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2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文; j$ }' u C0 t( |8 W7 ~
1$ M. E6 @9 S9 y# T i
DVD 在线租赁的研究
/ @. D9 @4 N7 A4 Y5 x尹作龙,姚明,金伟
- z7 u7 K% P5 Z/ B$ a指导教师 汪晓银
0 m% O& Z" L6 q' X& L. ^! Q! _[摘要]:
$ p$ Z$ k1 h3 I+ C" {随着信息时代的到来,网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站
- t8 P# e! h$ [利用其强大的资源和知名度,面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如,音
4 w5 R7 H( o- ?4 r5 E" W I0 T, B像制品的在线租赁就是一种可行的服务。本文主要讨论了在线DVD 租赁的问题,对网站
9 C. @; s0 ?5 e* p6 ?如何购买DVD,如何分配DVD 进行了一些研究。对于问题一,我们首先把会员根据每月
! ]% ^# }0 E3 u8 O租赁次数分成A、B 两类,并对两类会员归还日期作了合理的假设,根据求出DVD 归还# _) N" S6 N7 z T) _0 ~9 v
的期望值。最后求得会员归还一张DVD 的时间期望为12 天。然后用DVD 的周转次数来
/ v8 l" ]' B, w# b" L计算网站对某种DVD 的购买量,最后根据问题的要求,求得每种DVD 至少准备的张数如7 U: [5 K6 `/ _6 ?* A( [
下。
# T6 v& T" \$ S8 d9 |DVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD59 j5 Z, K2 S0 I
一个月内至少 50%
6 Q% u- C4 [8 t- `$ g- W6 O- _/ p- V看到的最少张数8 y" Z8 X7 @: T0 k. g B
4000 2000 1000 500 200
* O- e$ ]* T% w' ?7 h# ~( g( d三个月内至少 95%
- v: P/ T; \2 S, F9 X看到的最少张数1 f& M5 A5 r1 L9 t! _
2534 1267 634 317 1275 P6 ^( }: O) r% C) k
问题二,我们首先对满意度进行了定义,并作出相应的假设。根据假设建立0—1! m( R, Y4 a, ?/ P* \
规划模型,用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。我们根据实际情况修改了偏
/ h# r8 v, I& `9 z爱程度,再次用LINGO 编程求解,得出第二中分配方案。第一种分配方案的总偏爱度5 _, E1 l4 ^5 \' ~2 E
U 为7924,有30 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员;第二种分配方案的总偏
8 n/ Y$ i" S' p( c' P& q爱度U 为8191,有8 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员。虽然第一种分配方
$ ]; T3 S. {% @案的总偏爱度优于第二种,但是经证明无论怎么分配,至少有8 张DVD 会分配给没有
1 W! h8 k2 d. x- J8 t) Y, w预定这些DVD 的会员,因此我们选择第二种分配方案。
. p- B! F1 h j- T4 C问题三,根据满意度最大,我们建立了一个规划模型,由于模型难以用计算机求解,
0 e/ s l& K# l" `+ f0 Q我们改用计算机仿真来模拟现实购DVD 方案,模拟生成的购买的总DVD 数为3086。
9 v1 a) o m2 Q- N+ X问题四,在DVD 的需求预测、购买和分配中重要问题的研究中,首先研究了DVD7 G- r0 o0 [3 i+ j" Y* P( Z6 H
的需求预测,并建立了灰色GM(1,1)模型,灰色GM(1,1)模型能够克服相关数
5 j( F9 \+ ]* }* a/ B6 I2 Y据不足的缺陷和避免人为因素的影响。这表明基于灰色理论的预测方法,适合于对DVD
. Y3 f R3 w" A; x9 b- i0 ^5 @$ [在线租赁业务趋势进行预测。该方法是切实可行并有效的,并对DVD 在线租赁业务发展
% a% H$ Y- A+ W- P F/ P$ {规划有重要参考价值。然后从网站的赢利角度出发,建立了一个以赢利函数为目标的线
! Y3 ^ X, U5 _* w1 w" g9 H9 h/ G性规划模型,此模型在租赁方面有着较高的参考价值。7 O, R$ t, L/ Z) y" h
最后我们对我们所建立的模型及求解方案进行评价,推广。我们考虑到对于更大规
" w4 l2 o: H; K1 Y模问题,现有模型的求解就会困难。因此我们想了模型的另外一个算法:贪心算法。贪
8 Y2 d( K0 m: Z$ L5 n. _心算法速度快,但得到的解难以达到最优。
$ R5 ]" s2 n7 x4 y' Z2 P0 h" `" J[关键词]:DVD 在线租赁 0—1 规划概率模型 计算机仿真 灰色 GM(1,1)模型+ _* D! b/ V1 |9 |0 O+ u$ a6 A/ @
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文4 R- d1 l) O5 \! F9 N9 h0 a
2 J# |. q8 c7 O# z: u& _, j
一、问题的重述/ i/ ^: i$ O1 I4 U8 Y: Z5 F! |7 A
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD {* Q z6 U* `- C- H/ P$ ^; V4 ~
租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽
2 y+ I: j) k- Q7 t& a3 z/ d可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。* D/ ]+ t* ^, _
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不
V4 i3 t% E2 z5 `得超过2 次,每次获得3 张DVD。会员看完3 张DVD 之后,只需要将DVD 放进网站
/ M5 t; `( d' z提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。请考虑以下问题:
4 g, n% v! O, K/ O' x(1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000 个会员,得到了愿意观- W i1 J' U; d" W
看这些DVD 的人数。此外,历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD 两次,而另外的
0 l* ]" W4 S, I: b; A. c$ n0 s40%只租一次。假设网站现有10 万个会员,对表1 中的每种DVD 来说,应该至少准备/ X0 f: X- a3 r4 [
多少张,才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如
5 U& t9 }; F1 U% S3 `果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢?: U# i$ v" E( e6 [6 W% g( `$ Z8 L& {/ W
(2)表2 中列出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会
, i3 T( \/ o7 y/ _" ^& E3 M员的在线订单,如何对这些DVD 进行分配,才能使会员获得最大的满意度?请具体列; H3 k" J3 y7 U: a2 {3 t" p
出前30 位会员(即C0001~C0030)分别获得哪些DVD。5 ^& n* A/ P6 u: B
(3)考虑表2,并假设表2 中DVD 的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理
) g0 a2 _# p0 p( k人员,你如何决定每种DVD 的购买量,以及如何对这些DVD 进行分配,才能使一个+ o5 ~% v% g- _5 u7 [4 X6 N" a
月内95%的会员得到他想看的DVD,并且满意度最大?# g3 t4 W0 _' w7 Y. b! ~
(4)如果你是网站经营管理人员,你觉得在DVD 的需求预测、购买和分配中还有
+ D; K u0 x: \' ?4 W' T哪些重要问题值得研究?请明确提出你的问题,并尝试建立相应的数学模型。1 f" Y. D- v9 V6 K# ]3 W& \
二、问题的假设! T: Y, A, `; e& u5 Z
1、假设所有的DVD 都不能拷贝7 Z. i: U/ r b3 Z6 q" ?5 ^
2、假设调查资料具有一定代表性
( _9 e7 D/ Y- D# a5 W- F3、假设所有会员自觉遵守会员规定
' }1 V* E! ?: A5 I4、假设在租赁和归还过程中DVD 的遗失或损坏忽略不计
4 `& }; m( ]0 |# j0 r! @5、假设DVD 的种类与购DVD 费用无关
( m+ {, {0 V+ w- j* a, b三、符号的说明
# b3 y( d) v$ H! J符号 符号说明5 e8 @2 W4 R& k7 ]* @
V 该网站拥有的总会员数% L! v( c7 b9 v& D: Z x: b
Dij 第 i 个会员在线定单中第j 种DVD 的需求情况* S; X$ H. D5 ~$ ~5 W* C8 p' ?( \8 D
DLij 第 i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度, O2 h0 Q j3 @9 I( S
yi 第 i 张DVD 的现有量
H: ~9 }" y# ?' i+ YMi 愿意观看第 i 种DVD 的总人数
0 A. S6 P8 K A( ePi 愿意观看第i 种DVD 的人数占总人数的百分比
0 S' O5 V- B# g1 f& }3 M( }2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
% U# [% L0 I7 `0 J! K! O3
1 m' w- N" s" C8 h1 s" zR 为满足会员要求的百分比数
' r% c; G( p4 K! [U 会员获得 DVD 后所得到的总偏爱度,其值越小满意度越高 k2 l+ e- P6 ~* Y5 C8 [- p- r" ]7 w
四、问题的分析及模型的建立及求解
: G) t$ X$ S* C4 @4.1 问题的背景资料
! ^% F' z+ J$ L( E. D5 h6 r2 PNetflix 目前是美国最大的DVD 出租网站,现在公司预计可在2006 年达到500 万订) I& w. J) j9 s H
户。这家网站的经营方法是,顾客在成为网站的固定会员后,可在网站上选取自己喜欢
+ p2 H& c' {( D0 W* J+ H* j的DVD 影片,该公司现有DVD 种类有5 万多种,包括一些最新面世的大片,由这家
- L- B( P! ?0 I$ k+ T, `- N5 C2 m网站快速寄送到顾客的登记地址,每次最多3 张。顾客可以无限期地借用这些影片,但9 y- C, ^4 f+ p, ]+ J8 n& |
只有在寄回这些影片后才能借用新影片。顾客只需每月缴纳19.95 美元的会员费,而
) O. `! W" s4 S+ W. n邮寄费用全部由网站支付。对顾客而言,坐在电脑前拖动几下鼠标就可得到中意的影片,. G/ E; |$ T/ d+ i7 e
既省时又省力。
8 }8 v! P% b1 z: d据统计,超过60%的美国家庭至少拥有一台DVD 影DVD 机。去年,美国人在家4 ~+ P% C4 ^1 l( E1 V
看DVD 的时间平均为78 小时,比2000 年上升了53%。DVD 的销量和出租量则上升2 `) p8 ^. M4 {' z) p! p
了676.5%[5]。1 u% [6 v5 s6 h4 Y, O7 f& E
4.2 问题一的求解, `% b X- m' {- N& \
4.2.1 问题一模型的建立与求解8 a, ]; C8 e. _/ \' V) K
对问题一的分析,我们根据实际情况作了一些积极的假设,并简化了模型。从网站
/ K6 O: a! r" L3 m K, {, P7 x. O经营者的角度出发,出于对自身赢利的考虑,希望DVD 的周转越快越好。那么我们就8 |' B$ J0 \8 d5 r' p9 {
从DVD 的周转情况来考虑对DVD 数的需求量。
# C& B. O& B; f/ x9 Q+ g由题目我们把所有会员分成 A、B 两类:如表1/ A- O( R0 J8 t5 ?( d
表 1
3 Y$ e' |2 x7 q" a类型 每月租赁 DVD 次数所占会员总数的百分比 会员人数; T, E B4 m& s
A 类两次 60% 60000+ F' u; Z4 A0 V8 V% c/ O
B 类一次 40% 40000
& d/ o/ y1 [, `+ q9 T考虑到 DVD 的周转,我们对两类会员作以下假设:4 W& S: Q, e6 X3 H* j8 M, b
A 类会员归还一张DVD 的时间X1 范围为3—15 天;
& f6 \4 r* f' J3 N/ b" ]& l) UB 类会员归还一张DVD 的时间X2 范围为3—30 天;9 A, o0 {7 A! k( t6 _/ N2 p
根据现实情况,我们假设X1, X2 都服从等概率分布,则:- U+ {, l+ F6 E6 N" b$ h* R5 p0 i
9
9 S8 o7 u8 _; Y2 ]7 d, r2
- A5 a* C/ ]1 Y H# r1 C) N. L$ D. A15 34 C& p$ w1 q1 @$ o$ j
1 =% @- e8 k n' G( b/ b7 s7 [0 L
+3 o: r* k3 X2 {
EX = 16.5
* x S4 `8 Z; [# A! a% |$ s29 w6 X3 C5 ~: y
30 3& l8 f" |) A5 V8 _
2 =1 x8 L# D' m# Q
+* ?& R1 R) N ^
EX =
' o' Q8 K# P. L0 n% O5 ?则会员归还一张 DVD 的时间期望为:μ=0.6×EX1+0.4×EX2=12 天。这就是说每张: r$ {5 }; S7 k! L' U- c8 @
DVD 在会员手中保存的时间大约在12 天,
8 C% k, ~1 E' R+ o* F$ @3 m8 G那么:
2 a- ]9 N, H& [5 r4 C' b; T8 u( Q5 B在一个月内 DVD 的周转次数为:N=30÷12=2.5;
( [) M8 p1 O6 B0 t在三个月内 DVD 的周转次数为:N=90÷12=7.5。(设30 天为一个月)
5 F9 g' q: O {根据题目中调查 1000 人愿意观看各种DVD 的人数,我们得到会员愿意观看各种
J& u' v0 Y. j$ y: g4 QDVD 的经验概率分布统计结果如下(见表2):
7 j0 ^* A; N2 i1 k' Q$ v9 x, v7 `: ^表 2
. [ D4 |( K. z# U+ H) N- ^2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
% m- g* Q4 c u1 H0 a4' g* e2 j* q+ O! |4 T3 p
DVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5! r1 p3 _9 g i7 g
经验概率 Pi 20% 10% 5% 2.5% 1%
0 w& T' B& ^- o; R$ RR 为满足会员要求的百分比:一个月为50%;三个月为95%。) g6 a% C, i) {, y+ C; A$ n
因此愿意观看第 i 种DVD 的人数Mi 为:Mi=V×Pi×R=100000×Pi×R (V 为总会. ^6 W3 h8 z" S4 A! T
员数)。
* \8 T7 e. g- J. b+ S, b( W/ N那么所需要 DVD 的最小数量为:S=M÷N。(向上取整)6 K; _4 f: O" D
我们得到 S 的函数表达式:S=V×Pi×R÷N ;
* m& b+ t# a1 q- O% L求解得到每种 DVD 的准备张数(见表3):
( t$ v" P9 N" l8 T表 3
& y A( J5 c/ H; v8 @6 jDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD55 G* A; e5 \2 _0 x
一个月内至少 50%* ]3 [- g6 Q; \ E2 i) m# T
看到的最少张数
; s" k& x" K7 O9 J0 ~4000 2000 1000 500 200
5 _" t1 B0 S5 e2 [三个月内至少 95%1 L5 B: V9 k5 I
看到的最少张数2534 1267 634 317 127
1 ^5 f, i1 E+ W2 }- {作为一个租赁网站的经营者,总是希望赢利更多,就要提高周转次数,减少周转天0 g9 j+ W+ y1 C( ^
数,这样他的先期投入也将减少。就可以考虑尽可能缩短租借的天数,来增加网站的赢
' t, l5 I/ B g h0 B, ^利和减少先期投入。若我们将归还时间定为3-9 天,则期望为6。一个月的DVD1 所需
3 @' S3 o4 H! G2 N r5 L: v. s最少张数为2000 张(小于4000 张)。& K4 _" H) g) m6 ~+ [
4.3 问题二模型的建立与求解
6 ]8 S! Z' _1 y' A3 k4.3.1 问题二的分析
; `4 ?8 L+ }/ `+ `; T顾客满意度可以简要地定义为:顾客接受产品和服务的实际感受与其期望值比较的
2 M2 z: f: ?$ U! i# Y& {程度。首先对满意度进行了如下假设:在会员的在线订单Dij 中,数字越小表示会员的# Q1 R$ h. S/ N E7 o
偏爱程度越高,如果会员得到他偏爱程度越高的DVD,则会员的满意度越大。假设会
2 `. {9 p. [4 Q9 k+ t7 T9 S员对DVD 的偏爱度为:% Z" H1 o1 H2 E
ïî- C0 b) P% C- o& ?2 u- C
ïí ì4 L( ~$ ~* b$ S) b2 s& _, w& X2 r
¹5 {! u$ d2 _/ c" S2 F# A: q
=
. M8 }8 x4 L/ t8 A=
: S! P/ h; Z6 B+ Y+ y# e, 0. v1 S' x. T$ t2 p! ^2 k
11, 0
% n7 X. ?2 ~. [( {+ ]1 m9 Zij ij6 z4 }# \5 i5 [3 G$ f* l3 o- W
ij7 Q& t" V: Z1 W" [- v
ij D D
% I" _- x3 {3 [2 Y' WD/ R+ ]" x3 C) u+ b0 t' Q
DL0 F, i" U6 a* u* n# F6 t
该问题的目的就是分配当前的订单,使得这些顾客的满意度最大,可以用0-1 规划
" B9 J3 z: a' _; X模型来求解,定义0-1 变量Cij(i=1⋯1000,j=1⋯100), Cij 为1 时表示第i 个顾客租到了8 Z: i" u- N& Z8 z: q) {. g
第j 种DVD,其值为0 时表示没有租到相应的DVD。
0 I# x+ K. F8 y; n4.3.2 问题二模型的建立
* \ J/ k$ B+ H2 o会员租赁 DVD 满意度的目标函数为: åå8 M4 r* S" P- n7 [3 s3 s; G+ ^
= =
6 a4 n5 `8 k* k´3 ~$ S4 z4 _' R/ C
1000
6 h' W) F# o' \$ K9 f# e$ P0 F6 E+ e13 q& ]) V: f% r9 b/ \4 a4 [
100& r/ S6 b" P$ `4 @
1* v. D. ^. o- W) b3 Y! a
min- c( H A. [1 o: W
i j
" u7 W; p$ C3 r J4 e/ |1 A$ Xij ij DL C
5 c) b: y$ }& U% [0- 1 规划模型的约束条件为:
, E+ q8 L5 J1 F1 Q1、每个顾客一次能并且只能租到3 张DVD;# @7 a5 W& w( K5 o3 u
2、租赁给会员的每种DVD 总张数不能超过现有DVD 数量。* ^& q& d2 g7 P" |; u
由上述分析得到如下的 0-1 规划模型:
& R9 N& a0 F) A) K: Z4 V+ u d2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文* t6 e( X2 Q3 O& w
5
/ L( ]- {! U6 B7 wï ï ï ï' P6 ]. `! D; e9 p
î# Q2 f7 v/ e( t# h2 H" K
ï ï ï ï$ M# A1 C4 z. ?4 w
í6 D& m* ], J6 [. j: n1 L
ì. H- E0 G1 l) H. Q2 e2 f
= =4 G- F. i) A3 w2 T6 O# R$ u
£) K6 k! L4 v, Z6 S: R0 v9 I" w
=; ~8 r" Q$ |/ H$ f0 J
=; x$ X5 n1 A" h4 `
´
: u0 N, @; ~( Yå
3 X, G5 v7 q% f" o1 g. Z3 J' oå2 F% ?( k, g ~0 c& H
åå
7 {$ ], V; ]6 V7 R# V3 e=
* x( U6 Y1 z2 n) r6 w=8 m5 E% A! H! h- j3 _0 L" ~' t1 y
= =
0 ~! l/ s) h2 z) w4 ^3 ~( 1 1000, 1 100): r, R' O* h% y& u; l1 G" w$ T
3& D* \1 W) H# M& M
0,1
0 j( R! }7 ~( r- P. .: g& J4 |: w. B" U- l
min7 e2 h# @, ]: s4 ^; Z
1000
( n# u: W4 |& A17 ]: { ]% _& \ c3 G& P3 m" \) A
100
, ?, {, t. d2 g- M1
$ V. O- q- C6 R6 i, m' T5 T1 ?10007 o0 Z+ y$ ~4 i& C! y8 M, l G
12 z* h D: V# N* x
100
) A# Z9 b& [; K1
7 Q4 t2 G* C: b& I+ k1 Ki L j L7 d# n2 B7 `$ }# E7 @! U1 R1 x
C y: C# u) J* ?. L# P: ^4 A) M
C
) t. S! @1 M- U+ fC1 B0 ]# l# k+ ~! N' v- S# D9 n
s t$ i( b: `% s& M4 e( V/ p
DL C
, R7 O$ I9 Z- D8 @, g% Ii% B2 ^( Y0 y z& B, F
ij j
2 y) R1 ~+ I! R( d/ [j
/ V3 x; S8 A. Z; D# s" n1 mij
4 @+ d9 \" ^3 q( {& oij* v6 D9 L6 H0 f( \3 ?( p) Q+ O
i j
& W7 k; f: {: A" eij ij
5 Z- W5 J$ x% K4 N4.3.3 问题二的求解
4 b( V8 ^ ^' S# B对于上述的模型,在用LINGO 编程求解(具体程序请见附件),得到分配方案为
# j# }5 E1 v2 ^9 g2 E& q, i0 }Ci,j 求得总偏爱度为åå3 P& V# v0 D1 F. T* `" i8 l
= =
2 Q6 u% ~& F) G4 |2 o= ´/ G0 d, F6 u1 x& M+ v/ q; l
1000
u" `; C0 L+ ` S, q0 q8 T6 a1* W8 @- |4 j2 l- K6 z. G
100) \5 Y# n6 I; n% T, u2 ~$ z. J" o
i j 1
" Y4 I* V7 s* m, oij ij U D C 为7924。由Ci,j得到分配了30 张DVD给没有要求2 I9 p2 @* Y+ a
预订这些DVD 的会员。前30 个会员租到DVD 的情况如下表4:
' n* _# g/ z- `0 V# c) B6 ~. M u表 46 s. n9 b5 \- a T$ Q4 J6 ]5 {
会员号 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010* o) w. A; n; Y+ w d7 K: E: [
1 8(1) 6(1) 32(4) 7(1) 11(3) 19(1) 26(3) 31(4) 53(1) 41(6)
$ _4 M5 t% o( L/ j) A2 41(7) 44(2) 50(2) 18(2) 66(1) 53(2) 66(6) 35(5) 78(3) 55(2)* n( A+ {2 m4 Q$ \9 N# J, m$ Z
分配0 T" K( a$ e W' a2 S ~6 I
DVD 的
7 H5 q* p' C9 \+ p# G+ Y, T种类号3 98(3) 62(4) 80(1) 41(3) 68(2) 66(4) 81(1) 71(1) 100(2) 85(3)- v4 [) c R6 K, x! L: c$ B2 J
会员号 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020* E5 |8 t$ H# K8 a, {
1 59(1) 2(2) 21(3) 23(2) 13(1) 10(4) 47(2) 41(1) 66(4) 45(1)2 o" T& ]( Z7 U
2 63(2) 31(1) 78(2) 52(1) 52(4) 84(1) 51(3) 60(2) 84(1) 61(3)
( L G2 k: b0 q7 ]分配
# U: v, P8 [! [' e' V) h1 ?7 kDVD 的2 K8 R# a. E% j! _6 `' T n
种类号3 66(4) 41(7) 96(1) 89(6) 85(3) 97(2) 67(1) 78(3) 86(2) 89(2)7 I* m- i4 N5 ?
会员号 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030
4 y* @: J8 `5 C" @. o1 45(2) 38(3) 29(2) 37(4) 9(1) 22(1) 50(4) 8(1) 26(4) 37(2)& b4 [" l- C2 V$ Y. @
2 50(5) 55(2) 81(3) 41(2) 69(2) 68(2) 58(1) 34(2) 30(2) 62(1)
4 d+ F- q5 J H* u( }2 Z9 f J K分配4 b4 \) z1 }/ X& Y
DVD 的
; C' N- L' H) I: M3 k* G种类号3 53(1) 57(1) 95(1) 76(1) 94(3) 95(3) 78(7) 82(3) 55(1) 98(5)
" ]! L/ q# `1 G注:括号内的值为会员对该DVD 喜好程度。2 ]7 z' I# K0 }! U
为使会员得到自己没有预定的 DVD 总数最少,可以将DLij 中为11 的数增大变为
7 _( Y& y3 ?( A( t/ ]3 W1000,即将此偏爱程度降低,再如上求解得到一种新的分配方案Ci,j,求得总偏爱度U
( P9 t: `9 l9 \4 ]9 O为8191(>7924),但是经分析,只分配了8 张DVD 给没有要求预订这些DVD 的会员。
: S7 Z% O: Q8 N! Q事实上这里的8 张DVD 已经最小,具体原因是,现有DVD 总数为3007 张,每个人得2 J: ^+ ~3 ? d3 n+ a0 r/ ?
到3 张DVD,1000 个人就得到3000 张DVD,则还有7 张未出租。根据所给的数据,
! Q( k! b' O: I& o( B* N, u第37 种DVD 现有106 张,只有91 个会员愿意租此DVD,即第37 张DVD 按照会员的
/ c% W- v+ u" X1 [+ {! Q3 V/ _需求无论怎么发放,也会有106-91=15 张剩余,而总共应该只有7 张DVD 未出租,这
8 }4 a0 C0 E. ?# I7 t样就无法满足所有的会员租到自己想看的DVD,而且一定至少有15-7=8 张DVD 发给
2 u% f& T: x% g4 e3 h了没有订这8 张DVD 的会员。- q( x D l% k8 t K G3 m
比较上面两种分配方案,我们选择第二种分配方案。第二种方案下,前30 会员的) r/ P& E6 u! Q2 b) |( H
租赁情况是只有第25 个会员的第3 张DVD 与第一种分配方案不同,其值为81(4)' I+ i# F# l2 z
4.4 问题三模型的建立与求解! t. f4 i* r; g. x
0,1 变量- c& V1 F! r/ B2 U) m( }* c9 f
每位会员租 3 张DVD% M5 }9 q0 T9 U& ^" x- |2 X5 i
DVD 现有数量的限制
( v% T) f1 n2 K7 T2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文4 B z4 `5 M9 z( X* ?2 N5 K) t
6
% y) r, W. b* J& A6 k A$ R( W4.4.1 问题三的分析及模型的建立
; H, w2 u) X% H4 i1 Y分析该问题的目标是保证一个月内 95%的会员得到他想看的DVD 的情况下,使得0 Z; [: _- a+ J) i& M1 M
会员的满意程度达到最大。
. z* }$ }: y) g! }5 `, ~9 u假设分配给第 i 个会员3 张DVD,且这3 张DVD 都属于该会员预定的DVD 那么% h& z, l* }+ G4 V) U4 j
记pi 为 1,否则记pi 为 0。
8 o* `2 n' r& p! Jú úû
0 b! ]6 k! s [* h! V7 gù( }( _+ n: b8 m6 F* V! |# G2 F" _
ê êë+ S8 T* B" N" b6 E+ w( C
é
1 [4 E5 {$ j$ j8 f' Q3 ?- t% E: j÷ ÷ø
$ q8 }7 R& W9 D- xö: c7 i% S9 B- U& P& c5 u
ç çè
) T5 X4 Q. {5 y" T% o. G# Pæ
; E' V- Z+ J% V- R" Q+ u% U9 w= å* L( l6 g3 u1 O9 `
=7 d* I! {( f& M) v# G
34 _, }$ a+ d3 x _
100
' }5 J' F9 b4 U& ]) l: M& `( C: oj 1* Q# A# d. ^# }5 V
i ij p C (注: []为向下取整)8 a" i3 p$ ?( u6 I4 X" _
要使一个月内 95%的会员看到他预订的DVD,则得到0.95 1000
: J) v& T2 P: \. ?( Z1000
7 c3 X1 L- z. F3 F* z8 h6 S1
; F) o9 }' H& k+ S& o! {( m# Q´ = å0 i/ }( H6 a4 c k
= i; ?8 Q' ]8 B* H* f
pi2 ]. o- ~0 E- w: \. w
根据问题二以及这里分可以建立以下模型:
. X: I; c& X$ n2 B! Q, v2 Zï ï ï ï ï ï3 ~. E" P% G F8 a1 M- t
î6 i+ d8 q! h' e: P9 m( ~& T3 _, _: f
ïï ï ï ï ï. i W* Q& X0 b4 u2 E
í
# O" f x m4 Dì* w! J- {! k8 F, P# |# f
= =* b4 L4 g2 x6 y8 O; k+ l2 [0 r, [
=
3 O0 j) j7 t' Zú úû t7 |( W# Y' x( `1 N( B
ù
, V( o, i9 H8 [8 \5 Aê êë' S: j5 l5 q8 M( Z, {) Z0 o. M0 X
é8 T0 Q1 K% D( W4 [/ U
÷ ÷7 `9 Y6 T2 v8 e6 M1 w8 e$ }& f
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' H2 m( x+ d E( v/ xö
- W/ D) b# X% oç ç: |- \) G8 B* |' C
è# U K, e* U! f/ \5 o/ d9 J
æ2 p/ h( O5 W" j5 e6 Z5 N' X |
£; U' t3 Y. d/ z, T. u. A
=
( p+ U$ j/ Z* b+ i/ B=
( @& b. _5 Y2 E5 s( s) r´
5 u7 J& c, l7 Z) H" B. B1 L$ m' F# vå å
, o+ A( V! V" a* x2 D/ [å* N* n* a( e# V
å
6 b9 ]+ ~9 D; h6 Dåå1 c4 t/ u! m6 A( J
= =9 z) a( D! i3 {+ ]7 b' X+ N4 K
=0 |: T( F9 y4 _! f* Z" `* b- ?
=
, z' x* l5 \' S; J% i% F= =% g7 W7 Y% c P7 @$ k( i
( 1 1000 , 1 100 )% o+ A4 Z- }: S
3 0.95 *10002 w+ Q7 l3 U y0 C: Z+ {8 M
3
$ D- J0 E( d4 }/ y- a0,10 ^' U& S) `* d$ j+ D0 ?
.
* n% g2 P# ]$ bmin3 U) L2 E5 T- Y; F7 r4 [$ U c
1000+ t' t( K0 V8 Q- n
1
8 M7 o" B0 V- t1 }( _100
$ j$ G! \& w1 ^6 Y1 u* P! I; l13 v/ I5 w4 S7 ~$ P
1000# a" v8 r6 Q7 U _8 C
1
( k4 W, ~3 f( L8 }0 T100; N8 }& k) i& D; ]) _$ k o( N+ }
1! @% m- Q0 ] { \- E% w
1000; Z$ v4 W3 `9 e6 h6 H- P
1- h6 V/ U# S8 Q' G2 ~/ G0 ~
100
6 X4 ~4 B. Z( M; H* @3 p. r- Z1
1 g" z6 X3 b; b2 _' H% ji L j L6 j# F8 N1 L/ X! T) A
C& o& V2 M* w' l# @* A
C y
5 z, j+ G9 N& `* {, u" jC5 P; m8 Z9 ~# f7 ?9 [, L
C
1 b/ W' n+ B! J2 qs t# J1 y/ _( ?: g; y+ _
D C5 N: r! i: k' z$ T% ~9 U2 }& n
i j
1 e( \2 X% S; bij
0 ~. _" Y% e0 S6 g- w( W( Fi: F/ T" G' ~9 k
ij j
. M% K& t4 O9 @7 a# Z; r& Xj
* Y! I* Q4 g# q6 N qij
- m& T9 @) w, q, V8 O5 Jij7 r/ N2 h8 B7 h$ n! q! u$ U ]
i j
@/ }" q: }4 ]2 W1 Pij ij
- ]6 G/ e+ K! ~% |9 G5 v4.4.2 问题三的求解
" j" I8 {. f* N+ I( _* o上述模型难以用计算机实现,这里我们用计算机仿真来解决该问题。仿真前先进行
3 X6 p5 |' k* H: q, q/ ~如下假设:: ]% c: B8 s8 R; Y- l! w# c z P" S, ]
a,假设40%的会员一个月只租DVD 一次, 60%的会员一个月租DVD 两次,会员" V) S3 `9 X; F
还DVD 天数在3~30 天内并服从等概率分布。
8 t" L- y7 ? {1 N* Jb,假设每位顾客都有95%的概率租到自己想看的DVD,若一位顾客按偏爱度订n
7 K. i4 A3 K+ x9 D9 W" J9 m(n<10)种自己想看的DVD,设该顾客租到偏爱度为k(k<n)的DVD 的概率为# |$ _5 o9 @$ y% U- @# g
å=3 Y8 l6 d7 ^% W( w+ g
-
* e4 @+ r: b1 L4 z' b% x-
9 E( i, y$ `" h# ~$ |0 b=
0 |" s, F+ Z9 x+ N, w7 yn
# D1 ] U6 K& l3 l8 ji i
& l, g, U' w z9 }$ `k
5 A, |9 n8 Q9 g. Q8 `2 }6 o6 ^p k! N0 x8 j. _# P
1 11# w7 |" H ] D% }8 H; S
116 g6 b' z8 k: |
( ) ,' k( n/ q h9 a
c,假设已经租到DVD 的会员只有归还DVD 后才能再租,
. n' g. ]; {8 P! S+ i: ~; h在此假设基础上进行模拟一个月内 DVD 的供求,得到这一个月中每种DVD 的需
: i) }; d& F9 c$ M" H求的最大量。仿真流程图见图1,程序见附录。8 a4 h$ y$ l* T9 ]0 }3 L; v
用 MATLAB编程[1] [2],经过多次模拟,得到每种DVD 的购买总量在3085 左右,
0 C8 M1 B" n& i0 G4 L1 E2 B其中一次结果得到各种DVD 购买量依次为(见表5):
( l2 ^9 o- H2 ]& j" r表 5
5 S: A5 n) z5 {3 N1 S4 @D001—D010 28 33 29 26 24 30 31 35 28 27
, H1 y; D1 o# Z# o) }+ ?0 MD011—D020 25 24 35 39 23 34 37 29 27 35
1 y- |5 N! P, WD021—D030 33 31 42 28 32 32 27 23 35 35
9 P7 p9 V4 U, r2 LD031—D040 35 29 22 28 38 32 30 33 30 29
( w+ p9 r' Z1 L) @' f/ n7 X& F0,1 变量
/ C6 O! V6 C% E- T每位会员租 3 张DVD
9 _6 d8 f0 h0 g* T+ {: PDVD 数量的限制
& u8 X( I7 d1 Q% m3 M2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文& F5 H% v& t6 w3 |0 k9 q$ d
70 J: L; C8 \" l
D041—D050 34 39 23 25 38 32 35 35 27 30
" Q1 d x5 F+ W# a- {- ` L9 bD051—D060 31 31 38 21 30 32 35 31 36 38
% c: O5 t* W. }) RD061—D070 25 33 23 33 34 43 34 40 42 36 S g! b. A; B
D071—D080 35 36 30 30 33 29 21 31 23 334 u% }7 w1 V9 j5 q, D8 o
D081—D090 34 20 21 26 33 20 31 20 38 322 h. q$ f9 M2 d' f
D091—D100 43 25 30 31 29 26 29 30 26 34+ [4 k& d! V0 e- _1 E3 q9 {
总和 3086
0 {) y" r" O m/ |) `Y
% ^5 \* j+ X0 x( tN R! e' w" B5 U" z
Y2 L' c+ ]$ G& b j' l2 ^1 Y# ?
N
0 k+ y% y _8 _5 p! [8 f jN
5 l( i% X& O4 x& U9 LY `* F3 n& ], m2 r: K% T1 P+ h) Z. @
Y
' H% j9 }2 V* M; S' u. w6 d- FY$ J7 X V8 i P+ @
i<30?
# P" S0 K. @; F: Q0 m! Vi=i+1 第i 天' C# M$ e1 K/ l' z; D5 m' s
j=j+1,+ C0 g) B4 E4 N( V
第 j 个会员
# l' ]5 T) g9 Q. sj<n?, J* x: b5 w5 Z- p( ~. @7 I
会 员 j 是否还8 R: Z: p2 F. X. g3 c
租到DVDd1,d2,d3,
8 Q; x. x# X4 |2 V* W/ p+ eD(d1,d2,d3)减16 \# c5 M- K" p7 d5 T& b* D6 w
计算 30 天中Di) u, ?2 h! _' B6 L/ c9 A
的减少最大2 _: r6 S. j1 I% }
结束
# C' [5 y# ?4 Q N2 q% LN, x9 d( i; c# k" o1 _* A' D" A' z
将 1000 个人分类i=0, ]0 k9 ~6 O: P: b
D(1..100)=1000,
+ P7 U, g" K, `; y2 Y H& `2 Nj=0,n=1000- n. B6 W; i0 y0 h+ K- Z: U
还回 DVDd1,d2,d3,
+ S8 R& T# u q4 D* p* ~D(d1,d2,d3)加1
7 u5 U# R3 {& }会 员 j 是否租: |# u; W$ @$ D: p s& [' g2 a
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文: w" {) y) W9 n( U- {: K& J$ \
8
) b6 \5 E9 U- n' N8 {6 r6 r! q图 1
+ ~, l6 Q# {. @/ ~: C4.5 问题四的分析+ z, ~6 j/ J% |
我们分析了 DVD 租赁的实际情况,发现以下问题:. l y' M: w4 H3 Q, h
4.5.1 已知连续前N 个月的DVD 需求情况,如何预测出第N+1 个月的DVD 需求1 g" `! n0 M" @* K ~- R
情况?" D2 t4 `, S& u
假设前 5 个月的DVD 总数的需求情况为x1,x2,x3,x4,x5% F9 `! _1 Q1 g. H; b, _- B# x
对与上述问题,我们建立灰色GM(1,1)模型求解[3]。8 p) B9 {% g7 f* L3 N+ g# M
以第一个月为起始点,即在该点t=1,于是有原始数据序列:
* ]1 @2 _* q7 rX(0)={ X(0)(t) t=1,2, ⋯5}$ j! Q' o' e' |$ z% h* F
={ X(0)(1), X(0)(2), ⋯ X(0)(5)}; u% Z1 I# i* U) G- O1 W' ^& U
={x1,x2,x3,x4,x5}
- N+ j2 A: b$ L) j/ {1 V4 I8 }首先按 GM(1,1)建模方法,对已知原始数据序列X(0)进行一阶累加生成. `& A, V) h& j3 V5 O8 e
(即1—AG0):
. J$ L3 k& | q, ~å=
8 V% j& m4 H# N$ t0 S- {" Y7 R3 y" U' T=8 @! Z: [7 D+ p4 R w' l0 U
t
5 {+ B2 F9 n* s: k8 cm5 b- u. b" ]* j6 n9 {, a
X t X m
9 x( |% c& s5 z, y/ {1
. ?; v1 P, a9 I/ N6 S; O g, j(1) ( ) (0 ) ( )
+ o" U3 T/ w- F7 e。得到生成数列X(1),如下:1 b. w' T3 a. L+ s$ }, o( g
X(0) ={ X(1)(t) t=1,2, ⋯5}
1 s( K Z2 P0 }={ X(1)(1), X(1)(2), ⋯ X(0)(5)}9 ^$ h8 Y& I. G. l9 C9 _
={ x1, x1+ x2,x1+ x2+ x3,x1+ x2+ x3+ x4,x1+ x2+ x3+ x4+x5}4 J1 `6 x$ e7 u; O4 d
构造数据矩阵 B 及数据向量YN
3 I) I+ J/ v% `' n! s$ L' ?7 u# c# Qú ú ú ú ú
$ g) G0 u2 g( M: s, B" zû
) \( i7 @( f2 w$ _& I7 ~ù
& }# b g! G' L& x- Wê ê ê ê ê
- i ~" T+ }5 t# s. Y. ]7 të9 ?+ U( G, g7 X, x$ ?4 q
é) H) U( I7 @" z2 S$ h$ r
- - +( q& c* s+ L# `
- +
+ C9 _5 j- ^! q. W5 h- +
+ X" {( E. E. B=
+ f6 e6 w8 ]6 i% o! B. ?7 u1/ 2( ( 1) ( )) 1
$ N$ R: v, k% F: u6 d8 J+ @* m2 D1/ 2( (2) (3)) 1
, p, V s- ~2 y$ s1 U, }: Q z1/ 2( (1) (2)) 1
' H! [% Z$ M: m1 c! x0 M6 q) K) o) }(1) (1)
4 z k, c+ U7 s(1) (1)4 o4 Q/ u7 R* m2 a- c2 m: U7 X* E
(1) (1)
9 x! u" Z6 n% x* C# iX n X n& {3 ?. u3 x: i6 z
X X
9 B) j7 s1 U: [- u5 b, D( w5 QX X& D T9 w8 V+ T: _3 O
B
7 s- d3 O% x8 ^- v* V" P6 U t" PM M
& v2 b$ m/ V$ W2 o4 NYN=[ X(0)(2), X(0)(3), ⋯ X(0)( n)]T3 D! T2 c! C2 W& [: p$ c
求模型参数a :
, P/ \" G& _% U9 G1 xN
6 ?) Y- ?: n& F! }6 h2 K8 V6 @: ra) = (a,b)T = (BT B) -1BTY
' L+ \# Q; Q$ e& q/ B) R/ Q9 c建立模型:根据参数a 建立模型。模型的时间响应方程为:$ k& ~$ f% X. F" T# J7 z
a
8 ?5 Z# z" d; n/ h1 Vb
" i/ w% A+ G: J; u2 c5 te
3 ?; Y- ]; m& ^6 ua
4 Q5 I: r5 B- F" _5 n9 }9 Wb
e1 C/ w1 L& XX (1) (t +1) = (X (0) (1) - ) -at + )+ ]$ }0 I. I3 n$ L
模型的改进:! B4 O0 ]6 B1 i! w3 W
为了提高模型精度,又对参数进行估计,以进一步改进模型。将以上时间响应方程
+ S. W# }! g5 ]& Y- \5 G3 [8 |! `写成:
6 O p9 P( e+ I. gX (1) (t +1) = Ae at + B$ E) @3 e- b3 ~- K7 S9 x
根据第一次估计的a 值及原始1—AGO 数列X(0)( k)对A 和B 进行估计。构造数据( @5 H& C4 I+ l
矩阵G 及数据向量X(1):
" h9 T: \1 h- ~ G8 L; F2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文& S6 Q& ?; B# e9 C3 U0 I
9% B! \" p- _5 k. ^% d
ú ú ú ú ú
" w5 V8 O E& D+ Yû |0 Q3 Q( l$ w5 L7 U$ b
ù
( m, u2 g7 s: M' @5 J6 P# hê ê ê ê ê i9 D6 u2 O, ~; I+ i+ U
ë
# j4 u) y$ K0 c, L5 q8 N8 ké" x( G- x$ J8 ~+ W# u' T+ Q) [
=2 y0 n' G* A4 d
- -
7 j- X6 f. c7 Q) t# }: l! o( @-! ?4 [8 I5 V0 w/ q' B
1
- T* E" a7 v+ Z1
: \8 r6 V: D7 M+ t, M9 a1
9 _& x3 O3 j$ a4 i& t( 1)! g2 j q/ `6 c* ]0 a" X
0
& [$ X$ ~- d1 n) y2 V" ge n) I- S% K1 y0 h* U8 H
e; T$ E3 R1 P G+ X4 ~$ ?7 ]: }) V/ v
e
! C+ m; u+ t2 H& p% MG
) K4 K5 X" o% H) Y: O( La
6 C* u5 _ @4 U+ Ua
1 E H+ i- A- JM M h! I) d3 L; A" n
Y(1)=[ X(1)(1), X(1)(2), ⋯ X(1)( n)]T
* Z2 k/ f! D" c( S0 [" c求出参数 A 和B) H; B8 I) r( `: ?* o* A
(G G) 1G X (1)
* _0 I% A, b$ v8 j4 e' {* w9 C* OB
5 x# z8 k7 q+ a h7 o& i. _, `' hA = T - T ÷ ÷
$ d8 u- r g0 t4 `7 t& S1 \! ]' I7 Uø
; p8 k0 d) }3 {ö9 s- p0 y# R% m( o! z; Z: N
ç çè
6 M5 P6 m& t0 B* X( g* Pæ
7 T: L2 j' y3 e M b( b求出时间相应方程: X (1) (t +1) = Ae at + B
+ |' ^/ d9 h) j$ L9 r0 c! X. s则需求总量的预测模型为: X (0) (t 1) X (1) (t 1) X (1) (t) ) ) ) + = + -# @# H/ }8 Q5 I% O5 C& j+ @6 Q
4.5.2 网站月盈利与网站DVD 购买,会员会费的关系' K8 F+ [( U. m$ a! O4 j
网站盈利与网站会员数、会费、会员的满意度和DVD 总量存在一定联系,如何购0 B, D2 q) v- u4 U( ?6 {$ n
买DVD,如何确定会费使得网站盈利最大
2 x6 Q8 o$ \8 B; o假设网站会员人数 W 与网站会费e,会员对网站的满意程度m 有关,设:
( d [1 O% ?- S: }W = f (e,m); u, J# K0 D: L& X# B/ i
假设会员对网站的满意程度 m 与网站拥有DVD 总数量s,网站拥有DVD 种数n* i. k: C) N6 H' G7 D" j
有关,设:1 q. ?1 l& ]; N8 \3 r1 P
m = g(s, n): I7 j# {: U8 G8 _7 y: @7 q% B
假设拥有第 i 种DVD 的数量为ai,第i 中DVD 购买价格为bi
/ X3 e! v# \- n1 ]* t5 O* J假设网站的每月的盈利 F 只于购买DVD 的费用与会员的会费有关
/ f( J) X$ C6 ?根据以上假设建立如下规划模型:% F% i9 [; `. W) l: P
ï ï ï& X% {+ Z0 ?* A8 u$ r- g( N
î4 U% y( {: }/ c/ x4 U3 |
ï ï ï
* W- q( N# n! t& T7 T* ~" ií
@: J2 E2 t1 G; x0 n# n4 F! t1 G* l/ Oì+ L5 w9 J3 R c, P
=9 P% {# O2 ^4 k. D7 P* F
=( d6 A/ k" o, ^7 v7 H! u
=- I3 e) ~7 @2 t3 {
= ´ - ´# J; b- q0 P, z. G* ]4 @
å# F# T0 D% ?# t0 U# k: D
å" `+ X6 H! t! }- I) K9 W# @5 u
=( E) E8 a% C2 V: ~
=
/ g# j# T2 C( }" z4 X' xn
7 i- l7 z2 r8 Z' B N. w5 @i
* j- z6 I7 I! ?! d5 j+ gi" k4 F/ b3 |/ p* p6 B$ N
n5 i2 S* t4 S+ m! e) z c3 x
i
3 w; P% W% M M4 ~3 zi i
* d6 d# [. M, p5 Q& v" vs a7 b" U5 `& j5 F8 M; c0 ?
m g s n
/ [% w4 | {: S7 W0 SW f e m
# [% j, X% V4 E: Rs t
+ F& L, w# j* oF W e a b! P. e5 }5 L n9 q h* V
11 J, A: a4 t! `4 I6 S. h
1
4 Z8 U& v7 C# [3 `; O( , )0 s+ G" z: P$ ~6 b/ ]0 g
( , )
# r0 U. U6 o+ S _3 D' _$ M. .# G6 W4 y& u$ R5 W9 F- m
max7 M. M, c9 K* t s6 Z7 r6 F# F
六、模型的评价及推广% }% \1 v' ]5 @6 z- ?+ G% t8 V$ v
在问题一中,我们的根据实际的情况,突破传统以会员为参考切题巧妙地转为以经
% a7 a& R* n; d! e6 q R营者的身份用周转情况来考虑问题本身,使解题思路突现,运算简单,而且模型非常明
2 } {* X. g+ Y6 ]' o* R# m& c了,十分容易理解。问题二中,我们证明了在题设条件下每位会员不可能都租到自己想看, d( z5 u# D" R; c6 l
的3 张DVD,至少有8 张DVD 租给了不愿意租到该DVD 的会员,同时用 0-1 规划模
# y2 g9 p' {( `' d型求得了在只有有8 张DVD 租给了不愿意租到该DVD 的会员情况下最优的分配方案。
) Z+ h8 s2 ^; D( M) t8 d2 X2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
3 j$ @: x: Q7 Y) x1 b10' [ B+ Y* r5 d! s" I& M
此模型中有10 万个0-1 变量,规模已经相当大,但是运算只有20 多秒,在10 万个变
& S% ?! J6 l( Y/ B5 H量以内规模的问题都可以求解。对于更大规模问题,模型的求解就会困难。因此我们想. x) Q, e! _, N# s1 N. `! p
了另外的一个算法:贪心算法[4]。贪心算法是在让计算机按照当前的要求逐一进行分配。
3 l, s: Q$ A5 S* M% e在满足一定约束条件下,每次搜索偏爱度最小,然后按此进行分配的原则,得出较优解。
% r$ x# n3 S- I6 D2 G0 z对于问题三,我们建立了一个规划模型,满足题目要求并且容易理解,但模型求解较为$ U5 _# q6 i0 t# f$ B' K m! H. M
困难,然后用计算机仿真的方法模拟一个月内会员租DVD情况,得到网站应该购买DVD
3 Z/ E* `* U+ r' r/ i% M& F的数量。次方法比较贴近现实,但是每次模拟的结果都会有一定的差别,而且所得到的2 ?" U9 {6 C- }1 N0 O; ^8 R) v
结果难以求得最优解。# n; ~8 t0 Y$ f2 s
本文建立的模型,不仅能够解决本文的问题。在超市物品的需求预测,货物的购买9 C/ i( h4 p; ~& `5 ^& o6 y* a
和各个连锁网点的货物分配,都能运用本文的模型进行解决,本文的模型,能很好符合
5 h5 @6 d% x4 m" T/ _实际情况,但在精确性上还有待改进。
% C' _. a1 i* r. s, u) N; a7 m- C+ N- A[参考文献]:
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5 a5 C" R- D1 J( j$ S[5] http://www.netflix.com,2005 年9 月17 日0 A7 G8 ]6 r4 b! U# t: a! A& f
[附录]:
' I3 ?# y$ F$ a; b5 D, q) |1、问题二程序:
2 [$ K$ Q) v V* P运行软件:Lingo 8.0( h7 r# F( G; N: [5 b! n/ N
运行环境:windows2000
( v2 Z6 n3 w. P* Z6 M/ _- A" Q运行时间:24 秒" |" J" L& D1 o4 B
model:
& S, ?0 j& F7 ]5 T& Y& {5 e& O6 d fsets:
% y9 C5 X( V8 y: @+ Bcd/1..100/:dvd;
1 e! j4 W/ N1 P8 p' {, f1 l+ aren/1..1000/:people;# K8 u6 \6 T1 g e# N$ M) F6 {
link(ren,cd):c,b;
2 a' \+ }5 ]+ y1 Y, jendsets# a8 R5 U" i7 a5 t0 I
[email=min=@sum(link:c*b]min=@sum(link:c*b[/email]);7 h& I4 d4 A4 Y2 L7 G, t
!dvd总数的约束;
0 D" K$ q4 Z6 D7 y' h3 u' p0 \@for(cd(J) sum(ren(I):b(I,J))<dvd(J));2 A4 |8 g) {' U
!需求约束;
. b4 Z3 {) [8 C6 `- t@for(ren(I) sum(cd(J):b(I,J))=3);
8 x }% V; {; X3 k8 P7 y@for(link bin(b));: L& q4 N! a) p) o( W1 S: o( R
data:, S6 a1 M5 a& X. _% Z0 ?; y& r
c= ;!输入偏爱度;) i! J" ?: J3 C6 a
dvd= ;!输入现有的每张DVD张数;
$ [: i3 ~% ^1 l& j& j9 x" Zenddate4 H V, I6 g- E0 m
end
) N8 W p3 B4 S& }& |2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
9 \/ S. B* w. C P( f11 T0 A/ P0 j3 M) V/ d* R* h/ w
运行软件:Matlab 6.5
m% I: s) Y5 g7 s0 m( _运行环境:windows2000$ N1 j. ^9 \. n z; s
ding=[ ];%输入订单表; C7 g' _0 o$ [1 K
b=[ ];%输入由lingo 解得的最优解
7 L3 i0 T W: |4 Xk=1;* H% u1 I, v/ ?) n( E: \
for i=1:1000% x 为分配DVD 方案表; N5 E4 w2 k) M- A
for j=1:100
, x7 k( r1 V) u5 Y' Bxx(i,j)=b(k);* M) u, |1 b$ y
k=k+1;
2 h# q, h7 ~$ r: d, M( e eend
; s# Y0 F* [; ^ K, O0 Y/ G- yend
& }. t4 s) d! j7 k+ y& t% y0 T: ~( rfor i=1:1000 %满意度
5 l+ _5 Y, a9 e) l0 Gfor j=1:100
6 e O" f6 H. P \1 `if ding(i,j)>0 %ding 表示订单表8 I) O# o+ O7 M: t8 q, M
man(i,j)=11-ding(i,j);
/ C; Q" i2 e0 u2 Q3 S! V, Tend
$ p7 t; v* o. G5 Z0 fend- d% L+ Z, K" `: n+ w: v
end
9 `" E2 {+ }6 g0 p ttt=xx.*man;
$ U% e9 |( P% u Its1=sum(tt( ) %ts1 满意度的最大值' \0 V2 L' ~9 [( i' j
tt=xx.*ding;
/ b6 Z8 H/ X4 j& b9 |tt2=sum(tt( ) %tt2 订数字和最小
& \, d9 w3 n2 a4 vfor i=1:1000, P% {* ~( X1 o- e
k=1;- x) p3 K0 h s/ o: B0 [' J
for j=1:100
7 c" s! R6 t9 Q+ F+ V! ]if xx(i,j)==1
- D b- y5 E6 R$ m9 M1 w% \d(i,k)=j;%d 表示发放表
/ I8 o" |* I8 U) g: v$ b2 {3 _k=k+1;3 o1 }# z: a+ v! t
end
- v+ w! B, Q8 |. mend, }+ ?5 H5 K8 N* i
end5 P, D% D4 R. w) ]& D. i% H
for i=1:1000
$ G5 Z- x5 Q; Gfor j=1:32 Q0 p4 H j: }- m! {* P" B# _$ O/ ?6 e
ddd(i,j)=ding(i,d(i,j));%ddd 与发放表对应的订单数字3 B' Y5 G+ Y4 F; a3 M
end
1 _. C6 t- U' R% K; ?' ^: [; y3 Qend9 s" x, u- F8 ]
k=0;%租给了会员不愿意租到碟的个数" S7 }1 }( p8 C1 {4 K# Z
for i=1:1000
- D3 W* G9 x; Ufor j=1:100
& h, L: E. }* ~1 g% N2 B7 tif (xx(i,j)==1&ding(i,j)==0)
9 x1 r( ?; t; r3 q: ~) ck=k+1;
; Y" T! d- G+ v2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
4 N8 _( D: z3 A: _' h12# O1 ~0 A3 E; [
end
7 h& S. Q( L+ j) |$ D6 pend
$ F6 z W* [, r% j6 g" y2 oend
) [; H8 R1 T0 nk
& G: L& b8 [3 `6 C2、问题三程序
2 h% [$ z5 V, l' ?# y运行软件:Matlab 6.51 Z8 i$ E2 `7 E; Y2 y
运行环境:windows2000
( u( I# ?2 Z/ f1 N2 {1 n2 Hc0=[ ]; %输入在线订单表
' \ P$ }3 r8 G0 r/ c, r; {, m: K( xn=1000;c1=zeros(n,7); %%记录j 号会员的信息,c1(j,1)-c1(j,3)表示会员借的三张碟的号码,+ C& ]% O1 D* x" ]
olddvd=ones(1,100)*n; %c1(j,4)表示借的时间,c1(j,5) 表示还的时间 c1(j,6) 表示会员的类别,1 G4 t6 D/ r& g: U# C
c1(j,7)表示借次数& r7 P/ Y7 i& Y+ v( m% e
c1(:,6)=unidrnd(10,1000,1) ; % 人数分类 60%会员只能租二次 40%会员只能租一次小于 6 为第一类$ f G; x% _ M$ N7 \
人$ s! y% h. _' P7 l/ ?4 Z
a=10;b=20;
* t% K) m' E1 m( U1 w' o* @& Tyt=olddvd;# v: L& j' C# F# g- j
for(i=1:30)%对每一天的情况进行模拟7 d! I8 H7 i, P8 i: U# L
for(j=1:n)/ v; T w' ?+ ]) _2 S
if(c1(j,4)&c1(j,5)==i)%还碟& A; P4 C/ V1 A; z+ M3 a
if(c1(j,1))olddvd(c1(j,1))=olddvd(c1(j,1))+1;end2 P) d! Q- v0 u' Z( P# D, d
if(c1(j,2))olddvd(c1(j,2))=olddvd(c1(j,2))+1;end
" [, U9 J$ R7 wif(c1(j,3))olddvd(c1(j,3))=olddvd(c1(j,3))+1;end
- |. N* }! J6 z4 i8 `c1(j,4)=0;
9 ^1 t: ]$ Z6 @0 Q3 j; ~: hend
; d( n% d: p, D. t+ u& _9 dif(c1(j,4))continue;end %以下可以租 y7 R/ F6 ^6 y
if(c1(j,6)<=6&c1(j,7)>=2)continue;end % 60%的会员租了两次不能再阻0 b N. N( ^; C5 w* G+ o% I& e% W
if(c1(j,6)>6&c1(j,7)>=1)continue;end % 40%的会员租了一次不再租
9 i! n Y+ Z8 Q9 lif(unidrnd(100)>95) continue;end %保证0.95 的概率能选到0 a* P& [0 C1 H8 Q5 e. p
c2=c0(j, ;%以下开始租4 h4 e2 y7 H( u6 D% I
ts=0;
& _2 D/ X# s8 W. W$ L$ @%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$ C1 o' b+ Y7 S6 M' K0 C/ Q/ s生成三个随机数
( V7 Z9 q l% ` q& n0 T3 Wct=0;
9 V6 n( ? a: c! n. Qfor s=1:100
( b: ^! q3 h; J2 g* K! w* n4 {5 E1 Sif(c2(s)) ct=ct+1;ts(ct)=c2(s);end
+ @$ k5 j a; A; H! E# |8 n/ Dend+ {8 a; t4 y" h
tt=length(ts);/ c* z( X5 g2 ?6 L
%tt=max(c2); %第m 行的人预选个数5 n9 a" P ~- y# e2 G5 e! ~$ q
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
" v% y( J, p. _& f; @13
( }: h' F! e" I# }9 O# z7 U2 _1 d% Y%ts=1:tt;
; m& j& Z) ?' @$ |0 U( its=11-ts;5 c |; S3 a# A4 }1 o4 {5 X; p
%生成三个不同的随机数,按照概率
# h" P- U: {: w I8 X2 ?! ?8 }1 itm=sum(ts(1:tt));0 F' T5 X. T0 l- o6 F7 K
t1=unidrnd(tm);%生成第一个随机数
7 N b& r9 U5 ht0=0; ss=1; G0 P5 z' ?6 d
while t0<t1
9 k# I' i) p* D" f4 v8 ot0=t0+ts(ss);) e$ z4 W2 O* M9 q3 K
ss=ss+1;
* g* Q/ v9 Y" Eend
4 Z# K+ g) ]- q, G, F+ jss=ss-1;
( U. J+ J1 v7 v$ N rsj(1)=ts(ss);8 T( N4 z. G7 j7 D
%生成第二个随机数
4 ?% K+ W9 F, r6 ~7 Z& s; [1 S* Zfor r=ss+1:tt%删除
" K. v$ b+ ]2 t. G3 g+ e- L) \2 n0 Hts(r-1)=ts(r);# w6 Y. ]# _9 R+ Z5 ]1 b# l
end
& `5 ]* d2 t0 {6 h) B+ mtt=tt-1;
4 m0 q0 K+ r: Y5 [# `tm=sum(ts(1:tt));) z1 G2 r5 L+ l. f$ @
t1=unidrnd(tm);, d Z$ V1 I* g. B
t0=0; ss=1;5 S$ d z5 @" H `7 w% T" D% o) P
while t0<t1
% [* @% @1 ?( }7 C* Z2 e3 P* S9 et0=t0+ts(ss);: ^% D2 H% E4 P" `- r' [1 b: X
ss=ss+1;
' k: T' P3 M8 A& i5 Zend7 o; @. }. f h$ l8 N d
ss=ss-1;
$ I3 q# G4 T9 Y1 K3 m. fsj(2)=ts(ss); I# w3 y: s. j. Q6 h
for r=ss+1:tt%删除
6 g' G1 k7 W" w6 w( I' `4 Zts(r-1)=ts(r);
1 V- a! v8 v7 t6 S3 [end
7 i+ V0 Z1 r" H% |1 A% utt=tt-1;5 ?. k9 W. S5 b1 p' h
tm=sum(ts(1:tt));- Y! c6 H& \! r: T& x+ b! V( n: r0 m5 q
t1=unidrnd(tm);%生成第二个随机数. {6 i# D6 d6 A7 V( W* [' a
t0=0; ss=1;" Y9 X1 K4 v' \+ ~
while t0<t14 F n8 m Q* Z& W9 p' P8 m
t0=t0+ts(ss);
+ |, N2 w- [ b6 M* Css=ss+1;
! n* v a& R7 \3 N* J1 u$ Kend
# b0 C6 g i: [ss=ss-1;! Y, W, p" W8 @( f
sj(3)=ts(ss);. b/ C" J6 y9 }/ z3 v
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%: F; M' A3 j! f
for s=1:3
; ]$ I; |" Q: ?# S/ D r5 ?j1(s)=find(c2==11-sj(s));! p& P" G+ ^* \8 E- {, I/ j
c1(j,s)=j1(s);
; Z6 F' w5 n7 o! v+ N4 }2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
+ [9 Y( c$ k- Z14# X# v6 \% L; g, `; _
olddvd(c1(j,s))=olddvd(c1(j,s))-1;, N; Z/ P3 S$ j i: {
c0(j,j1(s))=0;
9 u- }( N4 q4 J+ i2 z8 E, T! Fend6 E, @7 k" k; M2 S
c1(j,4)=i;8 r& o, _* n# c6 u9 o
c1(j,5)=i+round(unifrnd(a,b));
/ a1 j* D1 t1 ~7 G/ p* uc1(j,7)=c1(j,7)+1;
9 T" h4 O0 g2 p2 O( tend/ i& K, |0 R5 [& L( b
mindvd(i,:)=olddvd;
* _# a& g, } ?) iend3 o- A% o( J) g0 s+ S
mindvd1=1000-min(mindvd);
' B! s/ ^( T+ S; L& e& {sum(mindvd1) |
|