[原创]06研数模B题的讨论

xn-tju · 发表于 2006-9-26 18:02:04

B题第二大题的1）和2）两小问，我们组的结论是1）无解，2）有无穷多组解这个生态系统是一个典型的守恒振荡系统，将其作为高精度参数估计问题的研究对象真是很有意思，我们组在1）2）两题上浪费了很多时间，但仍然不敢肯定是否正确。欢迎专家老师和同学们来一起探讨。

麦克格雷迪 · 发表于 2006-9-27 05:14:44

1题有解

qcwf · 发表于 2006-9-27 05:53:26

1：我来说两句，本人正好对卫星定轨比较熟悉。实际上该题有很强的应用背景，我估计出题的老师肯定是定轨方面的专家，这道题出的非常完美，不能靠数模的思路去解。实际上模型已经建好了，因此对该题而言，过多的分析捕食模型的性质是不妥的（例如稳定性，有解无解），而是反过来由数据怎么反演参数。在卫星定轨领域，速度非常快，而初始点和摄动参数又不清楚，又要分析卫星长期的运动状态，因此参数的估计非常重要，通常情圹下对卫星的初始状态也要估计。由于模型是非线性的，因此本质上是参数的非线性最优化问题！

qcwf · 发表于 2006-9-27 06:06:00

2：参数的非线性最优化，需要判别标准，常用的标准是误差平方和最小。因此要设定准则函数，考虑到有观测误差，因此问题归结为惨差平方和最小意义下的最优估计，如果模型为线性方程，则最优估计即是最小二乘估计，无偏且方差最小！问题就在于模型非线性，且是隐函数。因此必须采用非线性估计方法。常用的方法是Gauss－Newton系列方法，（目前该领域的处理方法），只要算法收敛，其效果接近于最优估计，该方法本质上是非线性模型线性化，再利用线性最小二乘估计，反复迭代，收敛到最优解。在非线性意义上是最优估计，精度非常高。

xn-tju · 发表于 2006-9-27 06:10:01

<div class="quote">以下是引用麦克格雷迪在2006-9-26 21:14:44的发言： 1题有解</div>比赛已经结束，不如把你的解拿出来共享一下吧。光说有解不能说服我。对于1）2）两题明确地说明了数据无误差，我们组认为用优化理论可以用于帮助求解，但最后解进行正演后的精度决不能太差，并从理论上应该可以达到任意精度，否则不符合题意。另外，应该说明的是，无误差这个条件着实太强，这在实际问题中是不可能的，但既然作为条件提出，就必须充分考虑。关于更为实用的高精度参数估计方法问题体现在后两小题上，1）2）两题还是集中在考察对模型本身性质的把握。欢迎不同意见。

qcwf · 发表于 2006-9-27 06:19:41

3：再来说一下本题思路。本题结果的好坏：看残差平方和有多大！对于问题1，将原方程变为相轨表达式，解线性方程组即可，任意4组数据即可（注意题目的时间给的有点问题，但相轨是正确的）。对于问题2，基于相轨表达式的线性方程组的矩阵是奇异的，解有多组，可用最小特征根求解（0特征根），求的是比例关系（相轨定了，速度不定），比例系数由题目中的时间信息给定。理论上最少要3组数据，不损失信息，可以采用遗传算法搜索，但不一搜索到最优解，且代价太大。肯定能解至少要5组数据对于问题3，因为是实际观测数据，要考虑粗大误差÷系统误差÷和随机误差。本题无粗大误差，实际上系统误差也没有，最优估计理论都是针对随机误差而言的。可以把系统误差设定成参数一起估计，如果接进于0说明无系统误差。然后采用非线性最小二乘法进行估计，由于需要一个初始迭代值，可采用前面的最小特征值分解得到一个初值（初值接近于最优解）

qcwf · 发表于 2006-9-27 06:26:13

4：对于问题4，背景非常明显，各观测站的时钟不同步。直接拟合时间是完全错误的，你把它当成是等间隔观察的，实际上不然。只能把时间带来的误差转换到观测误差中去一起估计(误差传递的思想)。另外，本题中所有把数据平滑，把数据差分的思路都是错误的，在对参数精度要求不高的情况下可以这样作。但卫星是高速航天器，必须要高精度。所以只能从模型出发，因为模型是最准确的。

xn-tju · 发表于 2006-9-27 17:59:56

<div class="quote">以下是引用qcwf在2006-9-26 22:26:13的发言： 4：对于问题4，背景非常明显，各观测站的时钟不同步。直接拟合时间是完全错误的，你把它当成是等间隔观察的，实际上不然。只能把时间带来的误差转换到观测误差中去一起估计(误差传递的思想)。另外，本题中所有把数据平滑，把数据差分的思路都是错误的，在对参数精度要求不高的情况下可以这样作。但卫星是高速航天器，必须要高精度。所以只能从模型出发，因为模型是最准确的。</div>你的观点很好，受教了。我们都不是研究卫星、航天器的专业背景，所以对待问题的出发点还是数学模型。第一题无解，原因是：符合积分曲线条件方程是解的一个必要条件，1）小问在已知a2的情况下利用这一必要非充分条件可以求解出一组唯一解，但正演结果不符合所给观测数据，同时题目指出数据本身无误差，因此1）无解。2）小问a2未知，由积分曲线条件可知确定出一组解集，但是无论再增加多少完全无误差的数据，都不可能唯一确定出一组解，因为方程本身轨迹是周期的，存在成倍周期的现象，即找出一组满足要求的解以后，总可以在参数满足某倍数（>1）关系时找到另外的解，因此2）可以确定无穷解集，却无法唯一确定出一组参数。反观1）小问，a2＝0.2，恰恰不属于2）中求解出来的解集，也验证了1）无解的正确性。我们的观点是，对于1）2）两问，正是在数据无误差的假设条件下，所以求解的结果一定从理论上可达任意精度。各类非线性或线性优化策略，和提出精度判别标准都是有效的辅助手段，2）解集的获得我们组也借助了优化策略。3)4)两问涉及的问题应该相对1）2）来说是开放性的，谁最终误差小，谁获得解就更好。这样一个非线性系统的参数估计问题可供选择的方法是很多的。我们组是都是学自控的，因此选择的是EKF.、UKF即系统滤波方法。EKF和UKF有专门参数估计模型，特别是后者在处理非线性问题上更胜一筹。关于4）时间变量的问题，可以通过将 t 视为系统观测输出，扩展EKF或UKF的现有的参数估计模型来解决。欢迎继续探讨。

qcwf · 发表于 2006-9-27 20:29:18

KF我觉的用来预测和平滑倒是很好，因为模型准确，效果理当不错，但问题是反演参数，不知道你们是怎样处理的

xn-tju · 发表于 2006-9-27 20:44:33

KF有标准的参数估计模型：a(k+1)＝a(k)+r(k)y(k)=G[x(k),a(k)]+e(k)a(k)是要估计的模型参数，作为系统变量进行估计。另假设r(k)和e(k)满足KF条件。G[x(k),a(k)]是非线性映射，在这道题里可以是一个一般的积分方程。这样就可以进行参数估计了。请教你们组3）和4）的方法。

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