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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛( X* S" n2 c0 g
2 d3 _8 Y9 W9 @3 F承 诺 书" r) e7 n$ b% @
" D: A3 o4 F( x5 I我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
) F$ j6 M4 c0 L3 ~0 i7 f! K我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
% T, G: m1 m; v5 Q( T, w1 P: }* B我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。2 b5 I% l; Q" J) h* Q
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
! I5 g/ s8 A- \& ?& I* k4 P! N2 Q) N& j2 W
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B % ]: g r# {4 U1 t" K
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： B甲2425
% \3 h# Q9 T, V! o! h6 K所属学校（请填写完整的全名）： 山东科技大学
9 P( J& w+ K9 Q7 l/ b7 i* q参赛队员 (打印并签名) ：1. 阎 冬
C. [3 J4 q! ?9 ~+ c 2. 冯宗瑞
* V% h. c" A9 t. m5 l/ o- J 3. 杨 超 . U1 Z \* o$ w3 q
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 郭秀荣 王娟 $ ]4 b8 a6 E) d& a, G+ L8 Q
. @9 P8 {) }/ o3 g6 d 日期： 2009 年 9 月 14 日4 P. D$ V$ ~# l3 c' W1 Z
- i) p2 w: Y! N! ~8 N; W" Q# q& a! G' O' r% o
2 G ]7 _2 U$ ^* d% W
! s1 ~( Q: I3 _4 ]5 S9 E% W e `. Z& B" E! e3 }7 G+ v: U
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：% d w+ \1 @& I, [
6 I' _& a4 j! E: i9 S7 w
: E5 G0 |. D) d& x0 F6 q1 ~2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛
: x2 l# M* V( G$ d$ ]1 c2 v4 p5 a
编 号 专 用 页
; U3 \: ?- r, G5 L8 n2 h+ @1 l
d+ {0 v; }" @0 U2 ^
# h! n$ O9 X. M" P& n5 f' J! e6 S5 x: B
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
0 l4 W* }2 I! l* c, l' }1 s, c/ r) D& Y: ?% w
. M5 d. J6 _/ e0 t1 q- c1 T( |
9 u8 G8 W1 a7 a( E( ?, W$ S1 t+ `赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
$ u; D, i3 k' q: \& }) u) b) i% ]5 C9 w4 f
评6 D% _: V: v2 J, e/ U
阅: H4 J3 D2 [: P. P
人5 P0 O( ]1 s4 s5 X3 {
: K' T4 k* w, n* [2 c& ~
2 Z% P% N% T9 x0 E+ b# ~
* X" A! l0 N6 U* W# X! k评
2 p4 w; G: P# u分
2 o* k3 ]; V" X! f4 i @7 n
' r. l) A( j) Q' U1 J9 q
E" S5 w0 y. O$ h" K2 e2 g备
; }3 D! @; @1 f" ]注
4 r; _3 _# i8 G" c. q7 {3 P . v1 f) Y0 C' G/ ^" ]
! w% ?: p' Y* D
: R$ T' U' @5 T7 I/ L
% d6 j) g1 d- }. f" ?: q8 I
9 F0 K% l! H' D8 @( ` w& }. Y全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
: g% B0 r( t q! M& |5 O/ }2 e
4 [ f% N W9 v% u( E+ R5 m+ S4 \* Q D, P
2 |8 @ q0 E+ a( A1 h
3 e; A+ }2 ?% K. g, d% U
_/ O: ?3 N1 |; B1 p全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
* d2 X5 l, q# A" _$ F% T1 x眼科病床的合理安排的研究) O G' ^* k3 d/ T1 G1 k; E6 G
) \8 O7 F/ j) r2 I【摘要】：合理分析床位利用情况对于提高医院经济效益，改善病房管理，挖掘潜力增强服务能力等有十分重要的意义。我们通过大量的分析给出了影响医院床位安排合理性的因素，并利用层次分析法给出了各个因素对于床位安排合理度的权值。利用excel对附表中的数据进行处理给出每个因素对某天的病床安排对某位病人的合理度评分，结合权值构造有权综合合理度模型、线性规划模型，并利用lingo编程求解，可以根据任一天的预出院人数给出该天哪些病人可以被安排住院。. p' {* _. W/ ?
对于问题三，我们首先利用Excel处理数据，得出自8月1号至9月10号的每种类型的病人等待住院的时间 、已住院人数 以及等待住院人数 。利用matlab画出 与 以及 与 的散点图和拟合曲线，构造多元完全二次多项式回归模型，并给出交互式图形及回归曲线方程的估计参数。借此可预测任何时刻某类门诊病人的等待入院时间区间。" r$ u2 T/ E$ t; n% z2 v. g: V
考虑手术对病床安排合理度的影响因素，将问题二的模型进行改进，构造了新的线性规划模型。并利用lingo编程求解。同时对影响住院时间的因素进行分析。
8 L1 E1 g9 N/ w" Z. O, p4 j' o对于问题五，先将每类型病人的入院到出院作为一个新的系统（这个系统的选取很关键），由于该系统满足排队论的条件，所以可利用马尔科夫排队模型给出每类病人的平均系统内逗留时间，再结合每类病人的平均等待入院时间，构造了非线性规划和线性规划两个模型，并编程运行求解，最终给出最优的床位分配比例。
5 K7 v! O- U. L" j
3 t/ b6 e& U! s4 c
. J- b' ^' B* }6 K2 \" z( A0 B# i; t- Q ^6 z: x! H) I3 J, T
- Z1 J4 x2 V( E4 y3 j2 b1 u* z8 ?' {) Z* I' T+ y% E
; \' u/ Y+ b9 t9 e4 F- h' P
5 l+ C: U& p1 U6 E, l ~% o Y1 U# }5 O! g5 ^
【关键词】：层次分析法，有权综合合理度模型，线性规划模型，回归模型，排队模型
/ U- B7 P9 T# e# ^% L非线性规划模型，lingo，matlab
% E0 p3 ]9 J2 v7 _- W$ ?6 G7 ]1 D8 @' Z6 K9 e9 L
' j+ ^- w& N' @4 r. ^ y
. I f, l; o. Q h3 [$ \( f3 G) c, ?3 V5 G( L( _& L* G
/ v+ m; k$ T; o+ c
6 c8 \9 z' C' a5 D$ J, [/ a4 l- O- j, t; D
6 @, x5 P6 B1 |' ?5 O
/ `" v, d% F& P% l
~4 }' k% P. c# G5 |1 `; V, Q" p1 J. P/ O$ g. s! e
% V6 q: ^* \2 c5 ]# Q1 `
. s1 F, n4 q" s) U$ ]
1.问题重述
% Z J! s% G: u. h5 o（略）
8 ]8 ^- z/ H* Z4 C2.问题假设& t. {4 l1 a1 L/ n' H7 K; p- H
1.假设该医院床位数固定，不加临时床位;
8 z. e2 Y" B' R6 n2 `1 K5 i
& }, X% g) A2 n2 b9 v% I2.假设医院手术条件充分，不考虑手术条件限制;/ @6 y; d' Q8 i! W/ A, @
& |, z0 l9 ] U3.假设除外伤外其余眼科疾病不考虑急症;
, B" m8 R0 L) a( j" O6 }: t& ]( f( a s7 E
4.假设病人的门诊及出院相互独立.$ g3 u' V5 B2 p- _% p% _1 m$ i
3．符号说明5 F3 ]' [0 B; p( [
a* D0 y/ h; g6 ^# Q
表示病人类型在第 日的病床安排对第 个人的合理性评分
; ]. \! u( Z% ?* `3 C/ {, F6 _
/ A0 }" p. ~. |8 n9 X0 ]/ m
) L" v9 w0 _; D: P, M* C表示等待住院时间在第 日的病床安排对第 个人的合理性评分+ k6 [8 a i4 D( s
2 D; F, ]) d5 @# e4 g4 H! J表示病床周转率在第 日的病床安排对第 个人的合理性评分$ T$ W( G' K9 s! W3 u8 e. j! ]
: f6 h" J6 E0 g0 g# i8 A" W0 G
( A2 _. d2 ]/ `1 [表示第 日病床安排对第 个待住院者的合理度分值
5 A" Y; e! Z2 {+ ^6 L5 O! l6 r" P# _; d6 q& C+ c& t
- {5 Q0 _8 T$ S3 i1 X+ d4 H
表示视网膜病人已住院人数% e4 s2 j' J9 H8 f0 b
5 h" z/ O( [3 }! ]' `& @表示视网膜病人待住院人数4 k' [/ k5 C2 @$ |
$ F" D, T1 c7 j
表示视网膜病人等待住院时间长度(以天为单位)7 [' v, J+ R3 J8 Z+ T
4 X$ R1 s4 b/ {8 S7 C
表示白内障病人已住院人数# N C; `6 v4 f3 g* @5 F! u6 ?
& A# j4 _+ f5 u" V$ A9 a7 I3 r表示白内障病人待住院人数
/ t7 b1 `+ L- B3 Q5 u% [2 T
" C A: E2 |8 |0 \表示白内障病人等待住院时间长度(以天为单位); _8 _* i- B |6 @
1 ` N0 ?% E$ ~! u( t! I: x
第 天预出院人数
" K& m; T- T; g. T' q0 Q/ p
; X ?$ v: H. O" Q/ S) H, {( \ $ G$ |7 q7 o1 h. F' s
第 类病人在新系统内的平均逗留时间
# {. ]6 R1 Y- [2 L1 e" R! n
; z$ p- k1 w9 R' {& [ 3 u7 u2 g: [# f9 h
第 类病人的日平均住院率
5 n+ Q( A$ }1 R: x& r/ z y, t0 ~& ~5 K/ C
0 p$ `& d X, K% S6 H
系统对第 类病人的日平均服务率* G* r4 J1 R- J9 y9 I q s% U
( U# r w2 m9 X7 b, Y& s, N
0 \. g3 q6 \8 q2 o/ b" e( D& X第 类病人的平均等待时间$ N4 s) S/ ?. C0 ^& @2 u# C
3 u, Y, d% D1 s: Q
$ k3 b' O4 e' T3 S" {各类病床分配比例
8 d: ^& c# T+ `. @
4 c6 j, g) p ?9 L% O# I& ?) }+ B% a4 D2 W
4．问题的分析及模型的建立及求解1 P/ w# |3 w3 G
4.1问题一# E0 S7 x# V; b% e6 M6 b: T7 A
病床安排评价指标是医院信息管理最活跃的要素之一。合理分析床位利用情况对于提高医院经济效益，改善病房管理，挖掘潜力增强服务能力等有十分重要的意义。由于医院病床的安排评价指标具有多系统和多层次的性质，因此评价医院的病床安排工作不能从单一的指标入手，要使用多指标综合评价，才能比较全面地反映实际病床工作的综合情况。只有合理配置医院床位，适度规模，科学发展，才能有效利用病床资源发挥其作用。' L) p" s, }$ i6 M& ?; v& q/ _6 f' z
4.1.1问题一中评价指标的选择0 X& Q: t! P0 H4 Y A
我们从问诊时间、病人住院时间及病人病情是否紧急三方面出发，考虑到病人病情对住院的需求度；又兼顾出院人数、住院人数、床位日平均占用数等方面，考虑到医院的床位有效利用率；另外根据本题医院的实际情况，排除了一些虽然存在但对本题所给医院的病床安排评价的影响不是很大或表现不是很明显的影响指标。其中，由于病人的手术费远高于病人住院期间的观察费，因此在考虑提高医院效益时认为观察期越小，床位周转率越大，病人入院率越高，手术收益越大。并考虑到模型的可靠性，即尽量满足各指标独立性的要求，排除了这些因素之间的横向与纵向联系，且符合实际情况。据此得出评价医院床位安排合理度的三个主要指标为：病人类型、等待住院时间、床位有效利用率。7 P! j+ ]) z( U+ L O
4.1.2 “层次分析”模型
, `, r$ K; ^8 ^8 l9 k0 [2 B利用“层次分析法”模型对病床利用情况进行评价，为医院管理提供决策依据。% P' Q0 T- |& U8 ^3 ?3 d
将选取的病人类型、等待住院时间、床位有效利用率三个指标分别记作 , , ,得到成对比较矩阵$ p" D2 b4 Y+ O
: S' p$ P' C( b4 K2 y9 Y9 y
+ q2 y* B/ P7 K4 _& ?( j
求行和得列向量% f) C7 c/ Y# H# J, }2 z, ?
，, U' O" Z" L! o4 L
归一化得权向量
9 f6 S9 n3 J! }9 ?# z1 G0 \ 。! b0 p' ^3 a- q: B5 ~' l1 G
计算成对比较矩阵的最大特征值
9 L! g' I( D% V) l 3.0554
/ I2 W' M2 s) n. `计算一致性指标* l/ ~: W7 H/ b! S4 P3 ^
0.0277（ 为因素个数，此题中 为3）8 v8 l0 M% J: C
9 V" z$ r$ t1 t( ?% O k$ C
为了确定成对比较矩阵的不一致程度的容许范围，Saaty引入了随机一致性指标 。Saaty给出的 数值如下：8 ]- m$ Q& O7 r" x! \5 d/ m4 R
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 D/ I- ?9 T( }7 u" }& F; s
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
- E8 b3 Z3 T) _) e当 >2时，称 为一致性比率，求出 0.0477<0.1（其中0.1为选取的主观信度）2 H* j: `2 B& P
由此可知，一致性检验通过，由成对比较矩阵计算出的权系数向量可以作为计算有权综合合理度的权系数。
+ }% M: B% h2 i8 E! l4 X- m4 L4.2问题二模型的建立与求解0 s) E O2 r# V/ M$ W
! m# W) s# z* S* ~3 w
4.2.1问题二的分析及数据处理) p( _# O6 M* w; t$ _% @3 L* b% B
医院床位安排对病人的合理度可以简要的定义为：病人对医院床位安排的满意程度。
) j: Z* F& }7 v8 S5 k; j# e5 @我们对附录中的数据利用Excel进行统计、汇总及分类运算处理，结合病人实际情况分析得出：第 因素在第 日病床安排中对第 人的合理度评分值，记为 。其中 =1表示病人类型； =2表示等待住院时间； =3表示病床周转率: t- I! F' m+ v) Q( }: M
下面是根据实际情况考虑到各方面因素的影响，对 类指标合理度评分的选取做一详细的介绍。' v& R9 ]( }( \+ u. y' D
通过分析疾病类型对病人生活的影响程度及病情的紧急程度，给出病床安排对4类病人(病情类型)的合理度的评分为: |# x3 ~2 w0 {. J% _) j- B& l
$ |- _: I0 T' w$ ]* ~类似的可以求出其余两指标在第 日病床安排时对第 人的合理度评分
\- B6 b8 x" y3 A3 m ×10! \5 L+ j' Y+ i+ l6 |
其中 为截止到第 日最长的病人等待入院时间
" y3 ]# Q1 E& K/ n3 L8 N, _1 d5 W 1 K/ \0 E- _: q) ~! d
由问题一中根据层次分析模型得出的三指标在医院床位安排合理度中的权重表示为 结合医院床位安排对（特定时间特定病情的）病人合理度的评分，建立有权综合合理度评价模型。, M% @/ G* X. W. g) C, r) ]
4.2.2有权综合合理度评价模型
6 U' M$ |8 l4 v4 h V利用有权综合合理度评价指标得出第 日病床安排对第 个待住院者的合理度分值
# r6 B5 T' y! L U 8 ~4 _9 |) h% F% ~7 A9 l. u9 D4 [
问题二要使某日病床安排合理，只需该天病床安排的综合合理度评分（即第 日所有等待住院的病人对医院床位安排满意程度的和）取得最大值即可。; `4 r% c. j5 c! m6 d! f! l( m+ A
即得第 日病床的安排对全部待住院病人合理度评分的函数：
- r& ?- U7 [9 X3 g4.2.3 0-1规划模型5 t5 ^. {: H1 Q* ^
令
9 P: T! u+ z" Z0 L s
2 p) ?/ @* D; U5 W' s则由上述分析得到如下的0-1规划模型：
* h9 [. L- H' a目标函数:! i; F4 `9 j, X$ Z, X; |( ]! j
max
+ w" |& o) t# T5 R约束条件:, U' J, L& s# A$ J
s.t. & F8 `$ q, j: n
其中 表示到第 日前待住院病人数; 表示第 日预出院病人数;
: ~) Y1 w& W4 S. W& V3 i根据此模型可求得 ，即可根据第二天预出院病人数来确定第二天安排哪些病人住院较合理。
( K8 ^" m$ V) i. ]/ J' F4.2.4问题二模型的应用评价. q. e7 t3 J2 E) {' n6 a6 e
对于上述的模型，利用Lingo或Matlab软件编程求解0-1线性规划模型，并以9月1日分配住院为例，给出病床的合理分配，如下：
! `- }& ?. _8 e M- z% F门诊时间 8-19 8-19 8-19 8-19 8-20 8-20" K O+ M" o' f8 ?# U2 u K
类型 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病
) C0 T8 g" d, w; K& x' n
`& m* @! A1 }& m2 W8 w1 k4.3问题三模型的建立与求解
' L4 @: m7 I- H9 g4.3.1问题的分析3 G: P( w/ q4 e
首先利用Excel统计出8月1号至8月30号每种类型病人的等待时间 ，该类病人门诊时已住院人数 及待住院人数 ，下面以视网膜类病人为例，给出数据列表如下：
9 a0 a, J4 d$ |9 \2 o, ~5 W6 h* F# ~7 q: t; M' s
& A* ]+ t* `) d& ]) P0 g2 Q ' J# j' Y8 w5 J* k. M
21 24 24 24 24 26 30 28 34 32 31 31 31 33 37
; D6 u8 |' Z" a8 } - G1 [2 }. g. N4 y- }8 P! W' @
33 35 20 38 39 43 43 44 43 36 38 36 41 46 414 j, L3 v7 L. ~& Z- a! |
& m- _; t: } a. Y12 12 13 12 11 13 13 14 14 13 12 12 14 13 149 S- J7 t7 B5 w
% t/ e; s0 a' G) {* b9 f
- T0 N2 Y$ k, s2 Y2 m41 39 38 37 37 37 38 42 40 38 36 36 36 34 34
4 o' R _- S, f/ f0 D, H ( ?# J) e, }- w' }/ R
39 35 36 38 34 41 37 31 31 31 34 34 35 32 35' d& e8 E& D4 g* p
) y; `5 s* s3 o% d13 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16" r, B! ^$ `' g$ x! U$ l
(表1)( q0 m) S1 c9 \8 J- y, ~
利用matlab画出 与 和 的散点图及三次拟合曲线如下：( {% E( W6 w& u$ j# q2 V) ?$ Y+ c3 G
& P- P# ^% f& F \; T1 ~9 j
7 e# b/ _- H n7 z% o+ H4.3.2多元多项式回归模型& e2 i7 P9 O% W0 N8 z
从图中可以看出该类病人的等待住院时间 随 及 的变化曲线为二次函数模型，并考虑到 与 之间的相互关系，我们建立了多元完全二次多项式回归模型：
. h: _# {8 y' @ " B) r4 ~3 g2 M i' @" ~/ A" P( U
利用matlab统计工具箱中的rstool命令求解，并且以交互式画面给出 的估计值 和预测区间，模型的回归曲线及回归系数的估计值为
) q+ N0 n. n% K2 D/ a5 f n. J6 H/ J
V. k3 e. p* B) F, c4 F( v o/ P! l7 ^5 ^4 E. r) a
- X9 D9 m7 \# t9 `" z3 f1 v
8 p9 Y) d8 e! q
$ d4 c8 a3 Y5 m* X; v* ?1 `
& j8 z1 } Z3 k# Y4 {1 O/ M ! ]! C, H9 V2 T1 K7 H1 P; E
. h7 ?, c3 U* u" ]7 L: _4 O " c3 [$ l: [3 O6 h- Y7 N$ Q( [8 k* p
2 x: z1 h( s v* G2 }
3 U8 d1 f" D$ k- O4 \3 g7 P-0.5029 1.3368 0.0263 -0.0106 -0.0120 -0.00279 o, {9 |# z8 a/ f0 n9 e
(表2)( v3 t2 f9 {" Q; r
故得出回归多项式为：* ^& n7 A4 y2 f, T. a) l/ M
6 o% D8 G7 ^! S8 l, c( \% W
以此多项式我们验证9月1号数据。
6 K$ J8 i8 P3 T0 A6 i当 =32， =35时， 的估计区间为[12.8956，16.0396],即9月1号门诊的视网膜病人等待住院的时间区间为[12.8956，16.0396]; S, P9 h& `* l
类似地，我们得出外伤病人的回归曲线方程及交互式图形如下： N/ C# B M, _+ B3 P* I8 J
: v$ U$ ~% I3 e- R" G / J7 `4 s% R- C' i, Y
青光眼病人的回归曲线方程：8 r$ |1 T7 o# i8 c# c4 B0 \ d
; ]' K2 R+ g8 U5 H( t) x
白内障病人的回归曲线方程及交互式曲线：
. q. Q, n8 } L( T$ H
, D1 m/ l* ?5 Y' K, o% h具体回归曲线方程及交互式图形见附件1
4 c" C, \. a. h: W/ l: ~" b q根据不同类型病人门诊时的已住院 及待住院人数 代入各自的回归模型，即可得到该人等待住院的时间区间，以9月1号为例，各类病人等待时间区间为：
" s% k( T# {1 [+ W# D' |2 e# q/ m# C% x3 Y+ y
视网膜 外伤 青光眼 白内障( q& a. c. F' k/ W# j: j t$ K: e( i
[12.8956，16.0396] [0.59786，1.3602] [11.2415，18.5579] [9.7619，16.1473]
6 J; E P9 U" K4 U5 @3 b! a$ y9 F8 U9 m
(表3)& A# H2 ^" |5 p7 ^4 {/ A5 [
4.4问题四模型的建立与求解& p0 v7 Z, d7 T
2 \) _: E, A9 E8 ?7 P& q
4.4.1问题的分析与模型的建立2 b/ Z2 j' }' p
为考虑手术时间对病床合理度的影响，我们以一周为一单位时间将问题二的模型修改如下：8 |$ t, {0 ]: A8 G& x$ O
线性规划模型：2 e: f$ A0 F+ b
目标函数：
1 m. d1 d& e- K d6 U/ n" | % 使病床安排合理度最大( Z7 S* z; f0 T* ~+ y
其中 分别表示住院及手术满意度矩阵， 数据见附件2 $ ]! q4 M: i \& w3 d- q
约束条件：' P( @/ _) \. E. L
（1） %每天安排住院人数为该天出院人数7 z1 I( E" y/ ?
（2） %每人在该周内至多既住院又接受手术
( M* i N5 T! {（3）当 时，若 ,则 ， ; M. f* n k6 k( U% M
当 时，若 ,则 ，
- m% Y2 {+ U; k, q当 时，若 ,则 ， %对类型排序， “外伤人数”， “白内障人数”， “其他疾病”
6 c7 z9 x m8 e7 k0 g（4） , %周一、周三其他眼科疾病不手术/ X3 {7 z- z$ C* A2 @1 V: y3 U
利用Lingo编程（详见附件2）运行结果以9月1号至9月7号为例。" M- m6 G2 D; T! l
* }4 I# W. r6 }; j
* D5 B9 E* a- U! [' t5 N0 f
4.5问题五模型的建立与求解2 x% l$ Y1 k8 S* T% Q. B+ B8 e
4.5.1问题五的分析 0 U) e4 K" U& h9 T0 t& v
分析病人在眼科医院的以下过程（如图）" S3 b7 t) s+ N/ c
4 h! ?1 e1 V3 q可以将这个以住院为输入流以出院为输出流的过程作为一个新系统，由于每天病人住院人数及出院人数均是随机的服从泊松分布，其随机过程具有马尔科夫性质，可以采用经典的马尔科夫排队模型来描述。因此，每种类型的病人从住院到出院的过程可以近似地采用若干个相对独立的马尔科夫排队模型来描述.
3 W0 o2 k2 O, L2 A/ W3 i0 @5 F3 a4.5.2 M|M|C模型# M' @. @) u% n. a
利用Excel统计各类病人的平均住院率 ，系统的日平均服务率为 ，根据M|M|C(C≥2)模型，将病床视为服务台，病床之间是并联的，且独立工作，其每类病床的服务率相同，则系统的第 类病床的平均服务率为 ，在统计平衡状态下，服务强度为5 M: G* H. }4 z1 ], x$ e0 H
$ k( @* X/ d, t; V ?* T, ~/ A
此时，系统的稳态概率为
5 z; }* [: l4 c7 _
$ Y& H2 Q: |/ A- s+ n) q, IM|M|C模型的主要指标如下：) k! M8 ~6 S ?6 M
（1） 平均队列长 $ @7 X$ q) c; i. [, @! }
. N- w$ Y5 [5 ?! ~, `4 Q（2）平均队长
; |& ]" L" }, l& K2 Y9 ^% `! Q2 W
( J: z' d7 f, r% i; Y/ d1 @0 _（3）患者在系统中平均逗留时间
7 C& S# J/ C5 u1 P0 S # p8 x, z) M. E( l1 c! v" \" l
又根据 <1及总床位数为79的条件给出分给每类病人的床位数C的有效范围为
, c4 R' I) j# N8 M, |# c病人类型 病床数C的有效取值范围2 r. D7 J% ^% J/ r7 p8 P8 C1 a" A
外伤 [7,31]( p& [( @0 q+ I( p) U
视网膜 [22,46]+ a# f U% j5 q! o
白内障单眼 [7,31]
5 w) a4 N. S. {% y2 D# G. u# c白内障双眼 [13,37]& q2 {* k. Y( |! g4 N
青光眼 [8,32]) [3 `: `* @" ? |
(表4)/ c- l V( }6 I5 c2 B7 `1 q; `, {% q
用matlab编程，求解 （各类病人在系统中的平均逗留时间），下表所示为运算结果。(程序见附件3)
; U# g* H2 b+ ^& a# r表8 ~ w7 E4 L) a1 }2 @; |
外伤 ws 视网膜 ws 青光眼 ws 白内障双 ws 白内障单 ws$ D& W0 j, G6 p. I
7 14.9995 22 26.6608 8 23.7473 13 15.517 7 10.5578
0 R0 |* l8 e4 w( m$ [$ b8 9.2543 23 17.3014 9 14.1607 14 11.0998 8 6.7745
[& ^$ H0 p$ d4 l* P7 D; ~9 7.9056 24 14.8688 10 12.0058 15 9.7775 9 5.8366
8 O: a+ B2 l4 |1 M' P10 7.3933 25 13.8186 11 11.18 16 9.2031 10 5.4762
]4 h+ W3 v/ D11 7.1719 26 13.273 12 10.8125 17 8.9174 11 5.3202$ Q* a6 S, H, z0 D' ^
12 7.0735 27 12.9635 13 10.6417 18 8.7674 12 5.2511; `8 Z' P# t& b# ?! R- r9 a
13 7.0303 28 12.78 14 10.5625 19 8.6873 13 5.221
! K- a. ]- ?. G+ J2 t0 v14 7.012 29 12.6689 15 10.5266 20 8.6447 14 5.2082
5 {4 K/ U* q' y# p" k15 7.0045 30 12.6011 16 10.5109 21 8.6223 15 5.2031
* f7 u4 [ E, J! [6 @16 7.0016 31 12.5598 17 10.5043 22 8.6109 16 5.2011
: e/ L3 y+ ]& B$ W2 B% H& F' \17 7.0006 32 12.5349 18 10.5016 23 8.6051 17 5.2004( F6 _" w/ R' u" R
18 7.0002 33 12.52 19 10.5006 24 8.6024 18 5.2001
3 a' u) f: ?8 W: U9 O19 7.0001 34 12.5113 20 10.5002 25 8.601 19 5.2
2 Y6 T0 C# _+ ]) ]6 P$ Q/ g20 7 35 12.5062 21 10.5001 26 8.6005 20 5.2& |: B2 W# ~( L7 q
21 7 36 12.5034 22 10.5 27 8.6002 21 5.2* w" {2 O, i2 j' F3 Q6 R& S; I% c; E
22 7 37 12.5018 23 10.5 28 8.6001 22 5.2. U# p, ]: I9 l0 O8 o/ e! F
23 7 38 12.5009 24 10.5 29 8.6 23 5.2
; [' [; E7 o6 k8 h3 d) m# ?24 7 39 12.5005 25 10.5 30 8.6 24 5.2
- w5 `4 b- w6 O3 a25 7 40 12.5002 26 10.5 31 8.6 25 5.26 z6 x4 X$ _0 t7 D: @4 l' u
26 7 41 12.5001 27 10.5 32 8.6 26 5.2
- U7 t( H9 `2 @2 d, j3 j% D* Z27 7 42 12.5001 28 10.5 33 8.6 27 5.2
! t0 e' a# v! e28 7 43 12.5 29 10.5 34 8.6 28 5.2
* d4 O Q( j. f1 v( L5 W29 7 44 12.5 30 10.5 35 8.6 29 5.2
6 c$ H4 X0 S, V1 t0 |; [30 7 45 12.5 31 10.5 36 8.6 30 5.2
$ w( f( j+ P! R' _) @# ?31 7 46 12.5 32 10.5 37 8.6 31 5.2
N3 O7 a$ ]6 R3 I Y, s8 ?2 J# _( l! K. s
(表5)& Z! k0 o; l' y
4.4.3非线性规划模型) L# G! V' P- }5 x" Q
在系统构造时，除原有新系统外还需考虑每类病人入院前的平均等待入院时间，利用excel统计数据，然后利用非线性规划建立模型，构造在各类病人在占用病床比例大致固定的条件下，所有病人在系统中的平均逗留时间最短的病床比例分配模型。
4 m, t# w! z. {设 ,其中 指各类病床分配比例+ X1 N# r" A' N$ P2 r
目标函数：( W: M( y* b" b4 a
min 指第 类病人的平均等待时间: m$ T9 H2 D& s
约束条件：2 A" u3 K* x9 U$ v% U4 g( ?
7 @- [( {9 A& x; {; z
但此时当 时， 计算起来比较麻烦，为方便数据处理，我们也可将模型转化为0-1线性规划模型。, U9 n7 t. B# R; I# I R
4.4.4 0-1线性规划模型0 z& @1 ]8 \* W' W6 _9 _
根据表5数据及题目要求构造0-1线性规划模型。/ _$ r# G5 n) [ Z4 j
目标函数：) @( f4 w! _2 I1 H% R1 a
min + 其中 为上表中的数据
- q/ c0 F8 B: n: K0 V约束条件：
! s7 I& a0 L4 G' m9 w- Is.t. .
$ K3 d6 n! m5 b+ x利用Lingo编程并运行得到结果如下，当病床按13：27：12：17：10比例分配时所有病人在系统中平均逗留时间最短。程序及运行结果详见附件47 V N, z: ^- T% F
' x. i' w U0 Z7 q0 z M
五模型的评价与分析
, O1 [, A- t5 t. l（1）层次分析模型：
2 i2 I C0 j, c- k: r* H优点：此模型能定性定量的反映各因素对合理度影响的大小。/ k/ n# J: k( R! B2 C# x C: ~) |
缺点：由于时间所限，考虑因素不全面；权值存在主观性。
& n( P; K, F; C3 |0 E$ S（2）有权综合合理度评价模型：
& h5 A7 ~, j m( i本模型用EXCEL处理了大量数据，利用各因素得分的综合值比较准确的、直观的反映出每个因素对某天病床安排的满意度。. |+ C2 a* H* n6 w/ C7 e2 ~2 p. l
（3）线性规划模型：
$ R# T$ l3 x/ f优点：1）本模型适用性强。# I; d, o( i/ C8 r& K" U6 N: ?* h+ X% X, e
2）利用计算机处理大量数据快捷、方便。& U7 w* w; g6 t1 d3 A v0 X
缺点：考虑的影响因素不全面，可进行改进。
! Q I) x/ _8 R) a" r0 |（4）排队论：
/ j5 n# k! q3 t创新点：排队论系统的选取。
e2 l8 c% @. n6 w* R, g; l4 V) y
% j) z6 V" u: I% I4 u+ ?; f n# ~' v* Z* b6 P/ K
参考文献：7 ~" P% M: Q+ T) i2 q# X. R1 {! P
8 Y+ k1 v9 }% ]8 ] G- P
[1] 蒋启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2005
6 y+ `: b' a \/ \6 G) q8 W# \[2] 苏金明，王永利，MATLAB7.0实用指南，北京：电子工业出版社，20040 H4 g4 p' r, D5 i! g; O, n
[3] 袁新生，邵大宏，郁时炼，Lingo和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007
$ v3 {, f4 f: c \[4]岳德权，吕胜利，李静铂，一个修理工的M/M/N可修排队[J].燕山大学学报，2003，27（3）：197-203& D% W& g4 W3 X/ G/ c( @
+ G5 L6 l' d$ T6 e2 p; }7 s
0 k; g6 c5 P( x* c. b3 s! p1 Q2 n- o# B4 P6 p* O. f' P
+ m# W/ {" }) |6 M
. Q" ~/ i) n$ F% m. E7 n
/ t2 W2 C$ h3 N- ]4 w7 E- o: {5 Y/ U+ R$ b+ q
8 T0 Q* t! q: Y
- r) P% o& j! [( C
+ Q9 ?# l+ P/ y7 Q! d8 M. L9 K* N( F
1 x }, E# V9 Z) g* i附件1：
! I/ J# k7 u0 e 0 y: ?/ t" ?2 w
x1q=[8 9 9 9 8 8 7 9 15 18 18 18 19 21 21 17 15 13 9 7 7 6 6 5 5 5 6 8 8 9];) r' I% [) @: `8 o1 t1 a
x2q=[20 19 37 20 20 19 19 19 16 11 9 8 9 11 9 9 8 9 9 9 9 10 9 8 10 10 9 8 10 10];/ j; A2 M" e0 C0 s+ j
yq=[12 12 0 12 11 12 15 15 14 13 12 0 12 13 0 13 15 15 15 15 15 15 13 13 13 13 13 13 13 13 ] ;
6 w: m! N; b: T+ g+ axq=[x1q' x2q']$ a! v/ p6 X* c5 K1 h e
rstool(xq,yq,'quadratic'): ^1 P% C2 }2 x l- c
2 J' @, `- }; M2 a/ i; X. M' u" h# l- ?/ F+ p9 e) p
beta6,rmse6
+ J5 Q% A6 ]( x8 W( T- C' Q3 M5 `( P
beta6 =
& T; {* j; \0 t7 A
: }$ i- A( _1 e) _) L* y& u5 L 13.6974
& ]: r/ p, t- ? 0.2513
, G' h+ O- |& e$ C+ {1 t" z2 U7 V -0.3200" F+ r7 a9 i/ U2 i
0.1068
: t* B$ A$ o) K8 b& D -0.06486 k6 A1 x$ Y: M+ B' r5 m
-0.0253% @0 P2 Z" {0 ?3 T' b$ D0 h
* I& L0 t" [' l; d
) u( L, V, R6 c$ ^3 g, M; Q* Ormse6 =
3 w4 J$ |0 [; q7 Z" r2 i3 T
% D" v0 b# S1 I( e: N$ {8 L* m 2.9225
4 m o# U) l. s! ] ( r, X, M- x2 p# J: k1 V
: {4 G: h: Q: S5 Kx1b=[24 25 29 33 36 37 35 34 23 23 23 24 24 21 17 18 21 22 25 28 26 25 22 26 29 31 30 27 29 26];
+ D4 W3 G [2 ?) }0 G' [0 Gx2b=[46 46 45 43 41 47 51 50 45 44 41 47 52 56 52 53 45 52 52 46 48 51 49 45 57 48 48 48 48 42];
3 K& z! c! U6 y4 N+ Oyb=[12 12 12 12 11 13 14 14 14 13 12 12 13 14 13 13 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16];; r1 @3 P6 i) V u* X. J
xb=[x1b' x2b']
; @9 w, a9 d) G8 O; krstool(xb,yb,'quadratic')& M- F% z! A5 j; D/ F F
beta6,rmse6
9 b, ?! E) W% } D! B" ]% u, A$ G8 X8 [* Q8 ~; V% I5 E& Q
beta6 =
& d8 l/ U2 h& Y+ d; n U6 C
/ z# Y- g2 Z4 G' @6 E -38.1820# J6 T- c) |% ^# T( Q; k
1.1368
. X! v! x5 \5 Z2 B9 w' | 1.3568
4 D# g0 X5 P. V6 O+ M 0.0063
6 Y! W1 x: ?$ [& v -0.0257
' q/ W$ g9 e% U9 Z/ Z, y. D& X -0.0139
; Q1 K3 X* Y6 @3 Q7 ^
/ C: q5 z9 P; W& m
5 ?9 Y$ g, [) S' b+ _5 krmse6 =
) m2 A5 X- }7 d8 E7 R" ^4 |$ e9 X& _
1.4672" |3 o/ u* q7 G& Q; |* t; J
$ x: C" C. A, t" S9 r2 z z3 k( K- ?; z% c
{3 O! r( w) L' A- F
) S3 f4 V5 ~ v9 n' J
: A c7 W- c6 z0 O- i) s/ y+ S& c/ m! W+ d" E8 K& {, O5 p4 i0 i) ~
% z( a. E! Y9 O& i) e/ {" m! N0 B/ m
附件2：
2 ~& `' J0 p$ Kmodel:
s5 o: m1 k3 rsets:8 B6 I; m. R7 E
ren/1..66/:n;
: C# u; I$ t2 Y( e7 f' ztian/1..7/:m;
0 A0 M) N- U9 P0 c$ m( y. _5 _5 olink(ren,tian):a,b,z,s;
! ~* |: R3 E/ fendsets
: z8 ~& O8 [. V) Cdata:
2 n6 n3 l3 [, \: vm=6 2 5 9 13 17 10;
8 _- ~+ \7 K4 k3 r9 Z$ _n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66;8 U: L8 G$ F: r/ j
a=6.97441 6.68291 6.39141 6.09991 0 0 0
* w$ q0 R" p' B8 | 0 6.97441 6.68291 6.39141 6.09991 0 0
- J1 [, Q% I, B* ^" U 0 0 6.97441 6.68291 6.39141 6.09991 0( W0 W/ ]; l7 f# g* C- r- P, i% E6 y, f
0 0 0 6.97441 6.68291 6.39141 6.09991. e5 a* e5 @+ H3 L8 i
0 0 0 0 6.97441 6.68291 6.39141
: p9 ? ^- ?7 D9 ~ 0 0 0 0 6.97441 6.68291 6.391410
4 k8 R% A2 A4 _, n0 Y 0 0 0 6.97441 6.68291 6.39141
. P, T1 x E) d0 o' d6 _5 t% G) K 0 0 0 0 0 6.97441 6.68291
6 [) p9 G2 ~$ o4 ]. f ……
$ n6 v3 B- v# V; j% e3 S 5.51261 5.22111 4.92961 4.63811 4.34661 4.05511 3.76361$ B# |$ P: q& V) A) `* C1 _
5.22111 4.92961 4.63811 4.34661 4.05511 3.76361 3.47211;
, n/ z# v6 w9 T2 c1 u- H S6 o2 x$ t0 [/ V: V$ Z
b=6.97441 6.68291 6.39141 6.09991 0 0 01 m7 s s4 @- G# }' \ m
0 6.97441 6.68291 6.39141 6.09991 0 06 l# K7 a* F/ R* w
0 0 6.97441 6.68291 6.39141 6.09991 0
* i/ ]9 @( Y4 v6 O* T6 f 0 0 0 6.97441 6.68291 6.39141 6.09991; }1 m: C5 _( _9 c
0 0 0 0 6.97441 6.68291 6.39141
6 ]- ^* L' @( Z, @7 w: v 0 0 0 0 6.97441 6.68291 6.391410
) C5 m, a. T0 { ……; }3 j$ y, B2 K& m2 j( B7 K
4 c. v! S# f" {/ o 5.22111 4.92961 4.63811 4.34661 4.05511 3.76361 3.47211;9 m- Y* ]1 {/ S% `0 u
enddata# s# r$ o) w$ Y- p. H# i, f
/ `$ |9 }. a9 j- p1 G
max=@sum(link:a*z+b*s);' h$ V E8 j# k/ |" D
& Y# i! Q: g V5 _" J0 d: h% c@for(ren(i) sum(tian(j):z(i,j))<=m(j)); n( ]% H P+ j0 ]+ `2 ]( L
@for(tian(j)sum(ren(i):z(i,j)+s(i,j))>=0);$ M) C5 {( s, s& `
@for(tian(j)sum(ren(i):z(i,j)+s(i,j))<=2);* y3 a5 l* e( ^3 V8 e" o# C. l
@if(n(i)#le#8,@if(link(i,j):z<=s,s(i,j)=0,n(i)#le#21,@if(link(i,j):z<=s+1,s(i,j)=0,n(i)#le#37,@if(link(i,j):z<=s+1,s(i,j)=0,n(i)#le#60,@if(link(i,j):z<=s+2,s(i,j)=0,n(i)#le#66,,@if(link(i,j):z<=s+2,s(i,j)=0))))));6 _# M. P' ~: f( a/ _7 t
……
$ P& v, S; L/ j: s ZEnd9 c, K7 l& ^: r9 M) K9 s2 L
附件3：
0 B! ]) i; P1 _以白内障单眼c=7程序数据为例
8 s, B! J7 r" v7 j( R/ [. i9 z* r S& v
程序：
' ?5 [# i) b2 \a=1.2;
0 O. {+ k3 p0 O4 Rb=1/5.2;! X! A! N" `0 E6 x7 R
k=[0:c-1];
; g4 m6 D( z2 ^4 r( J0 N* F( ?x=sum(1./gamma(k).*((a/b).^k));0 d( p: I$ Z! w5 n; Q% v6 \
y=1./gamma(c)*(a/b).^c*b*c/((c*b)-a);0 N: o2 i9 g8 k9 P( s' @2 e
z=sum(x+y);
5 D9 F5 m5 G- f( u( Fp0=inv(z)
' x7 a. G Z: z2 \9 i1 elq=(a/b).^c/(gamma(c)*(1-a/(c*b)).^2)*a/(c*b)*p00 }. s8 K/ j) Y8 b6 l: ~
ls=lq+a/b
3 a; ^6 J: O) |ws=ls/a; K9 G$ T: Z4 E2 B$ o# v7 w" d
wq=lq/a" Q j8 E1 _( S% Y$ W
" o) o, d0 \ Y" g
运行结果：
# x7 s7 R3 b; }. C% f
' Z- V& Y3 ~. U1 Fc =
: x6 Q6 t! a# x, F& i% z% o6 i3 u# u* `: u/ B' _' F7 J) C
7* u1 I& u& r+ I9 i% D
" i% O4 v0 \0 ^ f
8 e6 B; f* o+ Z( [
p0 =5 r' M l: ]+ h% @
; F2 L& l0 Y8 m o3 j! X
1.6617e-004
$ _1 j- y9 x# e) u9 D- Q6 H0 N! I6 b O# P
L6 f3 a+ R; K+ P9 J$ W8 ^6 K( O
lq =: S5 I0 X, `+ p( N* x* J1 U+ D
, U& t; ^( W3 \2 d* m
6.4294
5 s& N$ r: ^$ R
. U/ [6 X+ q9 M! L! S9 |ls =% q; }- D) l( m! O
k* x4 L8 ?/ p) [7 h$ a
12.6694
8 Y! W1 ^9 ^1 \3 I0 ]. w% S1 e: n# g9 e' m4 M4 S5 M1 X
ws =4 |/ @: V" x2 B6 n
5 y8 c$ K" j( T6 {3 t
10.55781 F# A4 c* w) U. h8 d1 g; R$ E
6 k; i8 ?+ C: D+ }wq =
! O2 H0 v$ K% h- Q. L- E
1 ^/ U* B. k: \$ r: I7 b! e) {' Z 5.35789 J8 T: a2 h( J: B5 F9 O
' F1 E; |) A) z1 v- \- C
附件4：2 B: | T" ?+ d5 j6 @
model:
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& }+ }: f7 }4 |12.7/79*(13*x14+14*x24+15*x34+16*x44+17*x54+18*x64+19*x74+20*x84+21*x94+22*x104+23*x114+24*x124+25*x134+26*x144+27*x154+28*x164+29*x174+30*x184+31*x194+32*x204+33*x214+34*x224+35*x234+36*x244+37*x254)+
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9 X) A' }* c: N; T% X9 _; [1 y: H4 D' ]! e
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`, r" b% W6 q |4 g F( d
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" |. d( s6 J, KX13+x23+x33+x43+x53+x63+x73+x83+x93+x103+x113+x123+x133+x143+x153+x163+x173+x183+x193+x203+x213+x223+x233+x243+x253=1;
9 r1 V; Q7 c( ~( _- z
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+ J' P+ } G* X+ E& [6 t% ^% [% T& f7 _: U) i. R9 F
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& _9 v9 } S0 c5 V7 f/ A1 o5 `( G
h7 y' H" g8 l8 h+ s, G* zend
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1 \; z( e# W( z- }4 s t v! k结果：* k2 R4 }! f$ t! E: f6 E5 F
Global optimal solution found.
! F1 m; P( Q. j8 [; V% u Objective value: 55.91382! \$ Y8 P4 F' t; y5 w; P- d8 r$ g
Infeasibilities: 0.000000
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; U. C+ N+ s2 i- a9 v3 W
+ O" |1 _9 r @& R1 g' w* t1 R. j8 }, K9 G3 T |
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发表于 2010-9-8 10:06:27