请教建模高手帮解答下

danding123 · 发表于 2005-12-31 02:33:23

<

>假设某校进行田径比赛，设共有七名选手参加比赛，所报项目如下表所示。现要求
<

>(1)设计一个比赛日程安排表，在尽可能短的时间内完成比赛。
<

>(2)为了不影响选手在每个项目上的发挥，应尽量将各个项目前后作一个合适的安排。设计一个各项目前后影响程度的度量标准，然后重新进行安排。
 
<DIV align=center>
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=463 border=0>

<TR >
<TD width=116>
姓名</TD>
<TD width=93>
项目1</TD>
<TD width=139>
项目2</TD>
<TD width=116>
项目3</TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
赵宁</TD>
<TD width=93>
跳高</TD>
<TD width=139>
跳远</TD>
<TD width=116>
铅球</TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
钱虎</TD>
<TD width=93>
跳远</TD>
<TD width=139>
<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="100" UnitName="米">100米</st1:chmetcnv></TD>
<TD width=116>
 </TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
孙正</TD>
<TD width=93>
跳高</TD>
<TD width=139>
<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="200" UnitName="米">200米</st1:chmetcnv></TD>
<TD width=116>
 </TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
李江</TD>
<TD width=93>
<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="200" UnitName="米">200米</st1:chmetcnv></TD>
<TD width=139>
标枪</TD>
<TD width=116>
铅球</TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
杨众</TD>
<TD width=93>
跳远</TD>
<TD width=139>
铅球</TD>
<TD width=116>
跳高</TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
刘平</TD>
<TD width=93>
铅球</TD>
<TD width=139>
跳高</TD>
<TD width=116>
<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="200" UnitName="米">200米</st1:chmetcnv></TD></TR>
<TR >
<TD width=116>
王跃</TD>
<TD width=93>
标枪</TD>
<TD width=139>
跳远</TD>
<TD width=116>
<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="100" UnitName="米">100米</st1:chmetcnv></TD></TR></TABLE></DIV>
实验四
 
某厂用甲、乙两种原料添加填充剂制成一种新型材料，经实验知道，新型材料的强度y主要取决于单位体积内原料甲的含量x1(千克) 和原料乙的含量x2(千克)，并得到以下数据：
 
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 border=0>

<TR >
<TD vAlign=top width=32>
y</TD>
<TD vAlign=top width=52>
105</TD>
<TD vAlign=top width=52>
150</TD>
<TD vAlign=top width=52>
128</TD>
<TD vAlign=top width=52>
125</TD>
<TD vAlign=top width=52>
131</TD>
<TD vAlign=top width=52>
129</TD>
<TD vAlign=top width=52>
146</TD>
<TD vAlign=top width=52>
129</TD>
<TD vAlign=top width=52>
161</TD>
<TD vAlign=top width=52>
138</TD></TR>
<TR >
<TD vAlign=top width=32>
x1</TD>
<TD vAlign=top width=52>
13.2</TD>
<TD vAlign=top width=52>
21.9</TD>
<TD vAlign=top width=52>
20.0</TD>
<TD vAlign=top width=52>
14.1</TD>
<TD vAlign=top width=52>
18.4</TD>
<TD vAlign=top width=52>
20.7</TD>
<TD vAlign=top width=52>
16.0</TD>
<TD vAlign=top width=52>
18.5</TD>
<TD vAlign=top width=52>
20.8</TD>
<TD vAlign=top width=52>
15.0</TD></TR>
<TR >
<TD vAlign=top width=32>
x2</TD>
<TD vAlign=top width=52>
15.0</TD>
<TD vAlign=top width=52>
20.9</TD>
<TD vAlign=top width=52>
13.7</TD>
<TD vAlign=top width=52>
19.3</TD>
<TD vAlign=top width=52>
17.8</TD>
<TD vAlign=top width=52>
14.1</TD>
<TD vAlign=top width=52>
24.0</TD>
<TD vAlign=top width=52>
18.2</TD>
<TD vAlign=top width=52>
25.0</TD>
<TD vAlign=top width=52>
25.0</TD></TR></TABLE>
 
在投入正式生产时得知，每千克原料甲含有毒物质5克，每千克原料乙含有毒物质1克，而单位体积新型材料中规定有毒物质不得超过100克；每千克原料甲售价300元，每千克原料乙售价400元，而生产单位体积新型材料用于购买甲、乙两种原料的成本预算限额为12,000元；由于技术原因，单位体积新型材料中原料乙的含量不得超过25千克。（精确到4位小数）
（1）确定新型材料的强度y与单位体积内原料甲的含量x1和原料乙的含量x2之间的关系，并求甲、乙两种原料的含量x1，x2，在满足上述条件下使新型材料的强度y最大。
（2）如果购买甲、乙两种原料的成本预算限额增加100元，问可使新型材料的强度提高百分之几。
（3）讨论实验数据的随机误差对（1）的结果会有什么影响。
实验五
 
 （1）小张夫妇以按揭方式贷款买了一套价值20万的房子，首付了5万元，没有还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？
（2）某人与贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。从利率方面看，那家银行较优惠（简单的假设年利率=月利率*12）？

数模雄鹰 · 发表于 2006-1-1 09:58:36

<

0cm 0cm 0pt 18.75pt; WORD-BREAK: break-all; TEXT-INDENT: -18.75pt; LINE-HEIGHT: 12pt; TEXT-ALIGN: left; mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-pagination: widow-orphan; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 18.75pt" align=left>第二题:
<

0cm 0cm 0pt 18.75pt; WORD-BREAK: break-all; TEXT-INDENT: -18.75pt; LINE-HEIGHT: 12pt; TEXT-ALIGN: left; mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-pagination: widow-orphan; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 18.75pt" align=left>(1) 对y与x1和x2的函数关系采用线性回归模型，得到结果为：
<

0cm 0cm 0pt 18.75pt; WORD-BREAK: break-all; TEXT-INDENT: -18.75pt; LINE-HEIGHT: 12pt; TEXT-ALIGN: left; mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-pagination: widow-orphan; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 18.75pt" align=left> 
 y=21.6289+3.2175*x1+2.8553*x2
 
复相关系数为R2=0.967，
 
统计量F=101.254,Prob(F>101.254)=0.00000006817689<0.01,故回归方程显著。
 
所有系数也都通过检验，回归均方误差根RMSE=3.2121
 
目标模型为：
maxY=21.6289+3.2175*x1+2.8553*x2
约束为：
5*x1+x2<=100
300*x1+400*x2<=12000
x2<=25
最优解为y=125.0107
其中x1=16.47059 ,x2=17.64706
<P 0cm 0cm 0pt 18.75pt; WORD-BREAK: break-all; TEXT-INDENT: -18.75pt; LINE-HEIGHT: 12pt; TEXT-ALIGN: left; mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-pagination: widow-orphan; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 18.75pt" align=left>(2) 成本预算限额增加100元，模型为:
maxY=21.6289+3.2175*x1+2.8553*x2
约束为：
5*x1+x2<=100
300*x1+400*x2<=12100
x2<=25
最优解为y= 125.6612
其中x1=16.41176,x2=17.94118 
强度提高(125.6612-125.0107)/125.0107=0.52%

数模雄鹰 · 发表于 2006-1-1 20:14:20

<

0cm 0pt?>第三题
<

0cm 0pt?>解：(1) 设月利率为r，由于按月还款，因此复利按月计算。
<

TEXT-INDENT: 0cm 0pt; 36.75pt; mso-char-indent-count: 3.5?>设ai为第i月剩余要还的款，可得到模型为：
a0=15 

ai=ai-1(1+r)-0.1 


问题变为求r，使a180=0 


求得利率为r=0.0020815 


(2) 


(2.1)第一家银行按月还，则复利按月计算，设月利率为r。
设ai为第i月剩余要还的款，可得到模型为：
a0=50 


ai=ai-1(1+r)-0.45 


问题变为求r，使a180=0 


求得利率为r=0.0058508 


(2.2)第二家银行按年还，则复利按年计算，设年利率为R。
设bi为第i年剩余要还的款，可得到模型为：
b0=50 


bi=bi-1(1+R)-4.5 


问题变为求R，使b20=0 


求得利率为R=0.063948777折算为月利率为r=R/12=0.0053290647，利率比第一家银行略低。

[此贴子已经被作者于2006-1-5 13:04:27编辑过]

数模雄鹰 · 发表于 2006-1-1 23:49:19

<

align=left mso-pagination: left; TEXT-ALIGN: 12pt; LINE-HEIGHT: break-all; WORD-BREAK: 0cm widow-orphan? 0pt;>第一题:
<

align=left mso-pagination: left; TEXT-ALIGN: 12pt; LINE-HEIGHT: break-all; WORD-BREAK: 0cm widow-orphan? 0pt;>解：(1) 设跳高为项目1, 跳远为项目2, 铅球为项目3, 100米为项目4, 200米为项目5, 标枪为项目6。 
<

>
 则各选手报名情况可用下面矩阵重新表示：参赛用1表示，不参赛用0表示。 


 项目 1 2 3 4 5 6 


 选手 


 1 1 1 1 0 0 0 


 2 0 1 0 1 0 0 


 3 1 0 0 0 1 0 


 4 0 0 1 0 1 1 


 5 1 1 1 0 0 0 


 6 1 0 1 0 1 0 


 7 0 1 0 1 0 1 





 若没有人同时参加项目i和j，则把两项目看作连通，则可构成以下的图: 


 6------------1 


 | 


 | 


 5------------4-----------3 


 | 


 | 


 2 


 显然排列结果为(1,6)---(2,5)-----(3,4) 


 即先举行项目1和6，再举行项目2和5，最后举行项目3和4。 


在三个时间段就可以把项目举行完。 


(2)项目排序尽量使选手连续参加比赛场次数最少 


 由(1)中图可知，采用比赛次序为6--1--4---5---2---3 


 在这种排序下，只有杨众连续参加两场比赛(项目2和项目3)。 


或2----5---4----1----6----3 


 在这种排序下，只有李江连续参加两场比赛(项目6和项目3)。



 两个问题可仿此思路建立一般模型求解。

[此贴子已经被作者于2006-1-1 15:51:46编辑过]

数模雄鹰 · 发表于 2006-1-5 10:41:06

<

0cm 0pt?>第三题的另一种考虑方法:
<

0cm 0pt?>
<

0cm 0pt?>按折现算，(1)设月利率为r，将每月换款1000元都折算为贷款时的钱。则所有的钱折算后总和为15万。由此有：
 

 15=0.1/(1+r)+0.1/(1+r)^2+….+0.1/(1+r)^180


即 15=0.1*[1-1/(1+r)^180]/r


则： 150*r*(1+r)^180=(1+r)^180-1


求得r=0.0020811662674





(2)


(2.1)第一家银行按月还，设月利率为r。则：
50=0.45/(1+r)+0.45/(1+r)^2+….+0.45/(1+r)^180


即 50=0.45*[1-1/(1+r)^180]/r


则： 1000/9*r*(1+r)^180=(1+r)^180-1


求得r=0.00585079860687





(2.2)第二家银行按年还，设年利率为R。则：
50=4.5/(1+R)+4.5/(1+R)^2+….+4.5/(1+R)^20


即 50=4.5*[1-1/(1+R)^20]/R


则： 100/9*R*(1+R)^20=(1+R)^20-1


求得R=0.0639487773180


折算为月利率为r=R/12=0.0053290647765，利率比第一家银行略低。


 值得注意的是,两种方法考虑的方法不一样,模型也不同,但最后计算结果却很接近.

[此贴子已经被作者于2006-1-5 13:05:18编辑过]

数模雄鹰 · 发表于 2006-1-5 21:14:00

<

>对第三题,对方法一仔细推导了,可以证明两种方法会得到相同结果.
<

>这只要对方法一中的数列得到通项就行了.
<

>如将第一问重做如下:
设月利率为r，由于按月还款，因此复利按月计算。
设ai为第i月剩余要还的款，可得到模型为：
a0=15
ai=ai-1(1+r)-0.1
问题变为求r，使a180=0
求上面递推数列，得：
a(n)=0.1+15*r*(1+r)^n-0.1*(1+r)^n
使a(180)=0，即求r使：
 1+150*r*(1+r)^180-(1+r)^180=0
 求得利率为r=0.0020811662674

 这与第二种方法要求解的方程完全一样.自然结果一样了.
第二问可类似得到.

185584 · 发表于 2006-1-6 02:59:30

数模雄鹰大大你的邮箱是真的吗，我是danding123,我给你发了封信你看收到了吗?我的邮箱是danding123@163.com

adashi · 发表于 2006-1-13 01:18:43

你好厉害啊

flyhigh000 · 发表于 2006-4-19 19:37:30

<

>高手

flyhigh000 · 发表于 2006-4-19 19:39:04

<

>我遇到一个难题,希望高手帮忙.

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