[求助]数学建模难题,非常有挑战性.

michael242 · 发表于 2005-12-13 19:32:01

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>大家好,这是两道数学建模的难题.很有挑战性,大家都说说自己的思路吧
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>互相交流一下.有做出来的,给我发E-mail:michael0357@163.com
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> 下面是这两道题目
案例一：教学组织 近年来，我国高等教育的规模迅速扩大，这对于普及高等教育，提高人民整体素质，加速培养人才等方面的确起到了积极的作用。然而事物总是一分为二的，各高校的教学质量普遍下降也是不争之事实，尤其是普通院校，扩招后各专业，各班级学生的知识基础，接受能力参差不齐，使教师无所适从。更具体一点，扩招后的大学高等数学教育，已使数学教师头疼不已。按照以前的教学计划和教学要求实施教学，期末考试下来肯定是一半以上不及格；如果减少内容，降低要求，又会影响部分同学报考研究生；增加课时更是不行，因为学生早就抱怨不堪重负了（事实的确如此）。为此，各学校都在研究探讨，寻找新形势下高等数学教育的好办法。 我校今年计划在全校范围内对高等数学课采用分级教学（早在几年前，外语课已经先行），现正处于征求意见阶段。根据各专业门类教学计划、学生自身的要求和当前的就业特点，初步计划将高等数学课根据内容和要求划分为三类：第一类是理工类（约占28%），对高等数学要求较高，考研时要考高等数学一，这类学生数学基础较好，学数学的兴趣也大；第二类为财经类（约占45%），专业上对数学也有较高要求，考研时要考数学四，和理工类比起来，内容和侧重点都有不同，这类学生数学基础和学习兴趣一般；第三类为法学、外语、艺术、体育等（约占27%），这类学生（绝大部分是文科）数学基础和学习兴趣都很差，有些甚至是由于数学的原因才报考这些专业，从专业的角度考虑，他们只需要掌握一些数学的基本知识和思维方法就行，考研时也不考高等数学。 鉴于各类学生对数学课的不同要求，现要将去年招收的2000名学生的高等数学课分为三种内容不同要求不同的教学方式。当然，我校现有的硬件和软件条件都需考虑。，要承担这2000名学生的高等数学教学任务，在进行分级教学时要考虑如下的一些因素： 1．我校高等数学教研室共有10名数学教师，要承担全部2000名学生的高等数学教学任务，且短期内人员不会有变动； 2．根据教学设备容量，大教室最多能容纳160名学生，同时为了合理使用教学资源，小教室至少为40人。 3．根据以往的教学经验，40人的小班高等数学及格率（合格率）约为90%，合班上课时（大班），由于课外作业、答疑和教学效果等原因，在40人的基础上每增加20人，及格率将下降约两个百分点。 4．考虑到教师的身体原因，每位教师上40人的小班课每周最多可以上四个班；而40~80人的中班课每周最多可以上三个；超过80人的班，则每周最多上两个。 5．每位教师由于种种原因，只愿上同一级别的课。 6．由于学生的原因，要求较低的一类学生也可以上较高要求一类的课，但幅度不超过10%。 7．每一级别至少开一个小班。 考虑下列问题： 在不考虑分类的情况下，试建立分班教学的数学模型，使所有学生的及格率最高。 在分类情况下，重新建立分班教学的数学模型，使所有学生的及格率最高。 案例使用说明 此案例给学生留有较大的想象空间，比如，每位教师的教学效果、偏好，出题、监考评卷情况，各类学生的学习状况，以及教育部的随机评估要求等等，学生都可以自己做出分析。整个内容可根据个人对问题的理解，建立线性、非线性或整数规划模型，也可以考虑用图论方法去解决。
案例二：商品展销 在中国加入WTO三年多来，中国经济迅速地融入了世界经济的大潮中，越来越多的商业企业，不断吸收和总结国外成功的营销经验，使我国商业企业的营销策略、营销技巧等迈上了一个新的台阶，营造舒适的购物环境、推出商品的全方位展示，使顾客对商品的性能、质量有了更多的透明度，开阔了人们的视野，提升了购买欲望，提高了人们的生活质量，在商家和顾客间实现了双赢。 我是有一家红宝商厦，专门销售居家客厅家具，商品包括各类高档沙发、茶几、电视柜、电视墙、电话台、装饰灯具，带钟表的墙上挂历、艺术屏风等。为了让顾客对各式家具有一个整体的体验，增加购买欲望，商厦专门设计了商品实际展示间，即在一个约35平米的模拟客厅里陈列着客厅中必要的各种家具。顾客可以亲历其中，来感受样品客厅，体验各式家具的配置和整体效果，来决定自己的客厅需要的家具以及配置方式，从中构思自己未来客厅的模样。商家也可以倾听顾客的建议和意见，来制定自己的订货计划和营销计划，因此在有限空间的样本客厅中，尽可能展出能满足大多数顾客需要的家具组合，是摆在商厦经理面前的关键问题。 现商厦经销六种不同品牌、不同价格的高档沙发，四种茶几，四种电视柜，两种电视墙，两种电话台，五种装饰灯具，三种挂历和两种艺术屏风。但是由于展厅的空间所限，只能展出其中的一部分，当然，能展出的部分就有更多的机会可以销售出去，于是，展出什么品牌、什么价位的家具才能更好的满足顾客的需要，同时使商家获得更好的信誉和更大的利益呢？ 通过市场调查和家具展销会中取得的调查材料，商厦知道以下十五种家具组合可以代表大多数（75%以上）的顾客需求。当然这些组合中，最多的要求是全套8件商品，最少的也包括五件商品（其中不包括电视墙、电话台和屏风）。 现根据展厅的空间、设计，可放置两种沙发，两种电视柜，两种装饰灯具，两种挂历，在四种茶几中，有两种和电话台外形相似，可酌情放其中的四件，另外，可根据需要，放置一种电视墙和两个艺术屏风或者两种电视墙和一种屏风。 现在的问题是： 1．为了能在有限空间的展厅中展出最多数量的各种款式的家具，设计一种展销方案以满足更多顾客的全部希望，当然某套家具卖走之后可以立即得到补充，此时顾客的满意度多高。 2．若有两间这样的展厅，会将顾客的满意度提高多少。 3．若厂商以追求最大利润为目的，情况又会怎样？ 十五种家具组合及产品的单位利润见下表：
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 单位利润 A1
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 400元 A2 *

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350 A3

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350 A4

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* 330 A5

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300 A6
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200 B1
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110 B2
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100 B3 *

* * * 90 B4

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 85 C1 *
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150 C2
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 140 C3

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 140 C4
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* * 135 D1
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300 D2

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350 E1

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75 E2
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70 F1 *

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 300 F2
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 350 F3

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 350 F4

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280 F5
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 * 270 G1
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300 G2 * *

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 * * * 280 G3

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 270 I1 *

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200 I2
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*
* *

 180

 注：表中带“*”表示这种家具组合中包含有这种家具。如第六套家具中，包括第三种沙发，第四种茶几，第一种电视柜，第二种电话台，第五种装饰灯具，第二种挂历和第一种屏风。 案例使用说明 此案例在教学中多次使用过，虽然建模难度较大，但通过讨论和讲授，学生们感受很深，对0-1规划及线性规划能解决这样具体的问题感到震惊，提高了学生们进一步学习本门课程的热情。 
 注：表中带“*”表示这种家具组合中包含有这种家具。如第六套家具中，包括第三种沙发，第四种茶几，第一种电视柜，第二种电话台，第五种装饰灯具，第二种挂历和第一种屏风。 案例使用说明 此案例在教学中多次使用过，虽然建模难度较大，但通过讨论和讲授，学生们感受很深，对0-1规划及线性规划能解决这样具体的问题感到震惊，提高了学生们进一步学习本门课程的热情。

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