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zhougf168 · 发表于 2004-9-26 17:17:34

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align=center>熊金城《拓扑学》解答
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155第2题
2．证明 （1）先证明<v:shapetype> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是有限集：用反证法．若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是无限集，由于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间，则<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中每一个单点集都是闭集，对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，集<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>都是开集，因此拓扑空间<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中有无穷多个不同的开集：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，这里<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．又<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>有一个基只有有限个元素，它们的元素之并集只能组成有限个不同的开集，即知<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中的开集只有有限多个，矛盾．故<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是有限集．
 （2）再证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是离散空间：因为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间，而<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中的任何子集都是有限集，所以都是闭集，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中的任何子集都是有限集的补集，故又都是开集，所以<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是离散空间．
 
拓扑学解答（2）
P155第3题（2）
证明 （2）先证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间：由于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间，故也是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间，对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中的任意两个不相同的点，如果这两个点都不是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则有一个点有一个开邻域不包含另一个点；如果这两个点有一个是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则对另一点记为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>）而言，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是包含点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的一个开邻域，并且<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，所以<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间．
再说明<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>不是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间：由于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故包含<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的开邻域只有一个，就是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，因此对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>而言，包含<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的开邻域一定包含<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，所以<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>不是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间．
拓扑学解答（3）
P155第9题
证明 （1）若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间，则对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中任意两个不同的点，存在一个点的一个开邻域不包含另外一个点，又<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故上述开邻域也是该点在拓扑空间<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>下的一个开邻域，它同样不包含另一个点，得到<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>也是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间．
 （2）若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间，则对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中任意两个不同的点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>与<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，分别各自存在一个开邻域不包含另外一点，又<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，这两个开邻域也是点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>与<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在拓扑空间<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>下的开邻域，它们同样不包含另一个点，得到<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>也是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>空间．

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