经典题目之海盗分赃

surfbird

解答的很精彩啊

xinnan

<>读一本好的建模书＋精通一俩个工具软件＋研读近五年的优秀论文＝建模高手</P>

zhmingpeng

受益非浅。

tanyaxiang

<>好题！！！</P>

姚远青

<>转：</P>
<>现在我们将海盗分金问题推广：</P>
<>　　1)　改变一下规则，投票中方案必须得到超过50%的票数（只得到50%票数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10个海盗分100枚金币的问题？<BR>　　2)　不改变规则，如果让500个海盗分100枚金币，会发生什么？<BR>　　3)　如果每个海盗都有1枚金币的储蓄，他可以把这枚金币用在分配方案中，如果他被丢到海里去喂鱼，那么他的储蓄将被并在要分配的金币堆中，这时候又怎样？<BR>通过对规则的细小改变，海盗分金问题可以有许多变化，但是最有趣的大概是1)和2)（规则仍为50%票数即可）的情况，本帖只对这两种情况进行讨论。<BR>首先考虑1)。现在只有P1和P2的情形变得对P2其糟无比：1票是不够的，可是就算他把100枚金币都给P1，P1也照样会把他丢到海里去。可是P2很关键，因为如果P3进行分配方案的话，即使他一枚金币也不给P2，P2也会同意，这样一来P3就有P2这张铁票！P3的最佳方案就是：独吞100枚金币。<BR>P4要3张票，而P3是一定反对他的，而如果不给P2一点甜头，P2也会反对，因为P2可以在P3的方案中得救，目前为什么不把P4丢到海里呢？所以要分别给P1和P2一枚金币，这样P4就有包括他自己1票的3票。P4的方案为：P1，P2每人1枚金币，他自己98枚。<BR>P5的情况要复杂点，他也要3票。P4是会反对他的，所以不用给，给P3一枚金币就能使他支持自己的方案，因为在接下来的P4方案中他什么也得不到。问题是P1和P2：只要其中有一个支持就可以了。可是只给1枚金币是不行的，P4方案中他们一定有1枚金币可得，所以只要在他们中随便选一个，给2枚金币，另一个就对不起了，不给。这样P5的方案是：自己97枚，P3得1枚，P1或P2得2枚。<BR>P6的方案建立在P5的上面，只要给每个P5方案中不得益的海盗1枚金币。要注意的是，P1和P2都应该看作在P5方案中不得益的：他们可能得2枚，可是也可能1枚不得，所以只要P6给他们1枚金币，根据“二鸟在林，不如一鸟在手“的原则，就可以让他们支持P6的方案。所以P6的方案是唯一的：P1，P2，P4每人1枚金币，P6自己拿97枚。<BR>这样继续下去，P9的方案是：P3，P5，P7每人1枚金币，然后在P1，P2，P4，P6中任选一人给2枚金币，P9自己得95枚。最后，P10的方案是唯一的：P1，P2，P4，P6，P8每人1枚金币，P10自己得95枚。<BR>2)是最有趣的（提醒：我们回到50%票即可的规则）。原题解中的推理过程直到200个海盗都是成立的：P200给每个偶数号的海盗1枚金币，包括他自己，其他海盗什么也得不到。从P201开始，继续推理就变得有点困难了：P201为了不被丢到海里去，必须什么也不留给自己，而给从P1到P199中所有奇数号海盗每人1枚金币，从而争取到100票，加上他自己1票，逃过一劫。P202也什么都得不到，他必须用这100枚金币买通100个从P201的方案中什么也得不到的海盗，要注意到现在这个方案不是唯一的：P201的方案中得不到金币的海盗是所有奇数号的海盗，有101个（包括P201），所以有101种方案。<BR>P203必须得到102票，除了自己的1票外，他只有100枚金币，所以只能买到100票，所以可怜的家伙就被丢到海里喂鱼了。但是，P203是个很重要的角色，因为P204知道如果自己的方案不被通过，P203也一样会完蛋，所以他有P203的一张铁票。所以P204可以大出一口气：他自己一票，加上P203一票，然后加上用100枚金币买的确100票，他就得救了！100个有幸得到1枚金币的海盗，可以是P1到P202中任何100个：因为其中的偶数号的从P202的方案中什么也得不到，如果P204给他们中某个海盗1枚金币，这个海盗一定会赞同这个方案；而编号为奇数的海盗呢，只是有可能从P202的方案中得益罢了（可能性为100/101），所以根据“二鸟在林，不如一鸟在手“的原则，如果能得到1枚金币，他也会赞同这个方案。<BR>接下去P205是不能把希望放在P203和P204这两张票上的，因为就算他被丢到海里去，P203和P204还可以通过P204的方案机会活下来。P206虽然可以靠P205的铁票，加上自己1票和100枚金币搞到的100票，只有102票，所以他也被丢到海里喂鱼。P207好不了多少，他需要104票，而他自己以及P205和P206的铁票加上100枚金币搞到的100票只有103票——只好下海。<BR>P208运气比较好，他同样也要104票，可是P205，P206，P207都会投票赞成他的方案！加上他自己的1票和买来的100票，他终于逃脱了做鱼食的命运。<BR>这样我们就有了一种可以一直推下去的新逻辑。海盗可以什么也不留给自己，买上100票，然后依靠一部分一定会被丢下海的海盗的铁票，从而让自己的方案通过。有这样运气的海盗分别是P201，P202，P204，P208，P216，P232，P264，P328和P456……我们看到这样的号码是200加上一个2的次幂。<BR>哪些海盗是受益者呢，显然铁票是不用（不能）给金币的。所以只有上一个幸运号码及他以前的那些海盗才有可能得到1枚金币。于是我们得到500海盗分100枚金币的结论是：前44个最凶猛的海盗被丢进海里，然后P456给P1到P328中的100个海盗每人1枚金币。<BR>就这样，最凶猛的海盗被丢进海里，而比较凶猛的什么也得不到，而只有最温柔的那些海盗，才有可能得到1枚金币。正如《马太福音》所说：“温柔的人有福了，因为他们必承受地土！<BR><BR></P>

a2424010

<>高中是就看过了!!!!!!!111</P>

yixiaohua

<>逆向思维！有意思！</P>
<>不过我觉得不是每个海盗都有那么聪明的啊！比如出你之外那些回帖子的人</P>
<>呵呵。。。。。</P>

286783337

<>这是博弈论中的一道经典题目！！</P>

sanyhcl

<>强 哈哈</P>