Matlab详细教程

HUASHI3483

4.1.1 常见数学函数

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我们在第二章已介绍了加、减、乘、除等简易的代数运算，除此之外MATLAB还提供许多内建函数，如对数函数、三角函数、多项式函数等，方便我们计算。举例来说，要计算一角度的sine值，过程如下：  

＞> angle1=pi/2;  

＞> b=sin(angle1); %注意angle1为径度，sin函数计算值需以径度表示  

＞> angle2=90; %注意angle2为角度  

＞> b=sin(angle2*pi/180); %也可在函数内作角度与径度转换  

＞> x=sqrt(2)/2; y=asin(x); y_deg=y*180/pi  

＞> x =  

0.7071  

＞> y =  

0.7854  

＞> y_deg =  

45.0000


使用函数须注意几点。首先函数一定出现在计算等式的右边，等式左边是代表这个函数的计算值。此外，一个函数可以被当做另一个函数的引数(argument)。例如：log_x=log(abs(x))其中abs和log皆为内建函数，其意思是先计算abs(x)，所得值再代入log函数。  


指令 意义  

round(x) 将x值进位至最接近的整数  

fix(x) 将x值进位至最接近0的整数  

floor(x) 将x值进位至最接近-∞的整数  

ceil(x) 将x值进位至最接近∞的整数  

sign(x) 如果x <0传回值为-1，如果x =0传回值为0，如果x >0传回值为 1  

rem(x,y) 传回x/y的余数，例如rem(25,4)的值为1  

exp(x) 指数函数  

log(x) 以ｅ　2.718282为底的对数函数，及自然对数  

log10(x) 为10底的对数函数


其余的内建函数，用法可以参考MATLAB的线上说明或使用手册。



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4.1.3 复数

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要说明复数的运算，先从解以下的二次方程式的复数根谈起  

  

上式的根有实部 (-2) 及虚部 (±3)，我们就这个复数的表示法来说明 MATLAB的复数功能。MATLAB 是以i或j字元来代表虚部，其它的复数相关函数有real, imag, conj, abs, angle等等，详见线上说明lookfor complex。如果复数表示为 x=a+bi  

共轭复数 =, 复数大小r =, 复数向量的夹角 θ= tan-1 (b/a)  

复数实部a = r cosθ, 复数虚部b = r sinθ, 复数指数表示法 x=r ei  

上述各函数对应MATLAB的复数指令为  

a=real(x), b=imag(x),  =conj(x), r=abs(x), =angle(x), x=r*exp(i*angle(x))


以下是几个复数表示式的例子：  

＞> x=1-2*i; % 注意是 2*i 不是 2i  

＞> real(x) % 列出实部  

ans =  

1  

＞> imag(x) % 列出虚部  

ans =  

-2  

＞> conj(x) % 计算共轭复数  

ans =  

1.0000 + 2.0000i  

＞> abs(x) % 计算复数的大小  

ans =  

2.2361  

＞> angle(x) % 计算复数向量的夹角（以径度表示）  

ans =  

-1.1071


＞> a=1; b=4; c=13;  

＞> x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) % 以解二次方程式根的公式计算复数根  

x1 =  

-2.0000 + 3.0000i  

＞> x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)  

x2 =  

-2.0000 - 3.0000i


＞> y=exp(i) % 以复数指数方式表示一个复数  

y =  

0.5403 + 0.8415i  

＞> y=exp(i*pi*0.75)  

y =  

-0.7071 + 0.7071i


和复数有关的图以极座标来表示会比一般的卡氏座标要合适，polar指令可以将数据以极座标方式加以绘图，其语法为 polar(theta,r)，(theta,r)分别代表极座标上的角度及半径值。以下的例子说明了 polar用法：  

＞> t=0:0.01:2*pi;  

＞> r=sin(2*t).*cos(2*t);  

＞> polar(t,r)  

＞> title('Polar plot of sin(2t)cos(2t)')  


＞> angle=0:2*pi/100:2*pi;  

＞> r=angle/(2*pi);  

＞> polar(angle,r)  

＞> title('Polar plot')  

＞> grid



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4.1.4 多项式函数  

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在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数，我们在第九章所介绍的「曲线契合」即是一个这方面的应用。之所以采用多项式，是因为它很容易计算。在这章中我们将说明如何做多项式的计算及解多项式的根。  


令p(x) 代表一个多项式如下  

  

MATLAB 以一最简便方式代表上述的多项式 p=[1 4 -7 -10]，其中的数值是多项式的各阶项（从高到低）的 各个系数，其实p 也是一个阵列不过是用以代表这个多项式。  


有了多项式的表示式后，我们即可来计算其函数值。假设要计算一组数据x对应的多项式值，依照一般的函数计算须以下列式子计算：  

＞> p=x.^3+4*x.^2-7*x-10  

为了能直接运用多项式，可以用函数 polyval直接做运算，语法为 polyval(p,x)，其中p 即是代表多项式各阶系数 的阵列。因此  

＞> x=linspace(-1,3);  

＞> p=[1 4 7 -10];  

＞> v=polyval(p,x);


我们接著说明如何对二个多项式做加减乘除运算，以及对多项式微分。当二个多项式间要做加减乘除时，加减运算可以直接进行。假设有二个多项式 和  定义如下：  

  

如果多项式  为上述二多项式相加，即 ，因此  

  

如果是二多项式相减得到的多项式为  则  




而将两个多项式相乘可以得到一新的多项式：  

  

如果是两个多项式相除，即：  

  

上述二个运算式不能直接运算，须要另外定义函数conv做乘法运算以及函数deconv做除法运算。当二多项式相乘，在数学上等于二个阵列做旋积(convolution)运算（因为我们是以阵列来代表一个多项式的各阶系数），因此可利用conv函数做乘法运算，其语法为conv(a,b)，其中a,  
b代表二个多项式的阵列。而二多项式相除就相 当于反旋积(de-convolution) 运算，因此有 deconv 函数，其语法稍有不同 [q,r]=deconv(a,b)，其中q,r分别代表整除多项式及余数多项式。


以下就介绍相关范例，来说明二个多项式的加减乘除运算：  

＞> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];  

＞> c=a+b  

c =  

2 6 12 20  

＞> d=a-b  

d =  

0 -2 -6 -12  

＞> e=conv(a,b)  

e =  

1 6 20 50 75 84 64  

＞> g=e+[0 0 0 c]  

g =  

1 6 20 52 81 96 84  

＞> [f,r]=deconv(e,b)  

f =  

1 2 3 4  

r =  

0 0 0 0 0 0 0 % 因为是整除所以余数多项式的各系数皆为零  

＞> [h,r]=deconv(g,a)  

f =  

1 4 9 18  

r =  

0 0 0 0 2 6 12 % 余数多项式为 2*x^2 + 6*x + 12


一个多项式视其阶数而定，它的根可以有一个到数个，可能为实数也可能是复数。要求一高阶多项式的根往往须借助数值方法，所幸MATLAB已将这些数值方法写成一函数roots(p)，我们只要输入多项式的各阶系数（以p代表）即可求解到对应的根。  

＞> p=[1 3 2];  

＞> r=roots(p)  

r =  

-2  

-1  

＞> p=[1 -12 0 25 116]; % 注意二阶项系数为零须要输入，否则多项式的阶数就不对  

＞> r=roots(p) % 有实数根及复数根  

r =  

11.7473  

2.7028  

-1.2251 + 1.4672i  

-1.2251 - 1.4672i


与 roots 相关的函数尚有 poly, real，这二个函数的用途是要验算求解的根展开能求得原多项式。例如有一个二次方程式的根为 2, 1，则以下式计算原多项式  

  

poly函数就是在求出多项式的各阶系数，其语法为 poly(r)，其中 r 是代表根的阵列。而 real则是用来去除因计算时产生的假虚部系数，为何会有此种情形请参考以下的例子。  

＞> r=[-2 -1];  

＞> pp=poly(r) % pp=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2  

pp =  

1 3 2  

＞> p=[1 -4 6 -4];  

＞> r=roots(p)  

r =  

2.0000 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i  

＞> pp=poly(r) % 这个多项式的系数与原多项式 p 相同  

pp =  

1 -4 6 -4  

＞> pp=[1 7 12 9]; % 再看另一个多项式  

＞> r=roots(pp)  

r =  

-4.9395  

-1.0303 + 0.8721i  

-1.0303 - 0.8721i  

＞> pp=poly(r) % 注意因计算的误差会有假虚部产生  

pp =  

1.0000 7.0000 12.0000 9.0000 + 0.0000i  

＞> pp=real(pp) % 可以real将假虚部去除，将原多项式还原  

pp =  

1.0000 7.0000 12.0000 9.0000



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4.2.1 极值、平均、总和、连乘及排序

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首先介绍几个分析函数，利用这些函数可以让我们在分析数据极为方便。这些函数有：最大值max，最小值min，平均值 mean，一组数据的中位数median，总和值sum，连乘值prod，累积总和值cumsum，累积连乘值cumprod，排序函数sort。它们的使用方式如下  

max(x) 找出x阵列的最大值  

max(x,y) 找出x及y阵列的最大值，会有二个极值分属x及y阵列  

[y,i]=max(x) 找出x阵列的最大值以y显示，其在x阵列的位置以i显示  

min(x) 找出x阵列的最小值  

min(x,y) 找出x及y阵列的最小值，会有二个极值分属x及y阵列  

[y,i]=min(x) 找出x阵列的最小值以y显示，其在x阵列的位置以i显示  

mean(x) 找出x阵列的平均值  

median(x) 找出x阵列的中位数  

sum(x) 计算x阵列的总和值  

prod(x) 计算x阵列的连乘值  

cumsum(x) 计算x阵列的累积总和值  

cumprod(x) 计算x阵列的累积连乘值  


以下是几个例子：  

＞> rains % rains为一个2x1的阵列  

rains =  

126.8 148.5 173.0 148.4 194.7 208.9  

328.8 300.7 268.3 210.5 278.4 321.5  

＞> avg_rain=mean(rains) % 将rains阵列中的每一行的平均值列出  

avg_rain =  

227.8000 224.6000 220.6500 179.4500 236.5500 265.2000  

＞> avg_rain=mean(avg_rain) % 将上述阵列中的平均值列出  

avg_rain =  

225.7083  

＞> max_rain=max(rains) % 将rains阵列中的每一行的最大值列出  

max_rain =  

328.8000 300.7000 268.3000 210.5000 278.4000 321.5000  

＞> [max_rain,x]=max(rains) % 将rains阵列中的每一行的最大值及其位置列出  

max_rain =  

328.8000 300.7000 268.3000 210.5000 278.4000 321.5000  

x =  

2 2 2 2 2 2  

＞> min_rain=min(rains) % 将rains阵列中的每一行的最小值列出  

min_rain =  

126.8000 148.5000 173.0000 148.4000 194.7000 208.9000


＞> s_sort=sort(rains) % 将rains阵列的值由小到大做排序  

s_sort =  

126.8000 148.5000 173.0000 148.4000 194.7000 208.9000  

328.8000 300.7000 268.3000 210.5000 278.4000 321.5000


＞> x=[1 2 3 4 5];  

＞> sum(x) % 将x阵列的值做总和  

ans =  

15  

＞> prod(x) % 将x阵列的值做连乘  

ans =  

120  

＞> cumsum(x) % 将x阵列的值累积后做总和  

ans =  

1 3 6 10 15  

＞> cumprod(x) % 将x阵列的值累积后做连乘  

ans =  

1 2 6 24 120



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4.3.1 关系及逻辑运算  

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在执行关系及逻辑运算时，MATLAB 将输入的不为零的数值都视为真 (True)而为零的数值则视为否 (False)。 运算的输出值将判断为真者以 1 表示而判断为否者以 0 表示。MATLAB 提供以下的关系判断及逻辑的运算 元：  

符号 关系的意义  

< 小于  

<= 小于等于  

＞ 大于  

＞= 大于等于  

== 等于  

~= 不等于  

& 逻辑 and  

| 逻辑 or  

~ 逻辑 not  


上述的各个运算元须用在二个大小相同的阵列或是矩阵的比较，以下有几个例子：  

＞> a=1:5, b=5-a,  

a =  

1 2 3 4 5  

b =  

4 3 2 1 0  

＞> tf= a>4  

tf =  

0 0 0 0 1  

＞> tf= a==b  

tf =  

0 0 0 0 0  

＞> tf= b-(a>2)  

tf =  

4 3 1 0 -1  

＞> tf= ~(a>4)  

tf =  

1 1 1 1 0  

＞> tf= (a>2)&(a<6)  

tf =  

0 0 1 1 1


以下是算式利用关系及逻辑运算产生一不连续的讯号  

＞> x=linspace(0,10,100); % 产生数据  

＞> y=sin(x); % 产生 sine 函数  

＞> z=(y>=0).*y; % 将 sin(x) 的负值设为零  

＞> z=z + 0.5*(y<0); % 再将上式的值加上0.5  

＞> z=(x<8).*z; % 将大于 x=8 以后的值设为零  

＞> hold on  

＞> plot(x,z)  

＞> xlabel('x'),ylabel('z=f(x)')  

＞> title('A discontinuous signal')  

＞> hold off


除了上述的运算元之外，尚有以下的逻辑关系函数：xor(x,y), any(x), all(x), isnan(x), isinf(x), finite(x), find(x)，其 使用方式详见线上说明。  



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4.5 使用者自定函数

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我们在第二章提过的 M-file 除了可以撰写程式外，还有另一个重要的用途，就是可以用来定义函数。这样的函数称为M-档定义的函数，然后储存起来，就可以和那些内建的函数（如sin, cos,log等）一样的自由使用。举例来说，我们可以定义一函数cirarea是计算圆的面积，以下的  
M-file: cirarea.m就是定义这个函数  

% M-file function, cirarea.m  

% Calculate the area of a circle with raduis r  

% r can be a scalar or an array  

function c=cirarea(r)  

c=pi*r.^2;


令一个例子是MATLAB内建的函数linspace  

function y = linspace(d1, d2, n)  

% LINSPACE Linearly spaced vector.  

% LINSPACE(x1, x2) generates a row vector of 100 linearly  

% equally spaced points between x1 and x2.  

% LINSPACE(x1, x2, N) generates N points between x1 and x2.  

%  

% See also LOGSPACE, :.  

% Copyright (c) 1984-94 by The MathWorks, Inc.


if nargin == 2  

n = 100;  

end  

y = [d1+(0:n-2)*(d2-d1)/(n-1) d2];


M-file定义的函数有其语法的一些规定：  

第一行指令以function这个字做为起头，接著是输出的变数，等号，函数名称，输入的变数是接著函数名 称放在括号之内。function out1=userfun(in1)，这行的out1是输出的变数，userfun是函数名称，in1是输入的 变数。function [out1, out2]= serfun(in1, in2) 如果输出变数  
[out1,out2] 和输入变数 (in1, in2)不只一个时，则在 输出变数部份须加上 [ ]。  
上述的输入变数是经由使用函数时输入的，而输出的变数即是函数传回的值。  
函数名称的取法的规定与一般变数相同。  
在定义函数程式之前，最好加上注解行来说明这个函数的特色及如何使用，如此的话使用指令如help cirarea，该函数的注解行会出现在指令视窗。  

＞> r=1:3;  

＞> ar=cirarea(r) % 呼叫 cirarea.m 函数，以阵列 r 为输入变数  

ar =  

3.1416 12.5664 28.2743


＞> disp(ar) % 指令 disp 可以将变数值直接列出  

3.1416 12.5664 28.2743



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4.5 使用者自定函数  

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我们在第二章提过的 M-file 除了可以撰写程式外，还有另一个重要的用途，就是可以用
来定义函数。这样的函数称为M-档定义的函数，然后储存起来，就可以和那些内建的函数
（如sin, cos,log等）一样的自由使用。举例来说，我们可以定义一函数cirarea是计算
圆的面积，以下的 M-file: cirarea.m就是定义这个函数   

% M-file function, cirarea.m   

% Calculate the area of a circle with raduis r   

% r can be a scalar or an array   

function c=cirarea(r)   

c=pi*r.^2;  


令一个例子是MATLAB内建的函数linspace   

function y = linspace(d1, d2, n)   

% LINSPACE Linearly spaced vector.   

% LINSPACE(x1, x2) generates a row vector of 100 linearly   

% equally spaced points between x1 and x2.   

% LINSPACE(x1, x2, N) generates N points between x1 and x2.   

%   

% See also LOGSPACE, :.   

% Copyright (c) 1984-94 by The MathWorks, Inc.  


if nargin == 2   

n = 100;   

end   

y = [d1+(0:n-2)*(d2-d1)/(n-1) d2];  


M-file定义的函数有其语法的一些规定：   

第一行指令以function这个字做为起头，接著是输出的变数，等号，函数名称，输入的变
数是接著函数名 称放在括号之内。function out1=userfun(in1)，这行的out1是输出的
变数，userfun是函数名称，in1是输入的 变数。function [out1, out2]= serfun(in1,  
in2) 如果输出变数 [out1,out2] 和输入变数 (in1, in2)不只一个时，则在 输出变数部
份须加上 [ ]。   
上述的输入变数是经由使用函数时输入的，而输出的变数即是函数传回的值。   
函数名称的取法的规定与一般变数相同。   
在定义函数程式之前，最好加上注解行来说明这个函数的特色及如何使用，如此的话使用
指令如help cirarea，该函数的注解行会出现在指令视窗。   

＞> r=1:3;   

＞> ar=cirarea(r) % 呼叫 cirarea.m 函数，以阵列 r 为输入变数   

ar =   

3.1416 12.5664 28.2743  


＞> disp(ar) % 指令 disp 可以将变数值直接列出   

3.1416 12.5664 28.2743  



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4.6.1 均匀乱数  

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用 MATLAB 函数 rand产生在区间 [0, 1] 的均匀乱数，它是平均分布在 [0, 1]之间。一
个称为 seed的值则是用来控制产生乱数的次数。均匀乱数函数的语法为rand(n),  
rand(m,n)，其结果分别产生一矩阵含nxn个乱数和一矩阵含mxn的乱数。注意每次产生乱
数的值都不会一样，这些值代表的是随机且不可预期的，这正是我们用乱数的目的。我们
可利用这些乱数代入算式中，来表示某段讯号的不规则振幅或是某个事件出现的机率。均
匀乱数其值平均的分布于一区间的特性可以从其统计密度函数(probability density  
function, PDF) 说明。从其PDF分布　类似长条图的分布　可以看出其每一个乱数值出现
的机率皆相同，所以它被称为均匀乱数。   


见以下的例子：   

＞> rand(1,6) % 第一次使用乱数产生器   

ans =   

0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835   

＞>hist(ans) % 看看长条图的长相   

＞>plot(ans) % 比较上个图与这个图有何差异？何者能代表不规则数据的分布   


＞> rand(1,6) % 第二次使用乱数产生器，注意每次产生的乱数值皆不同   

ans =   

0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 0.5297 0.6711  


因为每次乱数产生的值皆不同，如果因为验证算式需要确定所使用的乱数值是相同的，可
以利用seed这个选项，用以设定使用计算乱数产生器的起始值，其语法为rand('seed',n)
，n的规定是。其中n=0有特别意义是使用第一次产生乱数值的起始值(=931316785)，其它
的n值即是所使用起始值。如果使用相同的起始值，则乱数值会一样，因为乱数的计算是
依据起始值。请看以下的例子：   

＞> rand('seed',0) % 将乱数值的起始值重设，相当于是第一次产生乱数值   

＞>rand('seed') % 显示现在使用的 seed 值=931316785   

ans =   

931316785   

＞> rand(2,3) % 注意乱数值的上下限介于 [0,1] 区间   

ans =   

0.2190 0.6789 0.9347   

0.0470 0.6793 0.3835   

＞> rand('seed') % 显示再产生乱数值所用的seed=412659990   

ans =   

412659990   

＞> rand('seed',0)   

＞> rand(1,6)   

ans =   

0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835  


＞> rand('seed',100) % 设定乱数值的起始值=100   

＞> rand('seed')   

ans =   

100   

＞> rand(2,5)   

ans =   

0.2909 0.0395 0.3671 0.5968 0.9253   

0.0484 0.5046 0.9235 0.8085 0.3628  


如果需要产生乱数值不是介于[0,1]区间，可以采用以下步骤将乱数值从[0,1]区间转换到
其它区间。假设要得到一组乱数值是介于[2,4]区间，我们先产生一组乱数　介于[0,1]区
间　，再将其值乘以2，因为2等于区间上下限的差值(4-2)。接著再加上下限值 (2)，即
可得到乱数值是介于[2,4]区间。例如区间为[a,b]，a为下限值，b为上限值。则算式如下
   

x=(b-a)*r + a,   

其中x代表转换后的乱数值的阵列。请看下列示范：   

＞>data_1 = 2*rand(1,500)+2; %原乱数值有500个   

＞>plot(data_1) %这个图是否看来眼熟？   

＞>axis([1 500 0 6]) %调整横轴/纵轴上下限   

＞>hist(data_1) %看看其长条图  



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4.6.2 常态乱数  

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用 MATLAB 函数 randn产生常态乱数，它是以高斯分布在乱数出现的上下限区间。常态乱
数其值分布于一区间的特性可以从其统计密度函数(PDF) 说明。从其 PDF 分布可以看出
其每一个乱数值出现的机率皆不相同，靠近中间的乱数值出现的机率比起两端的值要高，
这是一般不规则现象较可能出现的情形，所以它被称为常态乱数。由于常态乱数并非以上
下限来定义，它是用数据的平均值和变异数定义之。因此在产生一常态乱数时，需设定平
均值和变异数的大小。randn(n)和randn(n,m) 是分别产生一矩阵含 nxn个乱数和一矩阵
含mxn的常态乱数，其平均值为0变异数为1。   


见以下的例子：   

＞> x=-2.9:0.2:2.9; % 这个例子用到 hist 函数来画出二种乱数的分布图   

＞> y=randn(1,5000);   

＞> hist(y,x)   

＞> title('Histogram of Normal Random Data')   

＞> y1=rand(1,5000);   

＞> hist(y1,x)   

＞> title('Histogram of Uniform Random Data')  


如果需要产生常态乱数值的平均值和变异数并非0和1，可以采用以下步骤将平均值和变异
数做转换。假设要得到一组常态乱数值的平均值为b和变异数为a，我们先产生一组乱数r
，再将其值乘以变异数a。接著再加平均值b。算式如下   

x=a*r + b   

其中x代表转换后的乱数值的阵列。请看下列示范：   

＞>data_2 = randn(1,500)+3 %原乱数值有500个   

＞>plot(data_2) %这个图是否看来眼熟？   

＞>axis([1 500 0 6])   

＞>hist(data_2) %看看其长条图  


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HUASHI3483

4.7 矩阵运算函数   

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先介绍几个与矩阵转角有关的函数：rot90, fliplr, flipud，它们的用法及说明请参考
以下的例子。   

＞> A=[2 1 0; -2 5 -1; 3 4 6];   

＞> B=rot90(A) % 将A矩阵逆时针转90度   

B =   

0 -1 6   

1 5 4   

2 -2 3  


＞> A=[1 2; 4 8; -2 0];   

＞> B=fliplr(A); % 将A矩阵从左向右翻   

＞> C=flipud(A); % 将A矩阵从上向下翻   

＞> B, C  


B =   

2 1   

8 4   

0 -2   

C =   

-2 0   

4 8   

1 2  


另外函数 reshape 则是用来调整矩阵改形，即是在矩阵的元素总数不变下，改变其列及
行的大小。见以下范例。   

＞> A=[2 5 6 -1; 3 -2 10 0];   

＞> B=reshape(A,4,2); % 将A矩阵改成 4x2 的矩阵   

＞> C=reshape(A,1,8); % 将A矩阵改成 8x1 的矩阵   

＞> B, C   

B =   

2 6   

3 10   

5 -1   

-2 0  
C =   

2 5   

6 1   

3 -2   

10 0   

我们如果要将矩阵内的特定元素读取出来，或是将特定元素以其它值取代，以下的函数
diag, triu, tril 提供了这方面的功能。diag是只保留原矩阵的主对角线 (main  
diagonal) 的元素，其余的元素以零取代。triu, tril 则是分别产生上三角形及下三角
形矩阵，其余的元素也以零取代。以下的例子详细的说明这三个函数的用法：   

＞> V=[1 2 3];   

＞> A=diag(V)   

A =   

1 0 0   

0 2 0   

0 0 3  


＞> A=[1:2:7; 3:3:12; 4:-1:1; 1:4]   

A =   

1 3 5 7   

3 6 9 12   

4 3 2 1   

1 2 3 4   

＞> B=triu(A)   

B =   

1 3 5 7   

0 6 9 12   

0 0 2 1   

0 0 0 4   

＞> C=triu(A,-1)   

C =   

1 3 5 7   

3 6 9 12   

0 3 2 1   

0 0 3 4   

＞> D=triu(A,3)   

D =   

0 0 0 7   

0 0 0 0   

0 0 0 0   

0 0 0 0  


＞> B=tril(A)   

B =   

1 0 0 0   

3 6 0 0   

4 3 2 0   

1 2 3 4   

＞> C=triu(A,-1)   

C =   

0 0 0 0   

3 0 0 0   

4 3 0 0   

1 2 3 0   

＞> D=triu(A,3)   

D =   

1 3 5 7   

3 6 9 12   

4 3 2 1   

1 2 3 4  



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