第十一讲 微分方程模型（1）——利用平衡原理建模

yunjiang

　　 利用平衡原理是建立微分方程模型的一个常被选用的主要方法。应当注意的是，平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间<SUB> <IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image004.gif"> </SUB>上的微元形式：某个量在该区间上的增加量等于该区间段内进入量与迁出量的差。
<b>　　一、车间空气清洁问题</b>
　　某生产车间内有一台机器不断排出CO<SUB>2</SUB>，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的CO<SUB>2</SUB>含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？
　　<b>问题分析与假设</b>  
　　上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其CO<SUB>2</SUB>含量尽管也有但较低。新鲜空气与车间内空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低CO<SUB>2</SUB>含量。为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间。
　　此问题中的主要变量及参数设为：
　　车间体积：V（单位：立方米），
　　时间：<I>t</I>（单位：分钟），
　　机器产生CO<SUB>2</SUB>速度：<I>r</I>（单位：立方米/分钟），
　　鼓风机风量：K（单位：立方米/分钟）
　　新鲜空气中CO<SUB>2</SUB>含量：<I>m</I>%，
　　开始时刻车间空气中CO<SUB>2</SUB>含量：<I>x</I><SUB>0</SUB>%，
<I>　　t</I>时刻车间空气中CO<SUB>2</SUB>含量：<I>x</I>（<I>t</I>）%，

yunjiang

　　<b>模型建立 </b>
　　考虑时间区间[<I>t</I>，<I>t</I>+Δ<I>t</I>]，并利用质量守恒定律：[<I>t</I>，<I>t</I>+Δ<I>t</I>]内车间空气中CO<SUB>2</SUB>含量的“增加”等于[<I>t</I>，<I></I>+Δ<I>t</I>]时间内，通入的新鲜空气中CO<SUB>2</SUB>的量加上机器产生的CO<SUB>2</SUB>的量减去鼓风机排出的CO<SUB>2</SUB>的量，即
　　　　　 　　CO<SUB>2</SUB>增加量=新鲜空气中含有CO<SUB>2 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image006.gif"> </SUB>+机器产生的
　　　　　　　 CO<SUB>2 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image008.gif"> </SUB>－排出的CO<SUB>2</SUB><SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image009.gif"> </SUB>
　　数学上表示出来就是
　　    <I>V</I>[<I>x</I>（t+<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image011.gif"> </SUB>t）% - <I>x</I>（t）%]=Km%<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image012.gif"> </SUB>t +r<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image013.gif"> </SUB>t – <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image015.gif"> </SUB>K<I>x</I>（s）%ds
其中t<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image017.gif"> </SUB>0。 于是令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image019.gif"> </SUB>，取极限便得
　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image021.gif"> </SUB>
　　其中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image023.gif">
</SUB>　　<b>模型求解与分析</b>
　　此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题。 解之得
　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image025.gif"> </SUB>
　　这就是<I>t</I>时刻车间空气中含CO<SUB>2</SUB>的百分比。显然，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image027.gif"> </SUB>否则CO<SUB>2</SUB>含量只能增加。 令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image029.gif"> </SUB>则有
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image031.gif"> </SUB>
　　这说明了，车间空气中CO<SUB>2</SUB>的含量最多只能降到<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image033.gif"> </SUB>。由此可见，鼓风机风量越大（<I>K</I>越大），新鲜空气中CO<SUB>2</SUB>含量越低（<I>m</I>越小），净化效果越好。

yunjiang

<><B>　　</B>模型的优缺点分析及改进方向：
　　优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致。
　　缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单。
　　 改进方向：
　　 （1） 考虑新鲜空气和车间内的空气的混合扩散过程重新建模；
　　 （2）若要使得车间空气中的CO<SUB>2</SUB>含量达到一定的指标，确定最优的实施方案。</P>

yunjiang

<b>　　</b> <B>二、</B><B> </B><B>猪的最佳销售时机问题</B>
　　 从事猪的商业性饲养和销售自然是希望获得尽可能大的利润，因此，养猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须首先考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的类型等因素忽略不计，并且不考虑市场需求的变化，那么影响获利大小的一个主要因素就是如何选择猪的售出时机，即何时卖出获利才最大。可能会有人认为，猪养得越大，售出后获利越大。其实不然，精明的饲养者都知道，随着猪的生长，单位时间消耗的饲料费用也会越来越多，但同时其体重的增加速度却不断下降，而销售价格不会随体重的增加而增加，所以饲养时间过长是不合算的。试做出适当的假设，建立猪的最佳销售时机的数学模型。
　　<b>问题分析与主模型建立 </b>
　　设猪开始进行饲养的时刻为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image035.gif"> </SUB>，且此时猪的体重为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image037.gif"> </SUB>，若<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image039.gif"> </SUB>为一头猪在<I>t</I>时刻的重量，则有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image041.gif"> </SUB>。又设<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image043.gif"> </SUB>为该品种猪的最大体重，那么由前面分析知其生长速度到达一定程度就会减慢下来，到达最大体重<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image044.gif"> </SUB>时，生长速度就成为零。依此分析，我们发现猪的体重增长的过程与人口增长过程很类似，通过类比方法可设体重函数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image046.gif"> </SUB>满足
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image048.gif"> </SUB>                   （3.1）
　　其中<I>k</I>是反映猪的生长速度快慢的常数。易见，随着体重的增长，生长速度不断减慢直至为0<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image050.gif"> </SUB>。

yunjiang

　　 又设<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image052.gif"> </SUB>表示一头猪从开始饲养到<I>t</I>时刻共消耗的饲养费用（包括饲养人员工薪等），<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image054.gif"> </SUB>为猪可上市销售的最小体重，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image057.gif"> </SUB>为猪从体重<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image059.gif"></SUB>增长至<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image060.gif"> </SUB>所需的饲养时间，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image062.gif"> </SUB>为<I>t</I> 时刻体重为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image064.gif"></SUB>的猪的单位售价。由于我们的建模目的是寻求使得纯利润尽可能大的猪的售出时刻，因此若<I>t</I> 时刻将猪售出，则销售总收入为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image066.gif"> </SUB>，而总支出为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image068.gif"> </SUB>，于是纯利润为
　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image070.gif"> </SUB>    <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image072.gif"> </SUB>
问题就成为求<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image074.gif"> </SUB>的最大值，即
　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image075.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image077.gif"> </SUB>    （3.2）
（3.2）式即问题的主模型。剩下的问题是如何求出<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image079.gif"> </SUB>及<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image081.gif"> </SUB>，其中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image083.gif"> </SUB>已由（3.1）式确定，只需求出<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image085.gif"> </SUB>与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image087.gif">。</SUB>
　　<b>分模型假设</b>
　　（1）本模型只对某一品种的猪进行讨论，涉及猪的性质的其他有关参数均视为常数。
　　（2）由于开始饲养时猪已有一定体重<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image089.gif"> </SUB>，故假定猪随着体重的增长，生长速度不断减慢。
　　（3）猪的体重越大，单位时间消耗的饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费为一常数<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image091.gif"> </SUB>。
　　（4）通过市场调查知<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image093.gif"> </SUB>与体重的变化关系很微小，且不考虑市场需求，即可视<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image094.gif"> </SUB>为常数<EM>p</EM>。

yunjiang

　　 <b>分模型建立</b>  
　　 依假设（3），单位时间消耗的饲养费用<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image096.gif"> </SUB>可具体分解为两部分：一部分与体重有关（如饲料的费用）记为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image098.gif"> </SUB>，另一部分为固定费用（如饲养员薪金），自然为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image100.gif"> </SUB>。
　　 由平衡原理，单位时间间隔<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image102.gif"> </SUB>内饲养费用的增加量为
　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image104.gif"> </SUB>
其中右端第一项为固定费总值，第二项为与体重有关的费用。利用积分中值定理可得这一部分结果为
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image106.gif"> </SUB>
于是
　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image108.gif"> </SUB>
两边遍除<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image110.gif"> </SUB>，并令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image112.gif"> </SUB>，便得
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image114.gif"> </SUB>
显然有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image116.gif"> </SUB>，于是得分模型为
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image118.gif"> </SUB>          （3.3）
及
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image119.gif"></SUB> <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image121.gif"> </SUB>           　（3.1）

yunjiang

<>　　 <b>分模型求解 </b>
　　 注意到（3.1）与（3.3）的联系，先解（3.1）。（3.1）的方程是一阶线性非齐次微分方程：
　　　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image123.gif"> </SUB>
可解得 <SUB>
　　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image126.gif"> </SUB>
　　　　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image128.gif"> </SUB>
代入<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image130.gif"> </SUB>并整理即得（3.1）的解为
　　　　　　　　    <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image132.gif"> </SUB>         （3.4）
由（3.4）可解出
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image134.gif"> </SUB>
代入方程（3.3），便有其变形
　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image136.gif"> </SUB>
这样便可直接积分而获得
　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image138.gif"> </SUB>        （3.5）
易见，<I>k</I>越大，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image140.gif"> </SUB>越小，即增长速度越大，饲养费用越小，是符合实际的。</P>

yunjiang

　　 <b>主模型求解</b>
　　 由假设（4），主模型为
　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image142.gif"> </SUB>
其中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image144.gif"> </SUB>已由（3.4）、（3.5）给出。令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image146.gif"> </SUB>，可得到所谓最佳售出时间应为
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image148.gif"> </SUB>        （3.6）
其中的一些常数可由如下渠道获得：<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image150.gif"> </SUB>可从有关该品种猪的资料中得到；<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image152.gif"> </SUB>可通过简单的统计工作得到；<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image154.gif"> </SUB>可从市场上得知。
　　 模型分析  
　　 （1）看一组数据。设
　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image156.gif"> </SUB>
　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image158.gif"> </SUB>则可得
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image160.gif"> </SUB>
此时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image162.gif"> </SUB>，纯利润
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_11/htm/sxjm11.files/image164.gif"> </SUB>
也就是说，按上述数据计算，一头猪从20公斤始养上363天，达到128公斤时即可出售，纯利润可达225元。养上100头，一年下来可净赚2.25万。
　　当然，上述数据是设定的，因而数据结果未必合情理。
　　（2）要获得最大利润，价格越高越好，故适当掌握市场信息是必要的；还可看出，猪的最大体重越大，生长速度越快，就越容易获得最大利润。因此养猪应选择最大体重大又生长速度快的品种。

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