奥运会场馆人员疏散的数学模型
0. 摘要
本文参阅大量具有实际背景的统计数据, 对体育场人员组成、交通工具使用情况做出合理评估. 针对体育场人员疏散各环节, 提出了“拥挤状态下的人流模型”、 “运动场通道设计的最大流量原则”、“车辆停放优化模型” 和 “地铁-公交车疏散模型”四个子模型. 对模型进行了适用范围、边界条件、实测数据拟合等特性的分析, 得到了: “密度-人流通量”曲线、体育场疏散时间和通道设计计算公式、最优停车方式设计、地铁-公交车疏散时间公式等一系列具有实用价值的结果. 上述结果与各种参考文献中提供的实测数据非常吻合.
借助所获得的模型和结论, 给出了对运动场疏散全过程的时间、进程模拟, 并利用虚拟现实建模技术给出部分疏散场景的实况. 根据模拟的结果, 认为100 000人规模的体育场可以在 45min左右的时间内完成人员疏散. 并在此基础上提出体育场及其周边设施建设的若干优化方案.
关键字
体育场馆 疏散 调度 人流模型
1. 相关假设
1.1 体育场选址和规模
根据北京市对奥运会场馆建设的规划[1] 承担奥运会开、闭幕式的国家体育场(The National Stadium)将位于北京市北部奥林匹克公园的中心区域. 这一区域周边公路通行能力较强且处于市郊, 可认为疏散过程不会受到外部交通的影响.
题目给出的体育场设计规模为10万人, 依照参照[2]所给出的建筑标准以及往届奥运会场馆的建设先例, 估算体育场的占地面积(不包括停车场等周边设施)约为12万m2.
图 1-1. 北京2008奥运会比赛地点
图 1-2. 奥林匹克公园平面图
1.2 出席人员组成
体育场的人员由表演人员、观众、贵宾、工作人员组成, 奥运会在主体育场举行的各种仪式或比赛, 观众都将占人员总数的95%以上. 可以认为体育场疏散的主体为观众, 因此文中建立的模型除特殊提及外, 均针对普通观众.
1.3 交通工具选择分配
体育场的选址位于市郊, 绝大部分观众都将乘坐代步工具往返. 届时可以选择的交通工具包括: ①通往体育场的地铁和公交车②小型私人车辆③出租汽车④私人团体使用的客运车辆.
这里认为④所占比例不大, 可以忽略. 下文将着重讨论①和②的调度方案和疏散能力.
2. 拥挤状态的人流模型
2.1 个体生理尺寸
个体的占地面积由其各方向上的最大生理尺寸决定, 通常使用肩宽bp和身体厚度dp决定. 为了简便计算, 通常将个体抽象成椭圆形, 或矩形区域[3].
图2-1. 人体的椭圆形模型
图2-2. 人体的矩形模型
此时的个体占地面积Sp (m2)可分别表示为:
和
下面给出不同地区人群生理尺寸的数据
国家(地区) 肩宽
bp (m) 身体厚度
dp (m) 椭圆面积
SpE (m2) 矩形面积
SpS (m2)
British M 0.5100 0.2850 0.1142 0.1454
F 0.4350 0.2950 0.1008 0.1283
Japanese M 0.4750 0.2300 0.0858 0.1093
F 0.4250 0.2350 0.0785 0.0999
Hong Kong M 0.4700 0.1250 0.0461 0.0588
F 0.4350 0.2700 0.0923 0.1175
USA M 0.5150 0.2800 0.1133 0.1442
F 0.4700 0.2950 0.1089 0.1387
Indian M 0.4550 0.2350 0.0840 0.1069
F 0.3900 0.2550 0.0781 0.0995
平均 0.4850 0.2310 0.0887 0.1129
表格2-1. 不同地区人群生理尺寸数据
考虑到我国人口素质未来6年的发展情况, 兼顾计算的简便, 在本文中取 bp=0.5m, dp=0.25m, Sp=SpS=0.125m2.
2.2 人群密度
人群中个体的生理尺寸和个体之间的间距共同决定人群的密度, 参考资料[4]给出了一些典型情况下的空间占用(最小包络圆的直径).
单人行走(正常情况) 650mm
两人相向走过 1 350mm
通常轮椅的空间占用 900mm
单人打伞行走 1 150mm
单人携带提包 800mm
表格2-2. 典型情况下的空间占用
鉴于体育场疏散时观众人群密度偏大, 可以假设相邻个体的横向间距恒为100mm, 纵向间距随人群密度变化.
资料[5]进一步指出: 出于对安全因素的考虑, 拥挤区域站立人群的最大密度不应超过40人/10m2. 结合上面对个体占地面积的计算, 可以得到体育场各通道内的人群密度的允许区间为(0, 4) 人/m2. (此处尚未考虑速度因素, 下文将给出理想值).
2.3 拥挤状态下的人流模型
几点假设:
1 人流限制在单向定宽度无限长通道内前进, 且相对饱满, 即速度不大于某极限速度Vmax=3m/sec.
2 任何个体均遵循普遍原则前进: 不试图超越前方个体, 亦不会留出过大间距.
3 人群密度ρ(人/m2)在通道各处相等, 且随速度v(m/sec)的递增而递减, 取值范围为(ρmin, ρmax)
4 定义人流通量q (人/m•sec)为单位时间、单位通道截面积通过的人数, 则有q =ρv
模型建立:
拥挤状态下步幅l (m)等于相邻个体的间距. 参照图2-3, 结合上文对个体生理尺寸参数的计算, 可以得到:
图 2-3. 人流模型示意图
利用[6]和[7]给出的速度、步幅等数据, 能够确定人群密度ρ与行走频率f之间存在关系:
并可以进一步验证上式中K=1.36, n≈0.5.
将人群速度表示为密度的函数:
确定人流通量:
利用前述数学模型和相关参数, 并考虑边界条件, 绘制v-ρ曲线和 q-ρ曲线如下:
图 2-4. 密度-速度曲线
图 2-5. 密度-人流通量曲线
可以确定当人流密度值ρ0=2.22人/m2, 相应的速度为v0=1.01m/sec.时, 通量q取得极值q*= 2.25人/m•sec.
结论和分析:
理论预测所得曲线走势与日常经验相符, 并且量值上与现有数据相当吻合. 通过对人流通量变化趋势的计算, 可以获得满足通量最大的速度和密度条件.
体育场内的各通道均为狭窄路段, 且疏散过程中人流密度足够大, 可以应用此模型进行疏散分析. 为了获得最小的疏散时间, 运动场内各处通道的设计均应满足人流通量在q*附近. 下文中将应用此结论探讨实施细节, 并给出预期的疏散时间.
3. 运动场设计优化和疏散时间计算
3.1 通道设计的最大流量原则
前面分析得到: 为使疏散时间最小, 需要在设计体育场内通道时保证人流通量q在其极值q*附近, 并且尽量宽阔. 为此参考[2]总结下列设计原则:
1. 根据中国人的身材特点, 座宽设计为0.6m. 每圈平均有50组座椅坐供1 600人就座. 相邻两组间距离为1.0m. 为使流量最大, 由于座位密度近似为人流密度的初始值, 应把座位密度设为2人/m2, 即每人占据0.5m2的空间, 则每前后相邻两排间距设计为0.5/0.6=0.83m. 一圈平均周长为50×(30×0.6+1)=950m. 上下层各有31~32排. 总计约有100 000个座位.
图 3-1. 座椅排布和通道设置
2. 相邻两排座椅之间的通道(称为0级通道)仅需承载单股人流, 其设计宽度满足一人通过即可. 人流在0级通道无法达到理想的通量q*, 因此每段的长度应尽可能短(建议为15倍座位长度). 0级通道的总长度仅与场内座位数目有关.
3. 其它依次各级内部通道的设计, 应合理控制宽度, 保证前一级的人流均匀汇入, 使稳定状态下整个通道内的平均人流通量尽可能高.
图 3-2. 通道连接部分
由此原则可以得到
k —— n级通道与n-1级通道的汇合点总数
Di —— i级通道的宽度
4. 外通道(出口)的设计, 存在关系式:
B —— 疏通口(道)设计可通过人流股数
C —— 单股人流宽度. 一般地, C=bp+0.1=0.6m.
其他设计细节还包括:
1 采用下行、水平、坡道疏散方式以提高人群移动速度.
2 楼梯和坡道宽度较大(>3m)时, 加设中间分隔栏杆扶手, 辅助疏导人流.
3.2体育场疏散时间的计算
体育场观众数量多, 疏散时间集中, 因此设计应有畅通的交通道和均匀分布的出入口, 以便在一定时间内使全部观众疏散完毕. 给出大型体育场疏散时间计算公式[2]:
Ts —— 疏散时间
V —— 人流疏散速度(m/min)
A —— 单股人流通行量(人/min)
B —— 疏散口(道)可通过人流股数
N —— 疏散人数
S —— 疏散距离(m)
就影响体育场疏散时间的几个因素分别加以分析:
1 单股人流通行量A(人/min)
C —— 单股人流宽度. 一般取C=bp+0.1=0.6m.
ρ —— 人群密度
2 疏散口(道)数量nb
疏散口(道)数量越多, 则从看台出口到外出的加权总距离越小, 越有利于缩短疏散时间Ts.但外出口的数量不应过多, 否则从体育场涌出人流过多且过于分散, 不利于控制, 同时加重场外通路的负担, 容易在较狭窄路段形成瓶颈, 不利于安全.
考察国外大型体育场设计, 把主要外出口数nb定为4. 对称分布. 并可增加备用出口使总出口数达到8个甚至更多, 为意外事故发生时恐慌人流的疏散.
3 疏散口(道)可通过人流股数B
这是影响疏散时间的最主要因素, 是可以控制的. 参考体育场观众疏散设计标准及其设计规模, 预计外出口疏散时间To为15min. 观众应占总人数的95%以上, 认为N=100 000.
4 人流疏散速度V(m/min)
“拥挤状态下的人流模型”定量地给出了人群密度和速度之间的关系. 为了获得最小的疏散时间, 运动场内各处通道的设计均应满足人流通量在q*附近. 从而速度亦应在v0附近.
人流疏散速度V= v0=60m/min
5 .疏散距离S(m)
由看台上的出入口至外门口,经过道、楼梯的实际距离, 计算体育场总距离时则为加权距离, 其计算公式如下:
b1, b2, ... 为第一、第二疏散道人流股数
S1, S2, ... 为第一、第二疏散道疏散距离
疏散距离S应尽量小. 参考现有体育场设计, 观众席分为上下2层. 疏散形式如图3-3[2]:
图3-3. 双层的疏散通道
体育场设计为对称结构, 为方便计算, 只考察取出的扇形部分.
图 3-4. 看台的扇形模型
由公式3-6, 此处:
S1 —— 上层观众平均疏散距离
S2 —— 下层观众平均疏散距离
s1 —— 上层看台扇形面积
s2 —— 下层看台扇形面积
此扇形模型中用扇形面积代替了人流股数. 在这个扇形中, 中间一排有1600/8=200个座位. 假设相邻长排相差2个座位, 上下层均有30排左右. 因而, 离赛场最近一排座位有140个座位, 最远一排有260个座位. 计算扇形看台面积:
则有:
每圈距离lc≈120m. 楼梯及缓台的坡度α=30º. 上下层观众席高h=排数×每排高(约0.47m)=14.1m. 则上下楼的平均距离为14.1/sin30º=28.2m. 则:
带入公式3-7得到:
计算体育场疏散时间
4. 停车场规划和疏散时间
4.1 停车场规模
前面1.3中提到疏散车辆以地铁-交车和私人车辆为主, 运动场附设的停场为私人车辆专有. 下面计算乘坐私人车辆观众的比例.
北京市2001年私有车总计为50万辆, 并保持每年15%的增长率[8]. 同期人口总数为1 380万, 预计年增长率2.4%[9]. 可以推知: 2008年北京市及周边地区车辆占有率约为每百人8.16辆. 加之对未来车辆增长的考虑, 停车场设计规模为10 000辆, 按平均每辆车承载3人计算, 将可疏散27 000人.
为减少疏散人群的步行时间, 建造两个地上停车场, 单个停车场容量约为5 000辆.为了节约成本, 将考虑尽量减小停车场尺寸和提高空间利用率.
4.2 车辆尺寸数据
利用从[10]获得的常见车型尺寸数据, 可以估算出私人车辆的平均尺寸.
车型 乘员
人 长度
mm 宽度
mm 面积
m2
桑塔纳2000AT 5 4546 1710 7.77
捷达王 5 4385 1674 7.34
捷达 5 4428 1660 7.35
丰田Sienna CE 7 4932 1862 9.19
奔驰S600 5 5154 1857 9.57
平均 5.4 4689 1753 8.22
表 4-1. 常见车型尺寸
本文中使用下述模型及数据计算停车场的相关设计参数.
图 4-1. 平均车型尺寸
4.3 车辆停放方式优化
单车占地面积与停车角度θ的关系如图4-2所示:
图4-2 单车占地面积
设lc和wc分别为一个停车位的长和宽:
则一个车位的占地面积
变化规律如图4-3所示
图 4-3 Sc-θ的关系曲线
Sc随θ减小而增大, 但θ的减小有利于车的开出. 当θ为45º时, 单车占地面积变化不大, 而出车较易. 并且可以选择使车辆交错停放, 大大节省了空间.
图 4-4(a) 45度斜式泊车示意图
图 4-4 (b) 泊车角度非45度时存在空间浪费
θ=45º时, 单车平均占地为:
4.4 停车场设计和车辆调度优化
为进一步优化停车场结构, 减少或避免阻塞, 提出下列停车场设计和车辆调度原则:
1. 尽量缩短停车场长宽比, 以保证观众行走路线尽可能短, 即尽量缩短行走的时间.
2. 人行道与出车道交叉处, 设置斑马线, 同时提前设置限速障碍物. 限速障碍物可以保障行人安全, 并使车辆通过减速带后的车距拉大, 便于其它车辆插入车流.
图 4-5 限速障碍物对行人的保护作用
图 4-6 限速障碍物利于车辆插入车流
图4-7 设置限速障碍物对相邻车距的影响
3. 入车道为4车道, 其中中间两车道只允许停车位在7至12组的车行驶, 以避免车行方向交叉或相互阻碍
图 4-8. 停车位分组示意
4. 停车场形状设计成狭长有利于出车道与公路的连接.
5. 疏散人流进入停车场时, 可利用入车道将人流导入停车场, 这时不允许车辆驶入.
4.5 停车场疏散时间的计算
几点假设:
1. 停车场采用单入多出式, 中部驶入车道, 设计为4车道, 宽10m. 共用驶出车道的两排车为一组, 出车道道宽4m. 每隔固定间隔设置人行道, 道宽2.5m.
2. 人行道数目变化较小, 为方便计算又不失一般性, 设人行道共有六条.
3. 在疏散时, 人流可由入车道引进, 极大避免了人流与车流的交叉. 且有限速障碍物限速, 使车在通过人行道之前速度很慢, 因此先忽略人流对车流的影响.
4. 出车时的平均车速为5m/sec, 人行走的速度为1.3m/sec.
变量说明:
n —— 组数
wp —— 人行道总宽
wi —— 入车道宽
t1 —— 疏散过程中离出口最远车辆的驶出时间
t2 —— 从停车场入口到某辆车步行的最大时间
计算公式:
经计算, t1<< t2, 因此疏散时间主要取决于t2. 当n取19时, t2的值最小. 停车场疏散时间:
同时可以进一步给出停车场的优化设计参数: 单排车总数132辆, 停车总数为5 016辆. 每隔22辆车设一人行道. 共设四条人行道. 车场总长为500(487)m, 总宽为250(244)米. 占地面积为12.5(11.9)万m2.
5. 地铁和公交车疏散时间
前面4.1中计算得出观众中将有27%即27 000人使用私人车辆, 这里假设余下观众均按照承载人数比例选择轨道交通工具和公交车. 鉴于这两种交通工具的时间规律, 承载能力固定, 模型相对简单, 下面直接给出假设和结论:
地铁和公交车疏散时间:
tg —— 相邻车次的等待间隔时间(min).
N —— 选择交通工具的人数 73 000人
Nl —— 可用的线路数目.
Nc —— 每车次的疏散能力(人/车次)
参考[11]给出的量值, 可以测算Nc数量级为103, 这里设为2 000人/车次. 并设理想等待时间tg=2.5min. 根据[1]的有关新闻, 北京市将为2008年奥运会新建7条地铁线路, 假设其中Nl=3条位于主体育场附近. 则带入公式 5-1 得到:
6. 结论和分析
根据2.3节拥挤状态下的人流模型: 体育场各通道和出口的设计均尽量保足够大的人流密度ρ和必要的流动速度v, 从而使人流通量q尽可能接近极值q*. 在此前提下, 3.2, 4.5和5节分别针对人员疏散的各个阶段, 给出体育场通道、外出口、停车场布局等定量结论和车辆调度原则等设施建设的细节. 进一步得到各阶段疏散时间的估计. 给出体育场人员总体疏散时间T的表达式:
Ti —— 体育场内疏散时间(公式3-12)
Tp —— 停车场疏散时间(公式4-8)
Tb —— 地铁和公交车辆的疏散时间(公式5-2)
总结前文分析和计算结果, 100 000人规模的体育场的全部疏散时间约为46分钟.
分析T的各分量不难发现: 地铁和公交车疏散时间Tb为影响疏散时间的主要因素, 为尽量减小Tb, 可以考虑增加可用线路数目和车次密度. 另一方面, 由于我国私人车辆基数处在相当低的水平, 停车场规模较小使得Tp被Tb所掩盖. 但是可以预见, 2010年之后的体育场馆疏散将更多面对如何协调各种交通工具的搭配问题.
7. 参考文献
[1]. 北京2008奥运会官方网站, <A TARGET=_blank HREF="http://www.beijing-2008.org/">http://www.beijing-2008.org/</A>
[2]. 蔡镇钰主编, 《建筑设计资料集第7册》. 北京: 中国建筑工业出版社. 1997
[3] J. J. Fruin, Pedestrian Planning and Design. Metropolitan Association of Urban Designers and Environmental Planners, Inc. 1971.
[4] Stephen Pheasant, Bodyspace: Anthropometry, Ergonomics and the Design of the Work 2nd Ed. USA Taylor & Francis Inc. 2001
[5] Department of National Heritage, Guide to Safety at Sports Grounds 4th Ed. H.M.S.O. Publications. 1997
[6] 姜启源编, 《数学模型》第2版. 北京: 高等教育出版社. 1993
[7] G.. Keith Still, Crowd Dynamics. <A TARGET=_blank HREF="http://www.crowddynamics.com/">http://www.crowddynamics.com/</A>
[8] 竞车网, <A TARGET=_blank HREF="http://vinnie.myrice.com/news_3/rushiyiwei.htm">http://vinnie.myrice.com/news_3/rushiyiwei.htm</A>
[9] 中国人口信息网, <A TARGET=_blank HREF="http://www.cpirc.org.cn/new0406-6.htm">http://www.cpirc.org.cn/new0406-6.htm</A>
[10] 中国汽车网, <A TARGET=_blank HREF="http://www.chinacars.com/">http://www.chinacars.com/</A>
[11] 许燕莉, 《北京轻轨铁路梦圆在即》. 《光明日报》 1995年11月15日
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发表于 2003-7-5 07:21:58