数学建模的基础概念及举例

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一、数学建模的基础概念。
数学模型、数学建模及其过程
    数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
    数学建模：(Mathematical Modelling)把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
    数学建模的几个过程：
    模型准备 ：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
    模型假设 ：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
    模型建立 ：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
    模型求解 ：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
    模型分析 ：对所得的结果进行数学上的分析。
    模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并
进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。
    模型应用 ：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
    学习数学建模的目的：
(1)体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；
(2)增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；
(3)知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。




实例一：
穿高跟鞋真使人觉得美些吗？
    美是一种感觉，本应没有什么标准。但是在自然界里，物体形状的比例却提供了在均称与协调上一种美感的参考。在数学上，这个比例称之为黄金分割（golden section)。
    在线段AB上，若要找出黄金分割的位置，可以设分割点为G，则点G的位置符合以下特性：AB：AG＝AG：GB。

    设AB＝l；AG＝x,

    则l:x=xl-x)，即x^2+lx-l^2=0解后舍去负值，得x≈0.618l

    由求得黄金分割点的位置为线长的0.618。

    在人体的躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。换言之，若此比值愈接近0.618，愈给与别人一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与向高比都低于此数值，大约只有0.58至0.60左右（脚长的人会有较高的比值）。
    为了方便说明穿高跟鞋所产生的美的疚效应，假设某女的原本躯干与身高比为0.60，即x:l=0.60,若其所穿的高跟鞋的高度为d (量度单位与x、l相同），则新的比值为：            (x+d)l+d)=(0.60l+d)l+d)。如果该位女士向高为1.60米，则下表显示出高跟鞋怎样改善了脚长与身高的比值：
原本躯干与身高比值 身高（kcm） 高跟鞋高度(dcm) 穿了高跟鞋后的新比值
0.60                   160          2.54            0.606
0.60                   160          5.08            0.612
0.60                   160          7.62            0.618
    由此可见，女士们相信穿高跟鞋使她们觉得更美是有数学根据的。不过，正在了育成长中的女孩子还是不穿为妙，以免妨碍了向高的正常增长。何况，穿高跟鞋是要承受身体重量所脚部不适的代价。若真的需要提高脚长与身高比值，不穿高跟鞋也可跳芭蕾舞吧




实例二（开放型）：
矩形园地上的花圃
    有一块长4米，宽3米的园地。现要在园地上辟一个花圃，使花圃的面积是原园地的一半。问如何设计？尽可能给你的设计图案作出有关的定量计算。
〖分析与参考答案〗
    这是一个非常有趣的问题，你尽可以展开想象的翅膀，在纸上画出你的创意。