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§1.5 “乘”的语义分析
“乘”是一个关键的算术谓词:“乘”是由“加”定义的，“除”又是“乘”的逆运算，进一步还可推出“乘方”与“开方”。可见，“乘”在算术谓词中处于核心地位。让我们仔细分析“乘”这一谓词的含义，看看它的应用范围，以此来体会一个谓词的使用界限。
“乘”最基本的含义就是“连加”，比如 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ´ 4 ，“乘”是“连加”的缩写。“倍数”是“连加”语义的自然推广， 从“倍数”语义可以直接得出乘法交换律：a ´ b = b ´ a ，即4个3与3个4是相等的。
再看著名的“乘法原理”：如果作一件事有ｎ个步骤，第一个步骤有ｍ１种方法，第二步有ｍ２种方法¼，作第ｎ步有ｍｎ种方法，则完成这件事共有：ｍ１´ｍ２´¼´ｍｎ种方法。
举一个直观的例子：从Ａ市到Ｂ市有5 条路，从Ｂ市到Ｃ市有4条路，从Ｃ市到Ｄ市有 3 条路，问从Ａ到Ｄ有多少种走法？根据上面的乘法原理，应当有：5 ´ 4 ´ 3 = 60 种走法。
因此“乘”有“组配”的含义，组配同倍数在计数上一致，但在语义上相差就远一些了。特别当以字母表示而不进行实际计算时，组配具有“相碰”、“相遇”的含义。 如： (a + b) ´ (c + d) = ac + ad + bc + bd，这是乘法分配律，规定了组配的方法，如果用上面道路的例子表达会更直观,如图1.5–1 所示，即总共有四项：ac,ad,bc,bd 种走法。
a B c
A C
b d
图1.5–1 乘法组配的道路模型
面积是“乘积”的另一个含义。矩形面积：长 ´ 宽 ＝ 面积，量纲变化了，这样“乘”就不再仅仅意味着“连加”，因为 “倍数”的意义是不会改变量纲单位的。比如４个３ 的长度仍旧还是一个长度单位。从另一个角度来看，因为面积的计算满足乘法交换律和乘法分配律，所以面积可以采用“乘”来表达。长´ 宽 ＝ 宽´ 长，是同一个面积S，所以有S = a ´ b = b ´ a，交换律成立。再看分配律：S = c ´ (a + b) = c ´ a + c ´ b， 从图1.5-2(a)即可直观得到证明。
c b
a
a b a b
(a) 图1.5-2 乘法的面积模型 (b)
再看恒等式 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 的面积模型，从图1.5-2(b)可直观其成立。可见，面积之所以可以用“乘法”计算，是因为面积的计算符合乘法的两个运算法则。所以也可以说，“交换律”和“分配律”是谓词算术“乘”的一个形式化定义，这两个运算规则从语形方面刻画了谓词“乘”的含义。
历史上，莱布尼兹是最早想要进行“机器证明”的人之一，他提出了用“计算”来代替推理的设想，用“乘”、“除”等运算来表达逻辑中的“推导”，他的草案如下：
以素数表示原始概念，复合概念以非素数表示，概念的组合是以数的乘法表示。比如，“人是有理性的动物”，“人”以 m 表示，“动物”以 a 表示，“有理性”以 r 表示，这命题即为：m = ar。
如 a 和 r 以数表示，例： a = 2 （素数），r = 3 （素数），那么 m = 6 （合数）。
这样每一个词项将有数字符号，原始词将有素数符号，词化为数，从而可以构造命题。
如果主项包含谓项，即表示谓项的数是表示主项的数的约数，则全称肯定命题是真的。
比如所有的人都是动物，即有 6 / 2 = 3， 整除为真，全称肯定命题成立，这一形式的一般式为 s / p = y 或 s = py 。
从这个方案可以看出，“推导”这一逻辑谓词在一定情况下也可以用“除”来表达。将思想概念的推理算术化，其难点并不在于用数去标记概念，比如前面用电报码对汉字编码，这时两个集合间的元素只要满足一一对应，就能够达到这种静态的标识。真正困难的是谓词的算术化，即如何用算术谓词，诸如“乘”、“除”去表达逻辑谓词“可推导”。这样的对应是一种动态的对应，是谓词之间的对应表达。
再看几何与代数：笛卡尔坐标建立了几何与代数之间的对应关系，一般都理解为对象间的一一对应：比如数轴上的点与实数形成一一对应，一个曲线图形与一个方程形成一一对应。但从上面的分析可知，表达更为重要的是建立两个系统谓词之间的对应关系。只有把一个系统中的谓词用另一个系统中的谓词表达出来了，才是一种动态的对应表达。几何系统的对象是“点”、“线”、“面”，表达“点”与“线”空间关系的几何谓词有“平行”、“垂直”、“相交”、“在...之上”，“在...之间”等等。代数系统的对象是“数”、“数组”、“方程”等，代数谓词就是定义其上的运算，如“加”、“减”，“乘”、“除”等等。两个系统的对应表达除了对象之间应形成对应，比如“点”用二维数组 (x, y) 表达，“直线”用方程“ax + by + c = 0”即三维数组 (a, b, c)来表达，更重要的是两个系统谓词的对应表达。比如，两条直线“平行”的代数语言就是：a１x + b１y + c１= 0和a２x + b２y + c２= 0这两条直线满足：a１/ a２= b１/ b２ 或 b１/ a１=b２/ a２ ， 即两条直线的斜率相同；而两条直线相互“垂直”的代数语言如上一节所知为：b１/a１= -a２/b２ 或者：（b１/ a１）× (b２/a２）= -1， 即两条直线的斜率互为倒数且方向相反， 这样就完成了将几何谓词算术化的关键一步。我们知道“比例”是倍数关系，其根本含义还是谓词“乘”。可见经过适当的坐标映射，代数谓词“乘”又可以表达出“平行”、“垂直”、“相交”等几何含义的谓词，从而实现了几何关系的算术表示。
“乘”从当初的“连加”、“组配”、“相遇”、“相碰”等语义，到后来的“面积”、“可推理”，直到最后的“平行”、“垂直”、“相交”等几何谓词语义，这些语义之间的相同之处是越来越小了，但它们都可以用谓词“乘”来表达。
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发表于 2004-1-1 19:20:29
发表于 2004-1-1 20:36:48
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