,不仅为了美化校园环境,也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口,现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连(可以利用公园四周的边,即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路,此道路不计入道路总长),使总的道路长度和最小,前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。, X1 ~! J+ f' R7 K+ r. g
主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园,其相关数据为:长200米,宽100米,1至8各入口的坐标分别为:/ R0 T& h" A" J! Y" ~
P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),
) ~ P4 u. l8 Q; @ m P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).9 P8 ^; L2 g. r+ x* f
示意图见图1,其中图2即是一种满足要求的设计,但不是最优的。
# M; i+ U2 e8 u4 `2 m5 a8 p5 B: N8 n现完成以下问题:& {+ m8 s/ V7 k+ d' }/ H7 q
问题一:假定公园内确定要使用4个道路交叉点为:A(50,75),B(40,40),C(120,40),D(115,70)。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计,计算新修路的总路程。
( ~& G! G2 U% g& L ]问题二:现在公园内可以任意修建道路,如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标,画出道路设计,计算新修路的总路程。
+ k. s/ p5 H8 c( _9 w% N# |3 K7 t问题三:若公园内有一条矩形的湖,新修的道路不能通过,但可以到达湖四周的边,示意图见图3。重复完成问题二 的任务。; e7 Z( U1 ~' N" }
其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。
4 ]7 B" D+ O* P: o$ O注:以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通,而不能连到四周的其它点。1 b) S' H% \2 a$ B& q4 T% H& n
2 V4 V; B% |0 b( m+ \4 k图 1 公园及入口示意图
; y3 ]+ d* I4 R1 ^8 Q& ^! s
/ l# P* h6 f2 b& J 图 2 一种可能的道路设计图
" D' L* \+ V R! p& f1 P T+ H ! R% j. w) [+ L% d1 |7 Q
$ ?! |# X7 |" D7 d2 C7 M' ~# K4 J
图3 有湖的示意图 |