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1、 2001 B题 评分标准
2、由于1999年评分答案是错误的，2000年的评分答案基本没有什么内容，故经仔细分 析2001年答案，我们认为有如下不足，请各评委阅卷时注意：
3、两道真正的数学建模题
4、1999、2000、2001建模的 一些补充说明（补公式）
5、2001年 B 建模评述 （评2002年《工程数学》一期）
2001 B题 评分标准
本着公正、尽量将的确是优秀的文章推上全国的目的，结合B题参考答案现给出评分标准。
评分标准遵守的最重要的准则如下：
模型是核心--要求正确、充分的用好已知条件有创意的构建明确、正确的多目标规划模型，表述要清楚、完整，目标的选择要合理、合情。
摘要--适当提高其分值比重，要求摘要简明、清楚的表达文章的整体构思，特别是模型及求解的思想方法，不该说的不说，该说的不能少，要有结果。
具体评分准则如下：
摘要：（10分）要求摘要简明、清楚的表达文章的整体构思，特别是模型及求解的思想方法，优化的目标。不该说的不说，该说的不能少，要有结果。
二、重要假设：（5分）
1：乘客上车是按先到先上车的原则。
2：乘客上下车时间不计（可认为该时间已并入客车正常时速）。
3：客车在各站准点发车，客车平均时速为20km/h。
4：车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
5：所给原始数据是在车辆宽松的情况下得到的，能很好的反映乘客来去的规律。
6：乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟。
7：对全天而言客车公司应基本把所有的顾客运完。
模型的建立：（50分）（这是关键，各位评委要尽力看懂论文细节，判断其正确性）
乘客到达流的分布：（5分）所给原始数据是在车辆宽松的情况下得到的，能很好的反映乘客来去的规律，则乘客上车数的数据即为乘客到达流的数据，可用插值函数计算出乘客到达流的分布。
乘客下车的概率分布：（5分）严格讲乘客在i站上车到j站下车的概率分布p(i,j,t)较难求，但的确可求出。参赛队用各种近似方法较多，要注意其合理性。
客运状态的表述：（10分）注意变量定义是否清楚，营运状态的分析是否合理、清晰。
客运公司的利益表述：（10分）表述是否合理、合情，是否充分合理的用好已知条件（车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%），不要无中生有。
乘客的利益表述：（10分）表述是否合理、合情，是否充分合理的用好已知条件（乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟），高峰期、正常期各权重是否合理，不要无中生有。
多目标规划模型：（10分）是否写出清楚、明确、合理的多目标规划模型，是否合理的化为单目标非线性规划，要注意约束条件的合理性和变量的表述。
求解与结果：（25分）
求解所用的方法：（3分）求解方法实为非线性规划中的网格法和模矢法原理。
解的简化：（10分）是否将变量简明化，即按各时段定隔多长时间发车。怎样求所需客车数。
重要结果：（12分）重要结果是否给出，结果是否可靠（车数40到65）。
进一步讨论与推广：（10分）
1、 数据收集的改进原则：（3分）
（1）调查数据阶段应多密度发一些客车，以保证乘客到达分布和离去分布的准确性。若发车太少会影响乘客到达流和离去流的数据统计。
（2）按原统计时间为一小时统计人数，这样误差较大，可改为按45分时间段统计人数。这样能更好的反映乘客到达和离去的概率分布。当然若选太小的时间段统计也不现实，且统计稳定性会变差。
2、 其它重要指标及计算：（3分）是否有其它重要指标及计算。
7、 结果的检验：（2分）是否有结果检验。
8、 模型评价：（2分）是否有模型评价。
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由于1999年评分答案是错误的，2000年的评分答案基本没有什么内容，故经仔细分析2001年答案，我们认为有如下不足，请各评委阅卷时注意：
1、原题说的是早高峰期顾客一般等待时间不要过5分钟，是可理解的，要赶去上班嘛！下班后一般就没必要赶时间了，可评分标准答案把一般等待时间不要过5分钟扩大到下午的高峰期了！这不合题意。
2、评分标准答案目标函数在权重上均选1/3不太好！应先将前两个同类的目标即：高峰期和平常期顾客满意度先合二为一，其权重按双方人数比定。其后才和客车公司的满意度合二为一。否则会太强调一方的利益。
3、全天的方案应保证运完绝大部分乘客。评分标准答案有用30辆车的方案，要运完绝大部分乘客，这会使高峰期很多乘客等较长的时间，又要赶上班，30辆车的方案不合情理。
（比较（5，3，4）与（6，3，3），显然（6，3，3）比（5，3，4）好的多，且双方均为30辆车，所以我们认为评分标准答案此处搞错了，其本意是说（6，2，2）好，即30辆车的答案是错的，应改为44辆车。实际上所需车辆数在40到65之间都正常，不过理想的解应该是56辆左右，当然要注意收班时起点站和终点站的客车数量是否回到初始状态）。
4、早5点到晚23点平常期均按5分钟间隔发车不好，因早5到6点乘客太少，客车载客太少，晚21到23点也如此。这不利于司机上班，休假。造成公司用的司机太多，成本上升太大。
5、多目标规划虽答案会多样化，但评分标准答案的宽度也太大。
6、评分标准答案顾客和客车公司的满意度函数选择不太好。按国际公认标准最好选平均载客率和平均等待时间（好的解这两个数据为：82%、2.6分钟左右，满载率低于50%的百分比=26%左右），尽管它们有很大的关联。
7、评分标准答案模型复杂了！实际上有更贴题意，简明，可靠，准确的解法！
8、 = 高峰时段候车超时率 = （分母是错的，应改为：高峰时段到来的乘客总人数； = 平峰时段候车超时率，也有这种错误）。
9、乘客离去的慨率分布不会象来那么简单，严格讲乘客在i站上车到j站下车的概率分布p(i,j,t)较难求，但的确可求出。
10、评分标准答案最至命的弱点为：
a(k,j)=max{p(k,T(k,j-1)) - d(j,t)在（T(i-1,j) T(i,j)）的积分， 0 } 其中d(j,t)在（T(i-1,j) T(i,j)）的积分表下车人数，
若在高峰期，前后两辆车发车时间相差较大，则实际下车的人数远比上公式表的下车人数少。这也正是评分标准答案为何会有44辆车就够用的原因。而实际要车数比44辆大的多。
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两道真正的数学建模题
两道真正的数学建模题
（一）卫国战争初期苏德战争模型
1941年的卫国战争是人类战争史上传统战争形式的最高表现，卫国战争初期苏军损失惨重，其原因国内外的史学家有许多说法，请你从数学模型的角度，分析苏军损失惨重的原因，给出苏军合理的战略。并分析为何法军在很短的时间内被消灭，最后请你分析一下朝鲜战争自愿军的战略合理性。
（二）反导弹系统的布防问题
红方有A(1)、A(2)、A(3)、…..A(k)个战区，各有n（1）、n（2）、n（3）、…..n（k）个重要目标需保护，其各个目标价值不一定相同。红方有N枚爱国者导弹，平均击中率为p 。蓝方有中程地对地导弹M枚。红方不知蓝方攻击策略。
（1） 红方N枚爱国者导弹应如何配置到各战区使效益最好？
（2） 若由情报知蓝方有约100枚中程地对地导弹，对红、蓝双方来讲国防经费有限，则红方应生产多少枚爱国者导弹比较合适？
（1）、给出有现实意义的好题目就可认为已解决问题的一半！
我认为1996(B)、1999(A)、2000(A)、2001(B)都出的很好！别的题你可能已忘，但这些题目会让你终生难忘 ！特别是重庆大学出的1996(B)洗衣机节水问题是真正的建模问题，其变量、常量等都要你去找，这种出题方式更接近于实际科研。以上我出的卫国战争初期苏德战争模型也是这种风格。你要去找有关书多看、多想、多做才能解决。
（2）、解决问题不一定非用高深的理论来解
评判的标准就是模型是否很好的解释了现象和本质。哥伦布发现美洲新大陆回到欧洲，在宴会上有人认为这事简单，哥伦布当场拿一鸡蛋问谁能把它立起来，那些人均无法办到，可哥伦布办到了，当然那些人事后会说这很简单！卫国战争初期苏德战争模型正可让你体会这一感受
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1999、2000、2001建模的 一些补充说明（补公式）
(1)、1999年车床换刀问题第一问解法（当年正确解出第一问，就是全国一等奖）
（本解法为国内最简解法，易懂！并可用于彻底求解（2）、（3）两问题）
x：检查间隔； y：刀具的更换周期；
F：一个“周期”内所损耗的费用； t：刀具的寿命； g99(t)为密度函数
H：一个“周期”内所生产的正品的零件数 ；
p=0.98； q=1-p； r=0.4； s=1-r； k=[t/x]； n=[y/x]；
c：一个周期内所生产的每个正品零件所担负的平均损耗费用；
由于给出的刀具寿命t是服从正态分布的，且在一个周期内可能出现三种情况：（1）、刀具寿命t大于刀具更换周期y；（2）、t落于y与nx之间，nx为离y最近的一个检查点；（3）、t落于0到nx之间；因而在建立模型时应划分为三段考虑。
问题⑴的模型：一个周期内的损失费用F为：
分段函数F（t）: t>y F=10n+1000; n*x<t<y F=10n+200(y-t)+1000;
0<t<n*x F=10k+10+200((k+1)x-t)+3000;
则一个周期损耗费用的平均值为: E(F),
( F=F(t) 是随机变量函数, E(F)为数学期望 )
一个周期所生产的正品零件的数目H(t)为: t<y 时 H=t ; t>y 时 H=y ;
一个周期所生产的正品零件的平均数目为: E(H) , (E(H)为数学期望)
目标函数为: min c = E(F)/E(H)
设f为考虑5%的其它故障所产生的平均费用：则目标函数改为:
min c = E(F)/E(H)+d*f/11400
其中： f=200(0.5x)+(3000-1000/2) d=g99(t)在（y 正无穷）上积分。
由于5%的其它故障服从均匀分布，为简化计算我们可认为5%的其它故障发生在第11400件产品上，取代无5%的其它故障时的情形。由此来看该产品所在周期记费的差别。我们可合理的认为故障点在x、y的中点。当然也有误判情况。很明显双方记费主要差别在t>y时的情形。上式的d为此情形的概率。双方还应有3000与1000的费用差别(3000-1000/2),不过这对解（x，y）引响不大。
模型（1） x=18 y=359 4.81元； 无5%时： x=18 y=359 4.47元。
比较 x=18 y=360 4.93元； x=18 y=360 4.60元；
模型（2） x=45 y=314 10.12元； 无5%时： x=53 y=316 9.3元。
比较 x=45 y=315 10.38元； x=52 y=314 9.6元；
模型（3） x=14 y=335 9.60元； 无5%时： x=23 y=321 9.05元。
比较 x=14 y=336 9.68元； x=23 y=322 9.1元。
顺便说一下，模型（1）也可用如下方法计算: 1/cn=1/a+1/b a=a1+a2 b=11400, a1为发生故障时所在周期平均生产的产品数, x/2为平均次品数。（解为x=18,y=360 l=4.96）
l=1000/y+10/x+200*(x/2)/cn+(3000-a1*(1000/y))/cn
a1=t*g99(t)/F(y)在（0 y）上的积分；a2=y*(1-F(y))/F(y)
F(y)=g99(t) 在（0 y）上的积分。此法无法解第（2）、（3）两问题。
评分标准用公式 l=1000/y+10/x+200*(x/2)/cn+3000/cn 解有错误。
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(2)、2000年DNA分类
解此题需要：艺术的构思、浪漫的想象、运气的光临！
对这5种字符串的频数进行简单的代数和运算，把本来有些差异较大的部分给抵消了，而这些差异较大的部分本身就可以进行分类了，结果淹没了某些重要的特征。就如早期的天文望远镜，由于色差的干扰，观察天体时总会产生晕光现象，没法清晰的显示原象,这也正是为何中国科大的论文获一等奖，但正确率只有56%的原因。为了避免这种情况，我们尽力采用各分量分离的商的运算，避免相互间产生干扰。人类的日常生活中我们也常用商的运算，如经济指标中的利润率、生产率等。我们定义：
X=序列中字符串ttt的频数 / 序列中字符串tta的频数；
Y0=MAX{序列中字符串gga的频数, 序列中字符串ggc的频数}
Y=Y0 / 序列中字符串cgg的频数；
Z=序列中字符串gga的频数 / 序列中字符串ttt的频数；
d1=1.455, d2=1.25, d3=3.626, d4=0.2223 分类判别式为：
（正确率为90.53%）
后两种情况均为A类: (Z>d3;) 或 ( d4<=Z<=d3时 X<d1 或 Y<d2 )
后两种情况均为B类: (Z<d4;) 或 ( d4<=Z<=d3时 X>=d1 且 Y>=d2 )
若 d11=d1+0.2885 d22=d2+1.4, 若规定 d11 > X > d1 同时
d22 > Y > d2 时为A类，最后得出正确率高达92.73% 的分类,（X,Y,Z）投影到XOY平面有很好的视觉效果。
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(3)、2001(B)
3．乘客、车辆运行规律（此表对于上行方向）
m 辆车在 n个站的行车时刻表 t(i,j) 为矩阵
第 i 站到第 i+1 站的距离： x(i)
第1 辆车到第 i 站的时间： t(1,i)
第1 辆车经过第 i 站时站上等待的人数 ：F(1,i)
第1 辆车经过第 i 站时上车的人数: a(1,i)
第1 辆车经过第 i 站时下车的人数: b(1,i)
第1 辆车在第 i 站到第 站车上的人数: s(1,i)
第1 辆车经过后第 i 站剩余的人数： F(1,i) -a(1,i)
易知：
上车人数a(1,j) = b(1,j) （F(1,j)>c(1,j) 时）
a(1,j) = F(1,j) （F(1,j)<=c(1,j) 时）
a(1,n)=0 下车人数b(1,1)=0 b(1,j)=a(1,i)*p(i,j,t) 对i从1到j-1求和，（其中p(i,j,t)为在 时段第 i站上车的人在第 j站下车的概率。）
其中：c(1,j)=120--(a(1,i) i从1到j-1求和 -- b(1,i) i从2到j求和)
(c为车上空位数，很好的控制120%）， c(1,1)=120
车上人数s(1,j)=(a(1,i) i从1到j求和--b(1,i) i从2到j求和)
（前面上的总人数—前面下的总人数）
显然当t(1,1)已知时，通过各站乘客到达分布函数可计算站上等车人数F(1,1)=F1(t(1,1))，从而可知a(1,1)，因乘客下车分布p(i,j,t)已知，从而可导出b(1,2)=a(1,1)*p(1,2,t)，……依次类推我们可得到第一辆车运行状态的有关数据。第二辆车类似的有这一状态：但在第2辆车经过的第 i站时站上所有等待的人数F(2,1) F(2,2) …….分别等于：F(1,1)-a(1,1)+F(2,1)的增量，……… Fi(t)为第 i站乘客到达的分布；其它类似于第1辆车的情况，依次类推可导出各车的运行情况。以上分析是彻底解决本题的关键。略后面……！！！
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:...... 2001年 B 建模评述 （评2002年《工程数学》一期）
一、 国防科技大学：74分
本文成功的用遮眼法盖住了自己的缺点！获得评委好评！
(有新意、解接近最优解、求车数方法对、2*243、1.5分7-8点、5和10分钟用得不好)
车数62=57+5, (调为56)，上行满载率=76.4%，等待时间=4.24分，下行=（71%，3.48分），
.k=0.9
在上情况下求平均满载率、平均等待时间。比较选优。 原解法求乘客等待时间有问题。
（到站均匀分布（自已说出不好）、滞留时间？、数据采集建议有，不可行)
二、 西安电子科技大学：55分
最差的文章！！！
客流分布讨论过分（综述按）（2页），正文1.5页，错用排队论解（编者按）（2页），
估算最少车数=47，乘客满意度中的等待时间W(i)缺求解方法，50%和120%没真正用上，
到站均匀分布。长篇论述乘客到来分布，为舍本逐末。 它为何被选为范文呢？
实为很差的文章！！！
三、 空军工程大学：78分(56、85%、1.15%、511、2分6-9点、)
假设每辆车经过的站不会留有顾客（这是最聪明的假设！但也是无法使文章上台阶的弱点！！！），时段中客到站服从均匀分布。 4个要求均谈到。
max F=0.2Z-0.3C-0.5W
（作者）本方法要求各时段上下车人数相等，而实际数相差较大，…….细分时段！
显然作者没正确解释原因。作者最后也看到了“假设每辆车经过的站不会留有顾客”这一假设的不好之处。但本文的确是这几篇文章最好的！ 可看出作者对问题有较深的认识。
四、上海交大：72分（图解法有新意、车70=63+7、严卡5、10分车多，4个要求均谈到）
发车时刻表较乱，误差较大，没正确解释各时段上下车人数相差较大的原因。
五、四川大学：70分（1.43分7-8点、车48、4个要求均谈到但用的不太好）
用概率描述乘客的利益，用线性规划求解，误差大，
六、评分标准答案（清华谭泽光，姜启源）：84分（车30=15+15、44=22+22、60=45+15）
（5，2，3）平峰超车率=0.05，高峰超车率=0.133，低于50%的段率=0.34，车44=22+22，
较好的处理乘客等待。最主要的问题是：车到站后下车人数的处理有问题，放大了下车人数，导至用车较少44辆就可。没解释各时段上下车人数相差较大的原因。
七、北京理工大学（刘宝光综述）：87分（方法同上，改进了一些小的问题）
1、 本题相当复杂，有相当数量的论文没有完整、明确的数学模型。
2、 长篇论述乘客到来分布，为舍本逐末。
3、 虽说乘客到来是分散的，走是成批的，但统计数据没反映这一区别。
4、 乘客等待时间的计算较曲折。（通常的论文表述不出）
5、 这次的答卷有表现极好的，但不多。
6、 不少论文理论与计算脱节。
八、本文：95分(应该说是很完美的)
（车57=55+2、平均载客率82.5%、平均等待时间（2.71+2.38）/2=2.55分、7-8点每1.5分发车、低于50%的公里数比为（0.17+0.33）/2=0.25，发车235+233=468次）
{6.9 2.4 1.5 2.5 5 5.1 4.5 5.5 8.5 6.5 9 2.8 2.8 7.2 9.6 9.6 9.6 30}，
{26 6 2.4 2.1 3.7 5.9 6.7 8.4 7.5 6.5 5.4 3 1.9 2.7 6.3 8.2 8.2 11}
乘客平均
等待时间(分钟) 乘客满意度 客车载客率 公司满意度 车次 平衡度
上行方向 ２.712 0.7288 0.8599 0.5142 235 0.6215
下行方向 2.38 0.7620 0.7912 0.4161 233 0.5891
全天综合 2.5549 0.7445 0.8257 0.4654 468 0.6049
备 注 所需车数:57 起始点分布:A0: 2 A13: 55
【摘要】本问题是客车调度问题，可转化为多目标规划求解。我们首先对基本数据进行分析，得出上下行方向可独立优化，并通过立方插值找到了各站乘客到达的分布, 虽然各时段乘客在各车站下车的分布概率较难求，但我们巧妙，合理的找到了它。反映客运公司和乘客的利益有多个指标，但我们认为载客率和乘客等待时间是其核心，我们将其作为两个目标形成多目标规划。通过分析各客车运行状态，推导出了平均载客率和平均乘客等待时间的准确计算公式，从而得到原问题的一个明确、完整的数学模型，按多目标规划的方法求解，即化多目标为单目标求解。在数值求解中我们用非线性规划中的网格法和模矢法原理找到了本客车调度问题的满意解。其典型解的有关指标为：载客率为：82.5%；平均等待时间为：2.55分；所需客车为 57辆。
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发表于 2003-8-3 16:23:26
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