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[全国赛] 2005BDVD在线租凭

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发表于 2009-7-24 00:04:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文" {* q- }1 o; B/ J
1
: ^+ W: _9 K" d& M) q% H# cDVD 在线租赁的研究' Q+ v, F2 ?4 |5 @* Q+ R- @. S
尹作龙,姚明,金伟, ?$ K9 X5 \, u
指导教师 汪晓银- _! o0 F+ B* h1 l- D& x9 B
[摘要]:
4 e* m9 X9 w9 b/ l随着信息时代的到来,网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站/ Y) O+ y, B. w, m; f
利用其强大的资源和知名度,面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如,音
% F* n9 e, X( u9 \- B1 R# i" {) g0 u  C像制品的在线租赁就是一种可行的服务。本文主要讨论了在线DVD 租赁的问题,对网站; b% W8 b9 T0 ^' ^, I! y
如何购买DVD,如何分配DVD 进行了一些研究。对于问题一,我们首先把会员根据每月5 }2 T7 D5 B% o$ B1 o% N
租赁次数分成A、B 两类,并对两类会员归还日期作了合理的假设,根据求出DVD 归还
: Q. I7 M. W; U3 l, o的期望值。最后求得会员归还一张DVD 的时间期望为12 天。然后用DVD 的周转次数来
7 B$ [4 Q, {: i) m6 O  |7 l) r, N计算网站对某种DVD 的购买量,最后根据问题的要求,求得每种DVD 至少准备的张数如
. R* J! g7 u' w/ l! R7 B' l* d; ^- A下。9 P) |7 d* \; W  R2 i
DVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
5 x, j( T2 K. i& _' b( B一个月内至少 50%
$ P: G) B" K: D5 T9 A2 s$ f# C0 ]9 b看到的最少张数! R0 e9 N0 N5 S& Q  S  k
4000 2000 1000 500 200
9 D4 w0 K% Y% n5 }+ D  Q+ @% t8 t9 P三个月内至少 95%
& U( |  V! u6 u5 `% B/ ^+ ]3 o. ^. P看到的最少张数# L' ^/ y4 d- P4 h$ K- j
2534 1267 634 317 1271 |# }6 ]% ?# {7 j3 y+ x
问题二,我们首先对满意度进行了定义,并作出相应的假设。根据假设建立0—1
3 }: }6 F3 J$ q6 o$ D8 ^规划模型,用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。我们根据实际情况修改了偏
* s; g4 I5 C, L  x爱程度,再次用LINGO 编程求解,得出第二中分配方案。第一种分配方案的总偏爱度$ X( @: T3 _' D. d9 \4 N! t
U 为7924,有30 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员;第二种分配方案的总偏  @0 t) i, v: T1 R0 P
爱度U 为8191,有8 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员。虽然第一种分配方/ R# u" k. {9 G9 d
案的总偏爱度优于第二种,但是经证明无论怎么分配,至少有8 张DVD 会分配给没有( s* D( ^9 C, P8 x" s+ T7 _* }4 x$ z
预定这些DVD 的会员,因此我们选择第二种分配方案。
3 ^7 s. s4 u( m" b问题三,根据满意度最大,我们建立了一个规划模型,由于模型难以用计算机求解,
! ^  A2 ~8 H3 o3 ?2 D我们改用计算机仿真来模拟现实购DVD 方案,模拟生成的购买的总DVD 数为3086。* m1 f1 e! c9 p5 m% y- _) Q
问题四,在DVD 的需求预测、购买和分配中重要问题的研究中,首先研究了DVD- U! R' _$ ?8 p2 Q+ h" L
的需求预测,并建立了灰色GM(1,1)模型,灰色GM(1,1)模型能够克服相关数, Q/ `% S, q6 J
据不足的缺陷和避免人为因素的影响。这表明基于灰色理论的预测方法,适合于对DVD, Q2 z1 _8 H7 o# I, X3 N
在线租赁业务趋势进行预测。该方法是切实可行并有效的,并对DVD 在线租赁业务发展
0 a/ u0 M  Q3 v! |规划有重要参考价值。然后从网站的赢利角度出发,建立了一个以赢利函数为目标的线$ j; g* M) U6 l
性规划模型,此模型在租赁方面有着较高的参考价值。
9 @) f- j+ M  b; A+ l" E0 e( m3 E最后我们对我们所建立的模型及求解方案进行评价,推广。我们考虑到对于更大规
. ]) K7 D  w. Z4 |  R" Z- S/ D模问题,现有模型的求解就会困难。因此我们想了模型的另外一个算法:贪心算法。贪2 s3 n- U6 g2 D4 h
心算法速度快,但得到的解难以达到最优。9 A5 l8 q3 O  q
[关键词]:DVD 在线租赁 0—1 规划概率模型 计算机仿真 灰色 GM(1,1)模型
  ]% n7 _% J# n3 h( \  B2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文: }/ W. t/ T) |
29 Z  I2 ?  ^% C1 q- g( O. W
一、问题的重述" _* ?& w$ k% T/ z7 ]
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD  O# P1 O0 k, j7 z: _
租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽9 Z# w* f9 J7 w) G, C7 `
可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
# a; {$ G5 k2 m网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不% G+ B! K4 b: L- I2 {! t, b
得超过2 次,每次获得3 张DVD。会员看完3 张DVD 之后,只需要将DVD 放进网站
, k( ]- c: Y, K0 }  j提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。请考虑以下问题:
* _0 E+ C/ {- {(1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000 个会员,得到了愿意观2 W+ H4 S  G* q
看这些DVD 的人数。此外,历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD 两次,而另外的" F3 [6 i* e/ v, j
40%只租一次。假设网站现有10 万个会员,对表1 中的每种DVD 来说,应该至少准备7 J) n) Y5 r: S/ @) J
多少张,才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如
  u- e0 x. v6 A5 W- v0 I果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢?
" D" @' e) @# X+ X/ p: m, n% b(2)表2 中列出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会
5 p. G! A  M1 U  I( T员的在线订单,如何对这些DVD 进行分配,才能使会员获得最大的满意度?请具体列
! D! ~, a# ~- P$ h& p出前30 位会员(即C0001~C0030)分别获得哪些DVD。* h# Z" }0 _: b5 I8 R9 ^
(3)考虑表2,并假设表2 中DVD 的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理
& g! F3 D5 n5 x! z* ^& o人员,你如何决定每种DVD 的购买量,以及如何对这些DVD 进行分配,才能使一个
2 t5 g# c$ a3 H3 Y7 U/ `月内95%的会员得到他想看的DVD,并且满意度最大?8 |$ Y1 u, u% E: s+ i8 g
(4)如果你是网站经营管理人员,你觉得在DVD 的需求预测、购买和分配中还有, ]7 L/ i2 e8 A7 Q' p5 Y
哪些重要问题值得研究?请明确提出你的问题,并尝试建立相应的数学模型。# t/ l4 ]$ D; v
二、问题的假设! \: D1 P% p5 T6 b! X
1、假设所有的DVD 都不能拷贝4 e, A6 z+ s6 m) y
2、假设调查资料具有一定代表性1 ]3 B* c* ~: n2 g: t
3、假设所有会员自觉遵守会员规定* q" Y& r* U/ I9 v
4、假设在租赁和归还过程中DVD 的遗失或损坏忽略不计5 i6 F0 \7 n& f5 W, {' X
5、假设DVD 的种类与购DVD 费用无关, N* w/ F$ Q7 e  R& h. Y
三、符号的说明
3 E4 B* e, _! n+ I符号 符号说明- S7 M0 x+ E( u- }7 H8 }6 R
V 该网站拥有的总会员数
+ v# L3 c: X& p: l/ nDij 第 i 个会员在线定单中第j 种DVD 的需求情况5 m, v5 _4 n) F" U. F$ N5 S
DLij 第 i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度
8 b6 o8 b/ H7 {yi 第 i 张DVD 的现有量/ O* k% ~% w2 `8 Q
Mi 愿意观看第 i 种DVD 的总人数, W/ ?6 S/ b2 C1 i" U( p
Pi 愿意观看第i 种DVD 的人数占总人数的百分比
) {2 g; w) W9 K. ]2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
9 P4 m! Z  S7 Z0 d$ Q( N7 p3 ~3
4 z, q9 s' Z5 x7 D2 o) U, fR 为满足会员要求的百分比数
9 ?! Y$ M) X; r: d- ^U 会员获得 DVD 后所得到的总偏爱度,其值越小满意度越高+ N; I+ [. I" T  T! O& p: q
四、问题的分析及模型的建立及求解
, L0 G& E; o) a& W7 c7 U2 H7 M+ G4.1 问题的背景资料# P& R4 i: R% o& x2 ^- M
Netflix 目前是美国最大的DVD 出租网站,现在公司预计可在2006 年达到500 万订
) A5 ^$ `! L% M户。这家网站的经营方法是,顾客在成为网站的固定会员后,可在网站上选取自己喜欢
5 t2 [* i! _; q的DVD 影片,该公司现有DVD 种类有5 万多种,包括一些最新面世的大片,由这家/ z6 V( h3 b- Y5 ]
网站快速寄送到顾客的登记地址,每次最多3 张。顾客可以无限期地借用这些影片,但5 Z8 d- F7 |, c) t5 x& D# H
只有在寄回这些影片后才能借用新影片。顾客只需每月缴纳19.95 美元的会员费,而
4 w9 n* _" w+ M邮寄费用全部由网站支付。对顾客而言,坐在电脑前拖动几下鼠标就可得到中意的影片,+ k- @- r1 a$ y* _4 q
既省时又省力。
( g3 ?1 W  D3 @7 h' o- |据统计,超过60%的美国家庭至少拥有一台DVD 影DVD 机。去年,美国人在家
+ Y/ p7 q' k" S+ @" N" S) j看DVD 的时间平均为78 小时,比2000 年上升了53%。DVD 的销量和出租量则上升
/ D: C, g) l2 J了676.5%[5]。
- D3 ?- }" m1 @8 C3 j+ L5 B  S) `$ T; H4.2 问题一的求解- k. l. s9 Q& P. \. S  X
4.2.1 问题一模型的建立与求解
4 A3 l  G6 z& w- R4 J对问题一的分析,我们根据实际情况作了一些积极的假设,并简化了模型。从网站
, k0 J/ b8 U1 ^经营者的角度出发,出于对自身赢利的考虑,希望DVD 的周转越快越好。那么我们就0 g' @6 w7 x0 @. u
从DVD 的周转情况来考虑对DVD 数的需求量。( j7 r1 @. I  F
由题目我们把所有会员分成 A、B 两类:如表1# K6 y) m  D( o& h
表 1/ M9 v" }' a9 {- D
类型 每月租赁 DVD 次数所占会员总数的百分比 会员人数
4 u: f" S8 B  C" P1 f6 c! B4 l* ?2 MA 类两次 60% 60000
3 T, O7 R' M4 W* x5 UB 类一次 40% 40000' F% t9 S) {% c  p$ F' }, f
考虑到 DVD 的周转,我们对两类会员作以下假设:
! ^- x% Y  y* H  }6 t+ [7 b! \A 类会员归还一张DVD 的时间X1 范围为3—15 天;- E( y  d, x+ N; F- g6 n- f  c+ B
B 类会员归还一张DVD 的时间X2 范围为3—30 天;4 y$ @0 B( R9 V7 V: H( C' W
根据现实情况,我们假设X1, X2 都服从等概率分布,则:
9 F$ g" b4 D; x: D! b* ]2 |% j& j9& X4 i9 Y* L/ D9 k
25 p; G6 V' \  H. n' o
15 3
# n* N9 ~/ Q# n* Z3 A/ M1 =! f! M( u0 z$ q$ d% a
+
7 ]% j- m& `& ZEX = 16.5
! V7 e& S# o( H$ S9 M$ N$ w, K  k25 k) x, f) k% m# _
30 39 k/ n; J. s7 i' |7 @' c
2 =) }$ N  C0 A2 j5 ]& W
+& K; U/ j, c. h: u- ~
EX =, q. ~7 B1 B' Q# h1 q/ L- B% o2 l7 c
则会员归还一张 DVD 的时间期望为:μ=0.6×EX1+0.4×EX2=12 天。这就是说每张. b3 k! F1 ?6 ?8 j" G# d
DVD 在会员手中保存的时间大约在12 天,4 G1 o1 }) ?6 m' {% Y
那么:
/ c  {4 Y- T8 B2 ?8 Y2 x在一个月内 DVD 的周转次数为:N=30÷12=2.5;/ s; P. a& t; o3 W( c3 v' X4 a
在三个月内 DVD 的周转次数为:N=90÷12=7.5。(设30 天为一个月)$ _4 S9 U1 a$ H
根据题目中调查 1000 人愿意观看各种DVD 的人数,我们得到会员愿意观看各种. |9 M6 j+ F. P/ s4 l- z
DVD 的经验概率分布统计结果如下(见表2):
1 ~6 u# T% Q& Q0 n/ w表 2
; V8 y+ d3 i$ U1 s3 P5 c2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
; n, C6 T+ _( {) m3 z& x" P6 R# R" Q  D4
4 T6 \; A1 f% V! EDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5: }- q. U% N7 v$ T- o$ {7 h# T
经验概率 Pi 20% 10% 5% 2.5% 1%
# t6 ^1 u! z3 wR 为满足会员要求的百分比:一个月为50%;三个月为95%。8 O1 z/ A# Y; h: {. h/ O
因此愿意观看第 i 种DVD 的人数Mi 为:Mi=V×Pi×R=100000×Pi×R (V 为总会
; }" d* R2 _/ Y员数)。
4 ~/ N, W6 K9 N1 k* x4 P那么所需要 DVD 的最小数量为:S=M÷N。(向上取整)
! a( G! S6 C! I$ \- p3 I0 n- [; G; H我们得到 S 的函数表达式:S=V×Pi×R÷N ;+ `( \9 m" _$ S( W% N, r& `. C
求解得到每种 DVD 的准备张数(见表3):
4 W2 Q- M" B; M( F, H8 ?  q表 3
0 ~  u5 e, }% w$ L$ J0 c* v0 X% tDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5( _+ [: \# _6 d1 Z3 s. ]/ M/ V
一个月内至少 50%( @; y# q2 B/ T' X6 |
看到的最少张数
' s8 _6 Q# A/ m; w  ~9 S4000 2000 1000 500 200
9 h. t8 N$ O' I) R7 C6 E: d三个月内至少 95%+ E7 u) d+ Z# j/ s  g& C
看到的最少张数2534 1267 634 317 127: G7 h- q8 s4 u/ v
作为一个租赁网站的经营者,总是希望赢利更多,就要提高周转次数,减少周转天: Y4 [$ W8 d7 j# Q) u- n) r
数,这样他的先期投入也将减少。就可以考虑尽可能缩短租借的天数,来增加网站的赢
4 m* E; S+ F* q( `9 v4 [& I利和减少先期投入。若我们将归还时间定为3-9 天,则期望为6。一个月的DVD1 所需
8 x6 p4 u$ l. M6 Z4 N3 ^5 U1 n最少张数为2000 张(小于4000 张)。3 Y: u. L1 a( |- `0 X
4.3 问题二模型的建立与求解  `3 x, D$ i. r1 \7 g4 E
4.3.1 问题二的分析
8 z5 Z. u% w# M) y8 Q6 |$ ~7 r顾客满意度可以简要地定义为:顾客接受产品和服务的实际感受与其期望值比较的
: o! a" _3 U8 B3 k程度。首先对满意度进行了如下假设:在会员的在线订单Dij 中,数字越小表示会员的
! m& ]' O3 L. H2 G" l偏爱程度越高,如果会员得到他偏爱程度越高的DVD,则会员的满意度越大。假设会
6 j$ g6 N, c$ b) c1 R% p9 o5 @员对DVD 的偏爱度为:, n  |- F0 V, `6 {: t! v" ?5 ]5 R
ïî
4 x/ s. \6 L2 p+ c6 [9 pïí ì$ [' k" \- T) x" S" |  [
¹
' l$ ~9 y9 _2 W# c6 m7 n+ O2 \=
! @8 Y: v1 T- w  f=8 q9 C- N8 t7 u3 E. m& o1 k. r
, 0/ K6 Z) U4 f" ~9 }
11, 0# L5 N# f+ n5 v* S& Q3 e! \
ij ij% F/ M8 {3 h  p4 ]
ij
7 I( Z" D) D, F. J8 V, hij D D) t. u7 h0 x$ v# ^
D
: w- d4 b$ w- @. R( a  PDL5 v. E' S/ E$ T* `" t7 N
该问题的目的就是分配当前的订单,使得这些顾客的满意度最大,可以用0-1 规划; x$ k; t2 Q2 N+ K  t9 ^
模型来求解,定义0-1 变量Cij(i=1⋯1000,j=1⋯100), Cij 为1 时表示第i 个顾客租到了( p" Y* O! u# H& U# C
第j 种DVD,其值为0 时表示没有租到相应的DVD。
$ K3 @+ X+ s) S( @/ O4.3.2 问题二模型的建立
4 r$ h( B! c2 v6 ]+ S会员租赁 DVD 满意度的目标函数为: åå
* w/ p8 r7 Z& b0 c, x* Q= =# s% a1 x9 N2 U0 [
´/ i: u+ \1 E% D4 n, L8 l$ m
10008 _! _) W8 n* b8 R
1/ G- t7 w! S5 b/ E' r2 g+ h6 c& @
100
0 M% O+ I3 I' R) ?4 W: m1
4 l; x6 k, e* Y* q' ~min
2 W' s+ [' n. U8 Ni j, R7 u- A- |/ E8 g1 H
ij ij DL C$ t4 }2 ?, ^4 m
0- 1 规划模型的约束条件为:
4 ]7 t# _7 d! D- @2 s1、每个顾客一次能并且只能租到3 张DVD;0 g* q* E' q9 P( Z
2、租赁给会员的每种DVD 总张数不能超过现有DVD 数量。9 h  O; r, Z& `' j" \4 l* ~1 x
由上述分析得到如下的 0-1 规划模型:4 p7 C* o) F+ a! h6 B
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文3 F6 K$ }; [: [
5- c; e' |1 V+ R* X7 I, Z
ï ï ï ï; r. J- ^' n2 t# v6 D4 r
î
3 p/ j- N7 x/ r5 Eï ï ï ï. x9 E% Q" a8 F
í
8 o$ {/ N: _; ^& r# rì
, V* c. B* G/ A/ B+ z= =4 X) X, {6 \( c/ z& @
£
0 n! x3 Z' p' K% e+ ~1 J=3 T  i$ N) ?+ F, y
=
4 M% V( y/ i' t. f4 L´
* p4 M# I1 W, a4 vå
) ^2 V2 w6 K$ H% ^& Jå
/ [. w6 v+ O$ W/ Y1 u) Y6 cåå4 U) v* b. S/ s) d2 R- X
=$ U& y3 e" k/ |6 o/ `5 z* N
=7 @5 m8 b8 ~+ Z7 p
= =
0 E8 b  C& }7 s0 u( ?( 1 1000, 1 100)- N' ]% _1 `+ A% {0 b' u
3
3 t# Z/ s2 I6 W8 q( x0,1  D0 Y) S0 \( L) ]% v
. .5 I9 B7 r: T* `
min0 m( f) k' n# K( _2 d
1000
; n. j+ H/ k: h& Y" _10 K; f; R; r+ |6 Y5 z* R& f2 X3 Z$ k
100
% z9 f5 V6 c, g1
3 U+ y6 C- ~1 s2 a: y! l/ X* |1000
0 M3 g: ?' [' H$ N7 n1% L2 k4 N! p  `; f+ d
100" G3 _8 n! m5 U( a
1
% {5 L: E0 H& W" k* O8 I3 Hi L j L
/ B8 \2 p% U* y7 e/ B# tC y6 J# w  l6 Z1 H" A( n  O1 M
C5 P' T% T- g+ J5 n5 ?3 r
C9 }6 A/ u7 M6 ^7 F1 C
s t& Y6 @8 r" O: H; J
DL C
- e1 r7 D3 @, Y3 R0 v6 c, Ji
- ]4 T2 {! w! H' \7 _) rij j
& K! D$ G5 _" D3 |% ~3 a! L4 {j
4 ^% a$ g+ i4 G4 D' D! Yij3 C  x: Y- ]$ m) o& |8 ^
ij
7 q  w: A" N, q% mi j6 x. D  s- `5 e3 S0 R
ij ij7 t( G0 o5 w. ^: U$ O
4.3.3 问题二的求解
  w9 O  v% Y4 y4 b( C* `对于上述的模型,在用LINGO 编程求解(具体程序请见附件),得到分配方案为
8 H7 o! W: G. D" d1 K+ k: KCi,j 求得总偏爱度为åå$ C0 ?+ V" J6 h+ r; L7 s
= =
8 C! C: i3 }4 \4 ~5 g= ´
5 U6 ?0 }9 q; ?8 N1 g0 Y1000
, `8 x" t' `, L, }) r  G7 J. ]* U1
4 l3 x- S0 U, G# _4 o1005 j# [1 i# g+ Y+ g3 A7 L7 P7 L6 D3 m% z
i j 1
0 q/ q8 p4 [- m9 h4 j$ \ij ij U D C 为7924。由Ci,j得到分配了30 张DVD给没有要求( m  e) L- z& S2 h
预订这些DVD 的会员。前30 个会员租到DVD 的情况如下表4:
$ o- F7 x/ a" D! y表 4
% P2 u7 s$ r' r0 V. x: t  w/ Y% v% }6 ~会员号 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010
5 m! y+ q0 o3 D# g. L% U; V" ~1 8(1) 6(1) 32(4) 7(1) 11(3) 19(1) 26(3) 31(4) 53(1) 41(6): k9 [+ x( L/ l" v# @, B( t
2 41(7) 44(2) 50(2) 18(2) 66(1) 53(2) 66(6) 35(5) 78(3) 55(2)
+ V, c" F# n, a0 ^* v分配6 w) w# j0 s4 f: {2 N  u6 ~: J
DVD 的
6 o) D& _! ^% T. ~5 C, H% s种类号3 98(3) 62(4) 80(1) 41(3) 68(2) 66(4) 81(1) 71(1) 100(2) 85(3)
- \, `6 l/ j* q% s$ o7 ?8 W4 P% r会员号 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020
5 Y2 ?; T1 ], v# m1 59(1) 2(2) 21(3) 23(2) 13(1) 10(4) 47(2) 41(1) 66(4) 45(1)" {( _+ k" Q4 l8 l2 I
2 63(2) 31(1) 78(2) 52(1) 52(4) 84(1) 51(3) 60(2) 84(1) 61(3)
& ?& Y" V5 Y, ?6 s2 Y* G8 C1 G分配
. N! v/ n- i9 [/ I$ p5 w7 oDVD 的6 ^# l7 d! N3 c6 T" ?6 c( E; L
种类号3 66(4) 41(7) 96(1) 89(6) 85(3) 97(2) 67(1) 78(3) 86(2) 89(2)
% F2 E4 x  ~3 l- j& O会员号 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030
; z* p& `0 S# k( b1 C7 O1 45(2) 38(3) 29(2) 37(4) 9(1) 22(1) 50(4) 8(1) 26(4) 37(2), O7 R% L# X8 n  R# G$ S
2 50(5) 55(2) 81(3) 41(2) 69(2) 68(2) 58(1) 34(2) 30(2) 62(1)  W6 q5 X7 `7 v: B, l* U
分配
' N" E9 {2 U4 b) ODVD 的
: _# \& K) c, S种类号3 53(1) 57(1) 95(1) 76(1) 94(3) 95(3) 78(7) 82(3) 55(1) 98(5)7 c- j% k+ x' e  Q1 ?+ `
注:括号内的值为会员对该DVD 喜好程度。
3 Z7 l3 T5 R8 x& r$ u为使会员得到自己没有预定的 DVD 总数最少,可以将DLij 中为11 的数增大变为
% H5 C: {; ]* B1000,即将此偏爱程度降低,再如上求解得到一种新的分配方案Ci,j,求得总偏爱度U. F3 b: N# T; ?4 F3 j
为8191(>7924),但是经分析,只分配了8 张DVD 给没有要求预订这些DVD 的会员。
1 V) V3 O8 R: _* i事实上这里的8 张DVD 已经最小,具体原因是,现有DVD 总数为3007 张,每个人得
( h( ]8 H5 J1 y到3 张DVD,1000 个人就得到3000 张DVD,则还有7 张未出租。根据所给的数据,! J. Q& }/ I' z
第37 种DVD 现有106 张,只有91 个会员愿意租此DVD,即第37 张DVD 按照会员的
$ i- y$ t& a; `0 F  j" u3 a: Z需求无论怎么发放,也会有106-91=15 张剩余,而总共应该只有7 张DVD 未出租,这
/ _. \0 |/ Q5 T( H4 K样就无法满足所有的会员租到自己想看的DVD,而且一定至少有15-7=8 张DVD 发给
+ b  b" M1 X+ u) q了没有订这8 张DVD 的会员。* A9 h. m5 ^( f; d$ @1 M& L$ o
比较上面两种分配方案,我们选择第二种分配方案。第二种方案下,前30 会员的
6 s, T4 \  T" [  A' N% p) O# K; B租赁情况是只有第25 个会员的第3 张DVD 与第一种分配方案不同,其值为81(4)  D: n, @% i8 U; e0 x9 t
4.4 问题三模型的建立与求解! B3 g! _. _' }. Q7 b2 i
0,1 变量5 r. x& Q1 e% d5 p2 W6 s/ j3 i2 A
每位会员租 3 张DVD5 h' A" L- B5 U0 Z
DVD 现有数量的限制
3 D* e" S) R. E8 U! M6 s2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
6 d; }" {- k4 w: D2 Y6! R/ V2 x, `: O+ Q. t3 F
4.4.1 问题三的分析及模型的建立) S. r# I6 I# b6 ?, E# {2 M& R# W  y
分析该问题的目标是保证一个月内 95%的会员得到他想看的DVD 的情况下,使得
# L9 c2 p) l& {( N会员的满意程度达到最大。/ T( U& ?& _" s) @7 f" F5 G
假设分配给第 i 个会员3 张DVD,且这3 张DVD 都属于该会员预定的DVD 那么) \6 v& p9 D) i) f8 r5 Y
记pi 为 1,否则记pi 为 0。
5 r9 `6 l' Q! Lú úû- r% g' W. \' ~3 f0 w
ù! M$ K4 v# ~% n5 j1 r) I7 P: \
ê êë
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. w7 \' J- Q, ?5 V8 i÷ ÷ø
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=
+ X# x$ ^7 {9 S/ Y) R9 g; u  R3 L4 K3& B! \5 L  T: m1 k6 O" R4 L
100
$ X7 n9 K2 T9 D' s9 Bj 1
  J: x3 d. o8 qi ij p C (注: []为向下取整)
8 Q2 h8 d) K% F+ x要使一个月内 95%的会员看到他预订的DVD,则得到0.95 1000$ F+ i) g( `: g
1000( {" a* c0 E; d1 T) _* Z
1' Z6 K. l, L, f4 V* B
´ = å
- `6 l2 h( V& z/ }= i
2 T0 f; m6 b1 F. c* ?6 Npi
# s- _% F5 D; \根据问题二以及这里分可以建立以下模型:8 |: ^5 ^5 Y% {2 F% u$ Q/ A: G
ï ï ï ï ï ï' E5 r8 f* m4 H( i" f5 t6 a( t* G
î
' ?% z7 e" a+ _7 @4 [" [ïï ï ï ï ï" t% |" H: _* A+ D- h$ |2 `6 R
í
( {# q" n5 Z0 ]' E" x, P, N" jì
5 }% E9 H. I& z1 T' I= =& N6 Y6 O. S: ]" \
=
9 o7 w  P9 V# H# Hú úû% L! _* K  [; b8 _& E
ù
3 u' D* ~$ y' A- u+ h( e/ vê êë
# R1 |" Q$ l% G: u/ r* xé
6 S  c  x0 g- v/ Z÷ ÷7 e0 E1 g6 \3 B7 N
ø" P7 r+ j  |* b1 f8 h/ }5 z
ö# }5 d  ]  B. V  ^# ^, H. a
ç ç# X) T; z; p' V5 t: q; c
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æ  e8 A+ t/ [( c) }  y  s
£) i& L8 x& O7 e5 f3 Y" A: @0 j
=2 P2 J* |  R/ J* H
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* v4 u# O7 P7 a9 t3 {2 N. d=5 U; G" q+ e' W2 H1 s- ]
=: k' Z0 z$ G' R: E$ @0 n" ~( M
= =
9 W/ t6 e+ m3 {3 ]6 k4 y2 G( 1 1000 , 1 100 )
8 h5 E( H9 _0 r+ P& X' y3 0.95 *10008 ~7 N/ G5 N  [) E7 Y; W
3
$ Y. N! p3 @* S7 M% D0,1$ l0 B( |8 o! d3 k" k' ~" z
.
3 l& V. C! ^# g/ D; I& Bmin
  \' X" ?: g, ~; o, i8 i1000( U0 Q# Q+ A  a. ]) O: ?
1
7 R$ r& K( v; ~! ~* I/ x' q" _1004 c1 q" d/ K: y9 i7 M1 s
1
( P) W; f' f* q1 S& q; _0 O8 ~; ^0 T1000
  f% O) Y  w9 ?1 w" u. }: s1  [5 ?5 W0 n" U2 D/ n3 w0 t$ }
1002 J9 c4 R% V) C: F# }5 v0 W3 M
1
2 H  n" w3 `% J7 a% f( y  H0 @10009 M- d3 y+ N3 L! N4 i+ ~
1
* A$ L2 N5 u: g5 p# _: B2 s100
  z- s7 {4 x1 r1
* w+ z( [3 |- k1 `0 W2 b0 i3 |i L j L
2 B5 \' L/ I5 E- LC
; u8 T/ n4 T. E, p( z  t5 wC y
' V6 w# p8 b/ E6 g4 [C" k5 }! }: }5 m2 Y; d, k
C
+ m; _$ }* `# t- _9 z9 |s t
+ y5 ~7 e* J9 L! T* [/ {D C- I  U* U; N# \5 u  q
i j1 |+ Z5 X) g. j6 _- \
ij, Z+ G# S- h3 g' r( T$ g' L
i* R8 ?5 K7 ]6 i( a& w) W
ij j; t( V8 Y( Y/ C# I/ D; H
j# w. W5 D6 l" o
ij0 a. A0 V, v8 w# n! ?7 J, {
ij
$ L% j; C5 a9 W- e) Zi j
  N) {0 e+ o1 H% A0 wij ij5 f9 ?( C# F3 x5 d+ |
4.4.2 问题三的求解6 Z0 [9 ]; ^7 j  T% _
上述模型难以用计算机实现,这里我们用计算机仿真来解决该问题。仿真前先进行
) I, g% x; q( M/ t& ?如下假设:
6 r* n$ }2 |# N9 Xa,假设40%的会员一个月只租DVD 一次, 60%的会员一个月租DVD 两次,会员' ]9 X# r3 N2 g- M$ t
还DVD 天数在3~30 天内并服从等概率分布。
3 X2 L, J& K9 ~# xb,假设每位顾客都有95%的概率租到自己想看的DVD,若一位顾客按偏爱度订n
- K+ O& G. V6 j3 u: i* M& u(n<10)种自己想看的DVD,设该顾客租到偏爱度为k(k<n)的DVD 的概率为
& b% I4 ?8 w: `" ?&aring;=
- F( W  Y8 u1 x# Q* n-
9 {* }2 _! ?, Y, F% G) W& ~2 s5 V-/ k9 [1 z. L. M6 m" F
=) A% G9 Y8 I, q1 }, r4 p3 _
n  l' J# k4 F8 X" ~, }3 w
i i
% V9 O$ ]6 c1 m& Bk. t. r. a' I& l
p k1 l$ N4 |9 \3 d- G
1 11
) a. g6 e( p: W" v: k' G7 r11
8 @7 E; z5 O/ h* v5 c' z& ]% H( ) ,3 y; b" i* t# x( ]: S
c,假设已经租到DVD 的会员只有归还DVD 后才能再租,
2 X7 v: V4 j! P. T在此假设基础上进行模拟一个月内 DVD 的供求,得到这一个月中每种DVD 的需
. W4 }1 L/ x8 R0 R7 T0 ?  n求的最大量。仿真流程图见图1,程序见附录。
+ X5 c1 n4 E, k用 MATLAB编程[1] [2],经过多次模拟,得到每种DVD 的购买总量在3085 左右,
% l# h3 G4 g2 f; R" p& c& Q其中一次结果得到各种DVD 购买量依次为(见表5):
# L& s/ y$ I2 p3 M表 5; b: r9 z( b5 w6 f. r- r
D001—D010 28 33 29 26 24 30 31 35 28 27' C% D3 ~5 ?( C' N
D011—D020 25 24 35 39 23 34 37 29 27 35) v3 w+ ]6 M# [, L
D021—D030 33 31 42 28 32 32 27 23 35 35
, z+ Z; M) }/ g# ZD031—D040 35 29 22 28 38 32 30 33 30 29
! e7 v) g2 [# S7 ^: H0,1 变量0 ~  s; }9 {. x$ D+ p$ S5 m$ G& E
每位会员租 3 张DVD  g5 h9 o4 M; ?; f+ _3 |
DVD 数量的限制1 X) S; L4 U( |! s
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文; ^& X3 z9 @& W* _! w
71 |: N8 b  U+ p
D041—D050 34 39 23 25 38 32 35 35 27 30
5 v/ |- }$ f" _) X# @8 n. qD051—D060 31 31 38 21 30 32 35 31 36 384 n0 O+ E. l* K- T7 \. y" O
D061—D070 25 33 23 33 34 43 34 40 42 36! s$ P; J& r- b- V: U
D071—D080 35 36 30 30 33 29 21 31 23 33
( d( U9 a4 F6 ~& m5 S% ZD081—D090 34 20 21 26 33 20 31 20 38 32- ?  _/ t7 w$ ]+ u+ z# A  [. o$ B
D091—D100 43 25 30 31 29 26 29 30 26 34
( I  [% [, z* n% k+ J7 x总和 3086
( r/ \2 l6 ~, H3 QY! v7 \2 v+ A  c9 }4 a7 N' i9 a! j5 g
N
8 t$ A2 G# E$ M7 T) MY1 D% X" h/ r( Z: M0 R
N/ c) U% R+ [% `3 ?
N* i  ~1 w( O) n+ K
Y
+ Z4 Z4 d  i3 A. S( ]7 S# x: mY6 i. L! y* s* s& U# o! f1 z, u
Y' A$ `" Z# V+ a" }
i<30?& }4 P2 u, h7 }: z- \" a
i=i+1 第i 天# _4 c7 V! v3 N, S; N! v  ^
j=j+1,
) E; r8 b. ]1 [2 r/ i9 J; c9 Y' l第 j 个会员4 C2 J; ?/ w- T  q' m
j<n?
9 H( a$ v6 @0 n& T. N会 员 j 是否还
+ i8 s" g: Q& p3 F租到DVDd1,d2,d3,
# E$ B5 h( n' @& I$ e  u4 xD(d1,d2,d3)减14 `5 a" {0 f% L, i. E
计算 30 天中Di
1 o) @' x7 s: ^& B/ j) c& ^的减少最大
; I2 Z! t! f5 m) f结束
/ j8 [" _; T3 iN
% k8 C0 [4 T  ?/ @. h; Y5 N0 M将 1000 个人分类i=0,$ h$ {3 J* a) t  B. R; ?2 g; I
D(1..100)=1000,
0 |( L0 O& k) G+ a1 J  tj=0,n=1000
+ P1 ]4 O: `% m6 _* G还回 DVDd1,d2,d3,
9 x- z' w  @( @, T9 Y  I% hD(d1,d2,d3)加1
0 N! Z; _- d" ~4 J$ Z+ K+ |( w会 员 j 是否租4 s/ @7 {" [4 g. o
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文6 q# k8 z9 w+ e1 X6 B0 ~0 D+ ~
88 P2 m5 g! k, u; U
图 1; h7 H1 s  U( C6 R5 e$ R; I
4.5 问题四的分析
6 a* W/ X8 {) S; }, i我们分析了 DVD 租赁的实际情况,发现以下问题:
$ F6 {5 N1 y& U% [0 f# \4.5.1 已知连续前N 个月的DVD 需求情况,如何预测出第N+1 个月的DVD 需求7 a: _% V' E! \. `
情况?8 d0 }9 U2 `  D, t2 i# ]
假设前 5 个月的DVD 总数的需求情况为x1,x2,x3,x4,x51 r$ d2 Q3 Y" c! l  o8 j
对与上述问题,我们建立灰色GM(1,1)模型求解[3]。
4 I6 T5 s4 d3 H( W& z以第一个月为起始点,即在该点t=1,于是有原始数据序列:
3 U% q; R: O0 O* `X(0)={ X(0)(t) t=1,2, &#8943;5}/ ~9 i+ p. O9 g5 ]
={ X(0)(1), X(0)(2), &#8943; X(0)(5)}
' o# V! h3 z9 ~={x1,x2,x3,x4,x5}
3 @" y: T6 c' F0 w' b: |# ~首先按 GM(1,1)建模方法,对已知原始数据序列X(0)进行一阶累加生成) M, g# g7 p' q
(即1—AG0):
. l8 \$ U$ D8 p0 @9 R&aring;=+ S8 [" Q" C) B7 U" c$ `3 ^
=
( W9 h. g) e4 k0 H" [. tt
; S* ^' S  f, U  |  Fm
/ o4 d" G0 e6 ]+ t3 r: }9 IX t X m
0 _& L% d. J/ L% R2 }1/ s7 f: G- ^: |: t0 N% L1 C
(1) ( ) (0 ) ( ). b/ z/ k% `5 z# o  w
。得到生成数列X(1),如下:+ V2 K' J0 l+ O" q6 y; V" \
X(0) ={ X(1)(t) t=1,2, &#8943;5}5 U4 _# j# G; c3 \$ K9 o+ K# c9 [1 S
={ X(1)(1), X(1)(2), &#8943; X(0)(5)}3 t1 i, h2 b  a
={ x1, x1+ x2,x1+ x2+ x3,x1+ x2+ x3+ x4,x1+ x2+ x3+ x4+x5}( _, L! E& z8 v; s
构造数据矩阵 B 及数据向量YN" t: I) e) p9 C0 h! Z8 {3 F
ú ú ú ú ú0 K9 M) z5 F$ w0 C. V3 k5 C' \
&ucirc;- J9 g& W5 U  _3 S
ù
0 [7 e' u: S* ^7 Uê ê ê ê ê- D$ O! U0 A5 q" \8 f, {
&euml;
. f; o. M6 v" \  C5 cé
1 U4 B; P+ E9 B0 `- - +
. E3 P# P4 C. @' _- +! [' f$ s0 A& A
- +' [/ \) w  D4 f5 ]! Q) {* |
=; B, g, Y7 m$ s
1/ 2( ( 1) ( )) 1& ?9 I- K0 x4 x1 {
1/ 2( (2) (3)) 1' o: j& b; ?; m4 u. f& F) k
1/ 2( (1) (2)) 1/ q3 s3 m0 u+ r- P& S7 ]5 \! K. ~
(1) (1)" i5 Q! t' d4 a1 b' X+ I
(1) (1)
' y" }9 r/ f; y, `(1) (1)' {" y5 h% M, s4 K; V
X n X n
. C2 X' y7 n8 o7 c% m: d8 O$ |X X/ h. @: F7 v& T# k1 f! g
X X  S5 R" y. l; r4 Y
B
" ?; N+ ]8 G+ C. U8 ^' C' FM M
* c' z/ d, Q* X- T* nYN=[ X(0)(2), X(0)(3), &#8943; X(0)( n)]T
! R; M; Q3 N4 k% A* a& z求模型参数a :, L: U' c6 @! B- s% ]; g2 |
N
$ x# _3 ]$ t  z0 O+ u. |$ [8 U* ^: `a) = (a,b)T = (BT B) -1BTY  V, {8 Y% o% u1 s
建立模型:根据参数a 建立模型。模型的时间响应方程为:4 o' M5 C0 Y0 E6 ~  o4 E
a
; G5 g& d* [$ E% ?6 Ab
$ a* N  D1 C; v2 Ue
2 z7 v" d+ K: ?; X7 w  Ya4 V$ N8 ?" Q7 [, J
b& m0 w7 N4 r5 A6 X
X (1) (t +1) = (X (0) (1) - ) -at + )5 Y+ j1 f) b8 `- f. Y$ e
模型的改进:3 k; A" y, Z- z; N# @, q3 X
为了提高模型精度,又对参数进行估计,以进一步改进模型。将以上时间响应方程
- V" J, ]. p# N% W; [" r写成:7 c0 Z' U# D3 E6 F
X (1) (t +1) = Ae at + B0 y( _* ~1 V& J
根据第一次估计的a 值及原始1—AGO 数列X(0)( k)对A 和B 进行估计。构造数据; L6 e, ^- ^* U5 u
矩阵G 及数据向量X(1):
4 T; F1 m2 `- s9 o8 ?' G. A, ?2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
' e1 C9 G8 m$ C& p7 E& l4 G: a" ?9
4 Z/ f5 y# e2 y* [ú ú ú ú ú
6 y7 Q. O9 F2 z+ O&ucirc;2 e" x6 t# T& H' y) A! z3 D
ù+ Q( G# ~) X, @
ê ê ê ê ê
' C2 r: N$ e  G  }1 W& z&euml;/ {. N3 n- E7 Q( h% d3 h
é
3 C+ P: ]: j! T; S0 s=
/ B) |/ e5 ]/ r! M/ l- -
4 J8 V( X: T8 F* R-6 n; C: F& E' c9 q5 l
17 s2 J, e* E! \3 B+ P5 m
15 g# v) k1 @" }
1
+ Y7 V8 d. R; F! M8 |. I( 1)
. y# M7 t% w. O0
8 Y2 P% u  l0 \% P; Q1 Oe n
: _% k, P, {3 k% ?( f' ve
" C% z1 S- \! P! M% K2 `2 y  y, @e
( M3 \' X8 d) G3 a: GG) D% B* H" v$ \0 c3 Z: ?
a
: P! t4 R$ f. i' ]! t2 Qa
5 T% d7 g" _+ k- G: c2 S- PM M- f6 }4 I7 Q* O0 }; B6 {' p
Y(1)=[ X(1)(1), X(1)(2), &#8943; X(1)( n)]T9 b* E/ e% k! A! t7 e3 H, m# T
求出参数 A 和B
: j/ l; e- |5 N8 M3 N(G G) 1G X (1)2 f' p0 z# t% C) O8 Q6 \8 @
B
( v- L0 c: h+ I) LA = T - T ÷ ÷
; p) O: `" d) O" v9 N$ G- j# \&oslash;9 _: [$ O3 W, m" Q: L
&ouml;! E2 S/ ]: W' V) U
&ccedil; &ccedil;è
& j8 X1 h% O: s0 S$ r9 L5 T&aelig;
1 m9 W; ^4 j" e求出时间相应方程: X (1) (t +1) = Ae at + B) h6 L. h; y8 s. @5 b
则需求总量的预测模型为: X (0) (t 1) X (1) (t 1) X (1) (t) ) ) ) + = + -8 e6 y5 L6 e, N$ h; |0 U6 f
4.5.2 网站月盈利与网站DVD 购买,会员会费的关系
! Z" e1 P. q0 c. ]/ I2 f3 e网站盈利与网站会员数、会费、会员的满意度和DVD 总量存在一定联系,如何购
2 N; W& h( s/ U$ f6 l( O买DVD,如何确定会费使得网站盈利最大1 y9 s& `  V) t9 P" R- f
假设网站会员人数 W 与网站会费e,会员对网站的满意程度m 有关,设:
: g2 N3 O" S. o& ?. [! N9 xW = f (e,m);: T2 t% E, J, x' A8 I
假设会员对网站的满意程度 m 与网站拥有DVD 总数量s,网站拥有DVD 种数n
- q9 a& U% \8 y% C: K  O  Q有关,设:% w% P6 r8 g' P, }7 U
m = g(s, n)+ ?4 n& k* `1 @# h& U* K
假设拥有第 i 种DVD 的数量为ai,第i 中DVD 购买价格为bi' q6 K- a6 p! f; R
假设网站的每月的盈利 F 只于购买DVD 的费用与会员的会费有关) u* ~5 P: z0 b  T/ a
根据以上假设建立如下规划模型:. p: [1 L: j% _3 ^+ d2 O; l
&iuml; &iuml; &iuml;
4 _3 s  g. ?* Y3 c: W4 p&icirc;; }9 A8 ?8 z8 M3 a. x9 j+ |8 [
&iuml; &iuml; &iuml;
9 }$ }4 s3 y0 W& r4 pí# O. `/ t  \: I; `' I
ì
. C1 }. {, d- V/ n; Y  F/ b=! `" K# U8 z1 U
=- @8 ]3 V0 R- f
=
# L& ?0 g, _0 |0 J7 l= &acute; - &acute;
) C2 p& g+ T" Z" W&aring;
' J% ~# ]+ Y3 x% d2 R&aring;
, K6 g, H% ^6 M* e; z=
& V; h' m3 i' @=
. C8 p0 {6 Y1 w7 cn
3 i8 F; l. o2 @% k3 Yi
( ?7 ?( N) ?6 Y. ]+ Fi
; J* v4 s  O3 V9 w8 V3 Z2 |n* g& T* {2 {% {. I4 C
i
' s5 A  A6 I8 z" g( O* J! u) j" @i i
9 r2 X9 h, x1 F1 p1 ^s a
+ M) Z( {8 L) b- }m g s n' Q& d; W3 [" m) |  z6 V& ]
W f e m+ m/ Q9 s- r9 h/ c2 G/ x
s t- ]& |% K6 D* M5 F/ f% Q8 d
F W e a b8 J! Q9 _# K8 }% N' w  f
1" j/ G4 X3 H0 s% }/ Y7 k7 b
1
7 h0 X8 `( g- k3 I1 L8 q) @( , )+ Z% Z9 `! G$ X. ?- i
( , )
& P" l* A4 J' s4 ~; Y! B4 A. s4 e8 J% A. ., {2 G# V, F( E/ P
max, S1 _8 e# T4 Y$ m5 l
六、模型的评价及推广# S# f- p* w% t7 a* m7 P* ^
在问题一中,我们的根据实际的情况,突破传统以会员为参考切题巧妙地转为以经* l9 p# N6 d* S5 Y' _6 s
营者的身份用周转情况来考虑问题本身,使解题思路突现,运算简单,而且模型非常明
' O8 A) T& u2 Q5 ]2 f. ?了,十分容易理解。问题二中,我们证明了在题设条件下每位会员不可能都租到自己想看2 o7 S* V+ t" B4 X, n5 z
的3 张DVD,至少有8 张DVD 租给了不愿意租到该DVD 的会员,同时用 0-1 规划模
2 L' [! P  ]' T$ U0 L: \" Z2 c( e型求得了在只有有8 张DVD 租给了不愿意租到该DVD 的会员情况下最优的分配方案。
0 Q  l) ]  g  ]8 U0 u' T9 }2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文8 d% g9 Q2 d9 E" q5 {: s
10
+ U% _( C& ?5 ~- j6 x: [0 ]此模型中有10 万个0-1 变量,规模已经相当大,但是运算只有20 多秒,在10 万个变
3 z7 t$ _0 p! c量以内规模的问题都可以求解。对于更大规模问题,模型的求解就会困难。因此我们想: z3 \9 R* p8 `1 `$ w4 ~* a
了另外的一个算法:贪心算法[4]。贪心算法是在让计算机按照当前的要求逐一进行分配。
5 w" m! R: U( }4 ?* Q) ~: Y在满足一定约束条件下,每次搜索偏爱度最小,然后按此进行分配的原则,得出较优解。6 G" G5 R( P5 L6 e& x5 E
对于问题三,我们建立了一个规划模型,满足题目要求并且容易理解,但模型求解较为; O' u$ T: Y5 ^; M/ [- G2 z
困难,然后用计算机仿真的方法模拟一个月内会员租DVD情况,得到网站应该购买DVD
1 \4 r$ s! R" _- a! D的数量。次方法比较贴近现实,但是每次模拟的结果都会有一定的差别,而且所得到的4 H9 F6 h# ~7 i
结果难以求得最优解。6 R/ P2 W7 [4 I
本文建立的模型,不仅能够解决本文的问题。在超市物品的需求预测,货物的购买8 u) E% P) r  Q
和各个连锁网点的货物分配,都能运用本文的模型进行解决,本文的模型,能很好符合
, q* f9 U/ {* A( ^6 f实际情况,但在精确性上还有待改进。( B3 y' s5 C. ?
[参考文献]:
2 S" M0 |6 y% z& H3 A[1] 张平 等,MATLAB 基础与应用,北京:北京航空航天大学出版社,2001 年
2 |' d( ]5 r' m2 n[2] 苏金明,张莲花等,MATLAB 工具箱应用,北京:电子工业出版社,2004 年  U4 G: N& [4 t
[3] 蔡家明,灰色系统模型在汽车市场需求预测中的应用,上海工程技术大学学报,4 J2 ]. o; V: g
第17卷第1期:72至74页,2003年3月
/ A# `. Y2 \1 K5 ^( l1 b[4] 余祥宣,崔国华等,计算机算法基础,湖北:华中科技大学出版社,2004年
. ^2 L0 [1 Z0 {3 l: ~[5] http://www.netflix.com,2005 年9 月17 日
7 l5 ^  b) o7 |) A' f[附录]:$ G- p0 L$ `( e8 f
1、问题二程序:
/ B  z, A0 y8 {2 r# w3 G运行软件:Lingo 8.0
& T- e1 B$ B' K* f* x/ N1 _1 [运行环境:windows2000
5 a! U3 m* {/ u6 X8 W# q) T3 _, h. ]运行时间:24 秒; p$ {0 m  b$ [
model:
: K; s0 n& W+ ^/ b. N/ e; }sets:
; K% Y7 X( c) lcd/1..100/:dvd;
) u- d& b1 x4 F! {2 gren/1..1000/:people;
$ h4 z2 i9 n" q: Elink(ren,cd):c,b;
6 X0 f5 }8 ?; [2 eendsets
( I. n4 Z: d" k( F1 n% D$ I( ?[email=min=@sum(link:c*b]min=@sum(link:c*b[/email]);, n2 B: I+ n- i5 ]
!dvd总数的约束;
# b3 D5 ~- U9 S% r3 z# q@for(cd(J)sum(ren(I):b(I,J))<dvd(J));* ?  ^( R8 [6 X9 s7 @; G7 Y
!需求约束;
1 Q0 D+ h5 C* Z0 _) |2 m0 s@for(ren(I)sum(cd(J):b(I,J))=3);
+ ^  K$ s; p$ D) n9 d: G7 q@for(linkbin(b));3 L1 |' g7 T  ?5 @0 v( q3 o* ^( u
data:
1 O0 S' r8 I5 n$ bc= ;!输入偏爱度;
' n2 p2 T8 U3 K2 j/ H! \2 Xdvd= ;!输入现有的每张DVD张数;
# F  T$ Y+ X' K5 }+ ?: penddate1 f1 u6 T6 X& @# d% ^& E- k! o6 o
end
! k1 c  P( r: j3 D2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文$ ^/ P5 r4 @5 e/ G3 z
11. {( J" H- F1 N: t. p6 K
运行软件:Matlab 6.5! K) X5 k! ?! i5 v/ I6 ~, v4 f' n6 o
运行环境:windows2000
9 J: L/ E" p2 p( x' ]ding=[ ];%输入订单表3 J. ^' p5 Z  c; u
b=[ ];%输入由lingo 解得的最优解5 b! N- [5 D2 T
k=1;
! {5 ^7 W( ^& Kfor i=1:1000% x 为分配DVD 方案表: [. C& I7 ?3 O! S" d! b
for j=1:1002 r( ?6 E+ h# p, j! o& S
xx(i,j)=b(k);( y9 e- w/ Y4 b* ^4 s. s/ g. k
k=k+1;& w2 \, R4 M# _1 A
end
- u, ]6 G3 W+ Vend* ?5 n' K* k8 G1 o: L$ A2 c
for i=1:1000 %满意度& N7 E+ d  e4 S% R9 W' _) l2 V
for j=1:100! c2 V  c: H$ T$ S9 x4 n5 y
if ding(i,j)>0 %ding 表示订单表( C9 K' d7 ~4 g' ^( p- h$ [/ V2 K
man(i,j)=11-ding(i,j);
; I: [% \. e  P# Y. w( t. S- k- zend) O6 s+ _- L- i* s1 a
end! W2 R& l0 `; N# K
end
4 ]& I* @, k  g/ w6 P9 d% Ptt=xx.*man;
  F( Z+ N! G/ z2 V. N1 bts1=sum(tt() %ts1 满意度的最大值
9 A5 m1 p6 T, V* ttt=xx.*ding;' e6 F: d* h+ X7 L3 @
tt2=sum(tt() %tt2 订数字和最小
% k$ ]# v2 S/ Zfor i=1:1000
4 z2 z; j$ a. K, j: G0 @& xk=1;
  V  k# a, |. Xfor j=1:100
; ^3 ]7 ^" V1 ?& f5 q& Qif xx(i,j)==19 P* x, J5 Q7 U
d(i,k)=j;%d 表示发放表% d" q' y; @. u$ z7 z
k=k+1;( N% {, F* W. ?/ @# T
end
- e# ~: v+ B! J3 ?7 S5 }0 aend0 a) F  o% V1 J" c" r1 w, T, N
end! i& {5 ]* P' A1 |6 _- _! _* M
for i=1:10009 g6 [+ n& i4 T
for j=1:3
, z. p. s9 ?2 G( U+ Xddd(i,j)=ding(i,d(i,j));%ddd 与发放表对应的订单数字
+ ^2 \* u4 F6 C8 a7 T: fend; F5 o8 R7 j) G1 [
end0 q4 ^/ i6 s1 {
k=0;%租给了会员不愿意租到碟的个数
: ]$ R+ h! U' X& _# A( p+ W. nfor i=1:1000
* n5 `+ Q% F+ B$ f% L$ Tfor j=1:100
# A8 u- i3 r7 B) v8 Y: dif (xx(i,j)==1&ding(i,j)==0)
: I3 J2 I9 Q8 h4 `" a: U, qk=k+1;
$ G( V% ?7 o. @2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文6 E4 z7 H8 z7 ?% Z% k3 y1 b
12
. u2 W& S3 y" s5 _1 fend
0 k( r6 }+ O7 m9 l5 Hend& a: q  J3 A/ [2 E) i
end1 j* i) ?2 }7 Y" [! W
k
8 g; O/ `" L/ T  N% O" A" e$ ]) f2、问题三程序7 C6 O1 C( ?# o0 ^0 P6 F/ \
运行软件:Matlab 6.5- e# t% Y. G, K% A" W
运行环境:windows20002 S+ W, ]. r& a4 t' X/ Z
c0=[ ]; %输入在线订单表* G+ z# w. L1 H2 i% N9 d% a  s1 N
n=1000;c1=zeros(n,7); %%记录j 号会员的信息,c1(j,1)-c1(j,3)表示会员借的三张碟的号码,
: q0 S+ X  ?6 t8 J4 ?: `olddvd=ones(1,100)*n; %c1(j,4)表示借的时间,c1(j,5) 表示还的时间 c1(j,6) 表示会员的类别,
% \+ P. s# d0 t( ]$ J8 P. R1 dc1(j,7)表示借次数
& [% Q% G5 ]" v$ k/ p* f' o; yc1(:,6)=unidrnd(10,1000,1) ; % 人数分类 60%会员只能租二次 40%会员只能租一次小于 6 为第一类
% u$ w5 d% m; W0 K" e/ W+ E& T" w* _$ p4 r& M' a% t
a=10;b=20;
7 H5 Y' b& Y$ Dyt=olddvd;  c8 |" Q  x% H8 Q7 l
for(i=1:30)%对每一天的情况进行模拟. c- A  @+ `8 {9 A4 w8 S; |: Z
for(j=1:n)
( k2 v! v$ w6 yif(c1(j,4)&c1(j,5)==i)%还碟! c1 y- V7 p, r% t
if(c1(j,1))olddvd(c1(j,1))=olddvd(c1(j,1))+1;end, ~' c+ }; A) B3 d
if(c1(j,2))olddvd(c1(j,2))=olddvd(c1(j,2))+1;end
1 @3 f  N1 n( h. V( d. wif(c1(j,3))olddvd(c1(j,3))=olddvd(c1(j,3))+1;end; y7 Z' u6 r  a; Q1 L
c1(j,4)=0;. P# y; \/ o# [) d% k# H, L  Q* B+ n
end
; N. P9 J$ w' Aif(c1(j,4))continue;end %以下可以租
+ [  p' S* ], j$ P8 c: yif(c1(j,6)<=6&c1(j,7)>=2)continue;end % 60%的会员租了两次不能再阻6 W4 O6 }( q4 r& u& ?' A
if(c1(j,6)>6&c1(j,7)>=1)continue;end % 40%的会员租了一次不再租; z- q( ~, i# \% l! t$ f' F
if(unidrnd(100)>95) continue;end %保证0.95 的概率能选到# ~0 r4 O2 Y9 Z% w/ i
c2=c0(j,;%以下开始租
) Y  Q$ \$ D+ s2 L5 r' T( E! ?  Its=0;
7 t5 Z. x0 }, c9 q: Q( c%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%0 l  y& e* [  g  H" \
生成三个随机数
1 v  q# z. e1 B  a" e: Q) Nct=0;0 |5 S! ?' J( e1 B) @" m
for s=1:100
9 B: R& r: v* Y3 nif(c2(s)) ct=ct+1;ts(ct)=c2(s);end$ N1 F" J4 x7 I" p9 V& ^  w/ o$ z$ @8 _5 p
end" S2 n6 n- I2 i, W* ~) p
tt=length(ts);
1 P6 z2 i; O- T# b4 q  Z%tt=max(c2); %第m 行的人预选个数+ Q! y2 w9 A6 c* U: N
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文. s5 \% s( R; k
13- p4 i6 l3 L+ b
%ts=1:tt;
6 ^' Z  |% {$ q$ D& c4 A8 qts=11-ts;
3 g- ~4 d# g" n& _/ I%生成三个不同的随机数,按照概率2 D" k( l5 W" D" o9 W
tm=sum(ts(1:tt));3 R+ l: b. E: ^% N. ]
t1=unidrnd(tm);%生成第一个随机数
  ~% X* Q$ L7 O- B  dt0=0; ss=1;' z6 B$ k% r' Q, A8 f' x6 b3 h+ f
while t0<t1
! c( l$ `( x  u( {- At0=t0+ts(ss);) R/ n3 M! i! F5 C; |
ss=ss+1;
, E0 \+ Y4 ^( g# r& q2 Q5 N- R2 s# bend2 S5 T' g! n+ F' Z
ss=ss-1;
( W! |/ f  a1 Q- F! i( I  I  }' Isj(1)=ts(ss);
8 n6 F1 T" L4 j& [) b: g. N8 z%生成第二个随机数# n1 A+ L. B& _$ R" x
for r=ss+1:tt%删除# R" M( E, J! D. T
ts(r-1)=ts(r);
8 L* z" x+ F' m( Lend
) k/ w$ \5 @4 ttt=tt-1;: c" \4 [9 R. w! _: }0 W
tm=sum(ts(1:tt));
+ j2 S/ w  w  tt1=unidrnd(tm);
! \/ r* X, U& H' yt0=0; ss=1;! R- \/ C2 H% d
while t0<t1
+ t7 g' L! D6 Bt0=t0+ts(ss);) E1 C5 u, b- l5 y& j1 _/ M' @4 l) G
ss=ss+1;# s/ j& E* G2 s& s, E9 T$ h* @
end
) z3 g( M( |3 `9 iss=ss-1;
7 `# B7 v9 }- _' wsj(2)=ts(ss);
8 z! \) |. }: I8 v4 r. K. w' ffor r=ss+1:tt%删除6 r  C& R$ {5 Q8 ^
ts(r-1)=ts(r);) ^" n. N/ z" s9 h$ L
end4 ]2 v% _+ d0 l3 n9 t9 |
tt=tt-1;
# @# E+ Z5 y( [0 Z/ w/ rtm=sum(ts(1:tt));. R9 T7 }- X0 }3 R$ Y, ?
t1=unidrnd(tm);%生成第二个随机数" e: U7 R0 A) ?- ]! w2 \$ n4 k
t0=0; ss=1;. v# ]% v- K% J) y; I: N
while t0<t1; f1 e$ t6 p+ S# n
t0=t0+ts(ss);. P$ k* Z; K3 W; }) y5 D$ t
ss=ss+1;: {7 O* z( l0 c' P6 c" N  o/ d
end8 f7 r2 \. g& m- _, ^
ss=ss-1;( g2 h' V0 X  h7 e, F& i
sj(3)=ts(ss);5 J7 h- w7 S# c* v; z
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
8 b; J9 M! A( H7 A* g: g0 z$ H" Yfor s=1:3; \6 {/ k% A2 {+ p6 q2 l
j1(s)=find(c2==11-sj(s));
1 C+ h( x& O6 a4 hc1(j,s)=j1(s);0 m- n$ y% s6 I: L& N& s- E4 S
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
2 i  k: p8 Q6 F: l* i9 j) d( q14% U2 X6 u% Q; ^8 _2 G/ M1 {1 |
olddvd(c1(j,s))=olddvd(c1(j,s))-1;. u: k5 l7 K+ B! ~# x0 C8 r1 Z
c0(j,j1(s))=0;
0 X; e8 y+ q2 J3 D6 o$ I! Wend
! g& v1 X4 ~/ t) H  Z! n8 s3 U2 fc1(j,4)=i;
5 \) ~4 y9 _/ F, A5 Jc1(j,5)=i+round(unifrnd(a,b));
7 z2 a' ?& ~& s4 b4 [9 ic1(j,7)=c1(j,7)+1;1 a2 z: X8 u8 U) ?
end
9 D  ^* f1 i, z, A; B. z3 t, xmindvd(i,:)=olddvd;3 d* \  V0 O9 z; S+ A
end
2 C/ Y/ B- f  b0 L, s' Bmindvd1=1000-min(mindvd);
) _/ e7 B8 o9 g; w" B/ |/ Osum(mindvd1)
发表于 2009-9-7 22:48:19 | 显示全部楼层
发表于 2009-9-13 08:22:30 | 显示全部楼层
还可以 不错
发表于 2010-8-19 20:37:11 | 显示全部楼层
表情符...............
发表于 2010-8-20 23:07:17 | 显示全部楼层

8 z' y: N, p; o- O- D先顶个
发表于 2010-11-1 16:52:33 | 显示全部楼层
那些软件是不是很难学啊?
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