揭示的只是：假如这些提出的假设是正确的，那么得到的结果也是正确的。
??（3）在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。采用什么数学结构、数学工具要看实际问题的特征，并无固定的模式。可以这样讲，数学的任一分支在建模中都有可能被用到，而同一实际问题也可以用不同的数学方法建立起不同的模型。一般地讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。
??（4）模型求解。为了得到结果，不言而喻建模者还应当对模型进行求解，在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。
??（5）模型的分析与检验。正如前面所讲，建立数学模型研究实际课题，得到的只是假如假设正确，就会有什么结果。那么，假设是否正确或者是否基本可靠呢，建模者还应当用结果来检验它。建立数学模型的目的是为了认识世界、改造世界，建模的结果应当能解释已知现象，预测未来的结果，只有经得起实践检验的结果才能被人们广泛地接受。牛顿的万有引力定律不仅成功地解释了大量自然现象，并精确地预报了哈雷慧星的回归，预言了海王星等其他行星的存在，才奠定了其作为力学基本定理之一的稳固地位。由此可见，模型求解并非建模的终结，模型的检验也应当是建模的重要步骤之一，只有在证明了建模结果是经得起实践检验的以后，建模者才能认为大功告成，完成了预定的研究任务。
??如果检验结果与事实不符，只要不是在求解中存在推导或计算上的错误，那就应当分析检查假设中是否存在不合理或错误之处，修改假设重新建模，直到结果满意为至。综合起来讲，数学建模的过程可以概括为图1-2所示的流程。
图1-2:
              实体信息----->假设------->建模--------->求解---------->验证-------->应用
                                                                       |
              (数据)   <-----------------------------------------------

tshc

?应当首先指出的是，模型的分类在建模中并不存在什么实质性的意义，只是出于教学上的方便，我们才单独列出了这一节。
??基于不同角度或不同目的，数学模型可以有多种不同的分类法。根据人们对某实际问题了解的深入程度不同，其数学模型可以归结为白箱模型、灰箱模型或黑箱模型。假如我们把建立数学模型研究实际问题比喻成一只箱子，输入数据、信息，通过建模获得我们原先并不清楚的结果。如果问题的机理比较清楚，内在关系较为简单，这样的模型就被称为白箱模型。如果问题的机理极为复杂，人们对它的了解极为肤浅，几乎无法加以精确地定量分析，这样的模型就被称为黑箱模型。而介于两者之间的模型，则被称为灰箱模型。当然，这种分类方法是较为模糊的，是相对而言的，况且，随着科学技术的不断进步，今天的黑箱模型明天也许会成为灰箱模型，而今天的灰箱模型不久也可能成为白箱模型，因此，对这样的分类我们不必过于认真。

??根据模型中变量的特征分类，模型又可分为连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等。根据建模中所用的数学方法分类，又可分为初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等。本书希望通过实例剖析来反映各种数学方法在建模中的应用，故本书各章主要采用的是这种分类法，以便较好地体现出各类数学方法的应用技巧。
??此外，对一些人们较为重视或对人类活动影响较大的实际问题的数学模型，常常也可以按研究课题的实际范畴来分类，例如人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等等。在本书的后半部分，我们将说明对一个实际课题常常可以采用不同的数学方法来加以研究，建立应用不同数学工具研究同一实际问题的数学模型，在那里，我们将采用这种分类方法。
?

tshc

?在高等院校开设数学建模课的主要目的并非为了传播知识而是为了提高学生的综合素质，增强他们应用数学知识解决实际问题的本领。因此，在学习数学建模时应当特别注意自身能力的培养与锻炼。要想知道梨子的滋味必须亲口去尝一下，要想知道如何建模，除了学习基本技能与基本技巧之外，更重要的是应当参与进来，在建模实践中获得真知。数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。实际问题经常是十分复杂的，既存在着必然的因果关系也存在某些偶然的因果关系，这就需要我们从错纵复杂的现象中找出主要因素，略去次要因素，确定变量的取舍并找出变量间的内在联系。假设条件通常是围绕着两个目的提出的，一类假设的提出是为了简化问题、突出主要因素，而另一类则是为了应用某些数学知识或其他学科的知识而提出的。但不管哪一类假设，都必需尽可能符合实际，即既要求做到不失真或少失真又要求便于使用数学方法处理，两者应尽量兼顾。此外，我们的研究是前人工作的继续，在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作真正成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，这就需要你具有很强的查阅文献资料的能力。你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，即“站在前人的肩膀上”，去探索新的奥秘。牛顿导出万有引力定律所用的假设主要有四条，即开普勒的三大定律和牛顿第二定律，他所做的工作表明，如果这些假设是对的，如果推导过程也是正确的，那么万有引力定律也是对的。事实上，我们也可以由万有引力定律推导出开普勒的三大假设。因而，万有引力被验证是正确的，也同样引证了开普三大定律和牛顿第二定律的正确性。总之，在提出假设时，你应当尽量引用已有的知识，以避免做重复性的工作。建模求解阶段是考验你数学功底和应变能力的阶段，你的数学基础越好，应用就越自如。但学无止境，任何人都不是全才，想学好了再做，其结果必然是什么也不做，因此，我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。在我们指导学生参加国内外数学建模时，常常遇到这样的情况，参赛的工科学生感到模拟实际问题的特征似乎需要建立一个偏微分议程或控制论模型等，他们并没有学过这些课程，竞赛时间又仅有三天（允许查资料和使用一切工具），为了获得较好的结果，他们只用了二、三个小时就搞懂了他们所要使用的相关内容并用进了他们的研究工作中，最终夺得了国际竞赛的一等奖甚至特等奖。这些同学在建模实践中学会了快速吸取想用的数学知识的本领，这种能力在实际工作中也是不可缺少的。应变能力包括灵活性和创造性。牛顿在推导万有引力定律时发现原有的数学工具根本无法用来研究变化的运动，为了研究工作的需要，他化了九年的时间创建了微积分。当然，人的能力各有大小，不可能要求人人都去做如此重大的创举。但既然你在从事研究，多多少少总会遇到一些别人没有做过的事，碰到别人没有碰到的困难，因而，也需要你多多少少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。俗话说得好：初生牛犊不怕虎。青年学生最敢于闯，只要他们善于学习、勇于实践，创新能力会得到很快的提高。仅最近几年里，我校学生都在只参加了半年左右的学习和实践后，就在国际性的竞赛（美国大学生数学建模竞赛）中交出了非常出色的研究论文，夺得了特等奖兼INFORMS奖2项（1999年、2003年各一项）、18项一等奖、10项二等奖就是一个明证。当然，要出色地完成建模任务还需要用到许多其他的能力，如设计算法、编写程序的能力，熟练使用计算机的能力，撰写研究报告或研究论文的能力，熟练应用外语的能力等等，所以，学习数学建模和参与建模实践，实际上是一个综合能力、综合素质的培养和提高的过程。参赛获奖并不是我们的目的，提高自己的素质和能力才是我们宗旨，从这一意义上讲，只要你真正努力了，你就必定是一个成功的参与者。
??
?

?

tshc

在上一节中，我们讲了学习数学建模要注意能力的培养和提高。本节中，我们将举一些简单的实例来进一步说明这一问题。读者在看每一实例的解答以前，应当先自行给出解答，看看你的解答是否更好。如果你觉得你的解答比书中的解答更好，想一想好在何处。

??例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？
??解答 这是一个测试想象能力的简单题目，根据不必作太多的计算。
??精粗一看，似乎会感到条件不够无法回答，但你只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。（读者可思考一下，本题解答中隐含了哪些假设）。
??例2 某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
??分析 本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。
??假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请读者据此给出严格证明）
例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。
??分析 设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。
??马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，（反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v t1。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来，（留作习题）。
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。
??例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。
??分析 看完问题你已经完全了解情况了吗？我们认为可能还应当再调查了解一些情况，例如，盘子有大小吗，是什么样的盘子？盘子是怎样洗的等。因为不同大小、不同材料的盘子吸热量是不同的，不同洗法盘子吸的热量也不相同。假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗。
??你还应当再分析一下，是什么因素在决定洗盘子的数量呢？不难看出，是水的温度。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。那么热水为什么会变冷呢？也许你能找出许多原因：盘子吸热带走了热量，水池吸热，空气吸热并传播散发热量等等。此时，你的心中可能已经在盘算该建一个怎么样的模型了。假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，这样，你毫无疑问要用到偏微分方程了，无论是建模还是求解，都有一定的难度。但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，你这样做不是有点自找苦吃，有“杀鸡用牛刀”之嫌吗？如此看来，你不如建一个稍粗略点的模型。由于吸热的诸因素中盘子吸热是最主要的，又由于盘子在热水中浸泡过。于是，你不妨可以提出以下简化假设：
??（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同
??（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同
??（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2
??（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）
??根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。
??从以上分析可以看出，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。
??例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。
??解答 设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。
??现设已用n+1块砖叠成可能达到的最远平衡状态，并考察自上而下的第n 块砖，压在其上的n-1块砖的重心显然在它的右边缘处，而上面n 块砖的重心则位于第n+1块砖的右边缘处，设两者水平距离为Zn。由力学知识可知。第n 块砖受到的两个力的力矩相等，即有：
??1/2-Zn=(n－1)Zn
故Zn =1/2n，从而上面n块砖向右推出的总距离为  ，令n趋于无穷，可知从理论上讲，向右

推出的距离可趋于  ，而调和级数是发散的，  ，故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。
??例6 某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由B去A的车，难道由B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因。
??分析 AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。问题出在何处呢？让我们来看一个实例。由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为90%。
??例7 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。
??（方法一）点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即I=k/d2。黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有 I2/I1=((d+a)/d)^2
??
?故  d=~~~~~
??

??（方法二）在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B 点再测方向（见图1-8），AB 距离为a，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d =a sinα/sin (α+β)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB 接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。
??

badbody88

好啊
顶

whyhoo

转换思考角度有时是多么美妙呀

tangzw

好
我也顶一个.

666

顶