第六讲 建模方法论（5）——建模实例（一）

yunjiang

　<b>雨中行走问题</b>
　　夏季的某天，你去某地办事，接近目的地时，天空突然下起了大雨，糟糕的是你没有带雨具，且难以找到避雨的地方。一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能的快走（跑），以减少雨淋时间。这样做合理吗？试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能最大限度地减少雨淋的程度，即确定最优行走策略。<I>
</I><B>　　问题分析</B>  
　　问题是在给定的降雨条件下，设计一个在雨中行走的策略（调整行走速度），使得你被雨水淋湿的程度最低。所谓被雨水淋湿的程度，可以用其间被淋在身上的雨水量的大小来刻划，而与此有关的主要因素有：降雨的大小、风（降雨）的方向、路程的远近和行走的速度。 为了简化问题的研究，我们先做以下假设：<I> </I>

yunjiang

<b>　　模型假设</b>
　　 1．降雨的速度（即雨滴降落的速度）和降雨强度保持不变；
　　 2．行走速度恒定；
　　 3．风速及风向始终保持不变（这三项都是均匀化假设）。
　　 4．把人的身体看成是一个呈长方体形状的物体（理想化）。
　　 5．淋在身上的雨水被完全吸收（极端化）。
　　 6．不考虑降雨的角度的影响，也就是说在行走的过程中身体的上方及前后左右都将淋到雨水。
　　 7．设定变量和参数  
　　雨中行走的距离（单位：米）：<I>D</I>；
　　雨中行走的速度（单位：米/秒）：<I>v</I>；
　　人体的高度、宽度、厚度（单位：米）：<I>h</I>，<I>w, </I> <I>d</I>
　　被淋雨水总量（单位：升）：<I>C</I>；
　　降雨强度（单位：厘米/小时）：<I>I</I>；
　　身体被雨淋的面积（单位：米<SUP>2</SUP>）：<I>S</I>；
　　雨中行走时间（单位：秒）：<I>t</I>=<I>D</I>/<I>v.</I>
其中，降雨强度是单位时间内平面上降雨的厚度，用以刻划降雨的大小。
　　在本问题中，<I>D</I>，<I>d</I>,<I>w</I>,<I>h</I>从而S是问题的参数；<I>v</I>,<I>t</I>,<I>I</I>是问题中的变量。<I>C</I>是因变量，而<I>v</I>是决策变量。模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。 　　　　
　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/images/03.gif">

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<><B>　　</B><b>模型的建立与求解</b>  
　　按上面的分析与假设，容易知道：在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时间、被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。考虑到量纲一致性，并注意到<I>I、v、D</I>为常数<I>，</I>我们有
   　　　　　　C（<I>v）=t<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image006.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image008.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image009.gif"> </SUB>S</I>（米<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image011.gif"> </SUB>）
　　　　　　　　　 =<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image012.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image014.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image015.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image017.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image019.gif"> </SUB>（米<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image021.gif"> </SUB>）
　　　　　　　　　 =<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image023.gif"> </SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/images/02.gif">
　　模型表明，被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最优行走策略是尽可能的快跑。
　　<B>模型检验</B>  
　　看一组数据：<I>D</I>=1000米，<I>h</I>=1.5米，<I>w</I>=0.50米，<I>d</I>=0.20米，<I>I</I>=2厘米/小时，最大行走速度为<I>v</I>=6米/秒，由此可得，你身上被淋的雨水的总量为<I>C</I>=2.041（升）（一立方米=1000升）。<I>
　　</I>仔细分析，这是一个荒谬的结果。在2厘米/小时强度的降雨中只跑了167秒，身上却被淋了2升的雨水，这是不可思议的。因此，用上述模型描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。<I>
　　</I>按照建模的程序，我们需回到对问题所作的假设，进一步考察这些假设的合理性。不难发现“不考虑降雨的角度的影响”的假设6把问题过于简单化了。为此，我们来考虑降雨角度的影响（即取消假设6）。</P>

yunjiang

<b>　　模型修改</b>
　　假设雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角为θ。这时仅仅用降雨强度已经不能确切地描述降雨的情况了。降雨强度受降雨速度的影响，但并不完全决定于降雨的速度，还决定于雨滴下落的密度，显然降雨速度越大、降雨密度越大，降雨强度也越大。降雨速度设为<I>r</I>（米/秒），降雨密度用降雨强度系数（在一定时刻，在单位空间内由雨滴所占据的空间的比例数）来表示，记为<I>p</I>。于是我们有<I>I</I>=<I>pr</I>，显然应有<I>p</I>≤1，当<I>p</I>=1时意味着倾盆大雨。
　　情形1  <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image027.gif"> </SUB>：即迎着降雨方向行走，由经验可以知道，这时被淋湿的部分仅仅是人的顶部和前方。淋在身上的雨水将由这两部分组成。<I>
　　</I>模型的建立与求解
　　首先考虑顶部被淋的雨水。顶部的面积是<I>wd</I>，雨滴下落速度的垂直分量为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image029.gif"> </SUB>。不难得到，在时间<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image031.gif"> </SUB>内顶部被淋的雨水总量是： <SUB>　　　　　
　　　　　　　　　　　 　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image033.gif"> </SUB>
　　再考虑前面被淋的雨水。前方被淋的面积是<I>wh</I>，雨滴下落速度的水平分量（相对于你而言）为<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image035.gif"> </SUB>。因此，前方被淋的雨水的总量为：
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image037.gif"> </SUB>。
　　由上述分析，被淋的雨水总量为
　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image039.gif"> </SUB>
　　显然，在降雨方向给定情况下，此时的最优行走策略是在雨中尽可能的快跑。<I> </I>

yunjiang

　　<b>模型检验 </b>
　　仍使用模型I中所使用的参数值，并假设降雨速度为<I>r</I>=4米/秒，容易计算得降雨强度系数为<I>p</I>=1.39×10<SUP>-6</SUP>。因此，
　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image041.gif"> </SUB>。
　　显然有
　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image043.gif">
　　</SUB> 情形2  <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image045.gif"> </SUB>：在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下。令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image047.gif"> </SUB>，则<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image049.gif"> </SUB>。
　　首先考虑<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image051.gif"> </SUB>的情形，即行走的速度慢于雨滴下落的水平速度，此时雨将淋在你的背上。与情形I类似可以得到身体顶部被淋的雨水总量为
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image053.gif"> </SUB>，
　　淋在背上的雨水总量为<SUB>
　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image055.gif"> </SUB>

yunjiang

<><B>　　</B>于是，淋在全身的雨水的总量为
　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image057.gif"> </SUB>
　　显然，被淋雨水总量仍是速度<I>v</I>的单调减少函数，而此时<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image059.gif"> </SUB>，故当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image061.gif"> </SUB>时，被淋雨水总量最少，即
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image063.gif"> </SUB>。<I>
　　</I>这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以只有身体顶部淋到雨；如果行走速度小于<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image065.gif"> </SUB>，则雨水将落在背上，从而使被淋的雨水总量增加。被淋雨
　　总量决定于降雨的密度、身体的宽度和厚度及降雨角度。如果雨以<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image067.gif"> </SUB>的角度落下，你应该以<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image069.gif"> </SUB>的速度在雨中行走，被淋的雨水总量为<I>C</I>=0.24升。<I>
　　</I>当<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image071.gif"> </SUB>时，在雨中的行走速度快于雨滴下落的水平速度，这时你将不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。此时，全身被淋的雨水总量为
　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_06/htm/sxjm6.files/image073.gif"> </SUB>。</P>

yunjiang

　　 综合上面的分析，我们得到的结论是：
　　 1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。
　　 2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。
　　根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。

duanshumo

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coeeoc

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aaron34

<p>谢谢你.</p>