2004年大学生数学建模竞赛 A题参考答案一

zhongzhong · 发表于 2004-9-21 06:19:03

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>原论文如下:
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>2004年大学生数学建模竞赛 A题参考答案一 
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> 哈鬼 <a href="http://www.shumo.com/bbs/mailthagui.student@sina.com" target="_blank" >hagui.student@sina.com</A>
 总的而言,这是一道相当优秀的建模题: 与时事紧密相连; 涉及内容包括数理统计, 经济学常识, 数学计算软件的使用等; 留给参赛者的想像空间非常大, 主要考察是参赛者的审题能力与创造能力. 
一．审题： 
 首先要看懂题目内容,排除二个陷井,第一个是奥运会旁边的那个商场,其实它只是提供餐饮的;第二个是针对图三的调查数据, 第三个图只是所调查的对象而已，哪些数据可以适用到图二，哪些是针对图三这个具体地点得出的数据，要分清，比如，年龄在观众中的比例，四种交通方式选择者的比例，三种餐饮方式的比例，六大消费比例，这些是可以适用于奥运会现场的。其他的，比如，选南北公交与选东西公交者在观众中的比例，选地铁东与地铁西者在观众中的比例，是不能适用到奥运会现场, 公交和地铁在access中分方向是第二个陷井, 这是因为： 
1.被调查运动场和奥运场不是同一地点， 
2.地铁没有必要分方向----很明显这是同一条路线上的两上站,只有傻子才会跑到远的站去坐车. 
3.在A题提供的access说明中: 出行四种,餐饮三种. 
二．模型假设：
1.每天每个看台上人数相同，都是G万人（G≤1），为了简约，以下总设G=1。
2.任意人流中，各年龄段百分比，出行方式百分比，就餐方式百分比，消费档次中百分比与调查统计得出的数据相同,设年龄比例为α1, α2, α3, α4;四种出行方式比例为β1, β2, β3, β4; 三种就餐方式比例为γ1, γ2,γ3; 从而可以计算出人均消费额, 记为g.
3. 公交一律按就近坐车原则选择最近的车站，地铁也一样。
4. 任何人外出后按原路线返回。
5. 任何人在出行或就餐时购买欲望相同;
在他所经过的每个商区消费的可能性是相同.
6. 运作过程中, 可变成本在销售额中所占的比例, 对大小超市是一样的,记为π, 这是一个参数(当然,在现实生活中对某种类型的商店是很容易得到这个参数值的).
二.模型分析.
 首先,我们约定把A,B,C三大区的20个小区依次记为第1区,第2区,….第20区.
 购买者对经过的某一个商区的购买欲望，我们不能简单地想象为在他所在的看台欲望最大，因为：
 对食品等在赛场上用的商品，顾客一般会在最里面的商区（他所在的看台）买，因为怕难提；但对纪念品则一般在最外面的商区买，因为他要回去了，所以，有必要认为顾客在任何一个商区消费是等可能的，具体操作为：设购买者的购买欲望与购买者经过的商区个数成反比，经过的商区越多，欲望越少，并且分摊在所有经过的商区的欲望之和为1 
我们把这些分数用于加权人流量：
 设某小区出去的吃中餐的人(不妨设为W人)还要经过其他三个小区,那么这部分人对这四个小区的人流量都增加W人,但这部分人其实有四种选择的,故对这其中的任意一个小区的购买力只增加了1/4W人.我们称第i区加权后的得出的人流量为有效人流量，记为Ri。很明显,20个区的有效人流量之和为40万. 有效人流量可以等价地看成商区的购买力.
 称超市平均每天满足的有效人流量为该超市的容量. 不妨设每个大超市的容量为P，每个小超市容量为p. 设C为大超市的每天平摊的固定成本，c 为小超市的每天平摊的固定成本（C＜c)；设固定成本与超市的最大容量成正比，系数为k；因此，C=kP，c=kp.
布局规则：
1. 在i区设置[Ri /P]个大超市；其中[ ]表示取整. Ri可以根据假设1－5求出，P是待定参数；所以对于任意商区, [Ri /P]是根据P确定的值，不妨记为Ni．
若 Ri≥大超市的容量P，则Ni≥1,
若 Ri＜大超市的容量P，则Ni=0,
2．再在i区设置[(Ri-Ni)/p]个小超市,记为ni,类似地,这是根据P和p确定的值；因此
0≤Ri-P×Ni-p×ni ＜p,
若Ri-P×Ni-p×ni=0, 则所选定的大小超市的容量总和等于i区的有效人流量.
若0＜Ri-P×Ni-p×ni＜p呢? 到底还在这里增设几个小超市呢?答案只有1和0, 为了方便, 我们令xi为i区的增设小超市个数, xi 取值1或0. (之所以让xi 取值为0或1,是因为这样可以保证最大程度地满足本区的有效人流量.)
三.建立模型.
 对一个商区的每一天而言,
 利润=销售额-(日平摊的固定成本+可变成本) 
 =销售额-每天的可变成本-日平摊的固定成本 
为方便起见，以下把上式简写成：
 利润=销售额-可变成本-固定成本 
 =(1-π)销售额-固定成本 (1)

其中, π为可变成本在销售额中的比例(见假设6).

我们把(1)式改写成目标函数:
Max f(x)= (1-π) ×g×∑(xi×ni+ Ni×P+ ni×p) 
 -{ C×Ni+c×(ni+ xi)}
 = (1-π) ×g×∑(xi×ni+ Ni×P+ ni×p) 
 -{ kP×Ni+ kp×(ni+ xi)}
 = (1-π) ×g×∑( Ni×P+ ni×p) 
 + g×∑(xi×ni) -{ kP×Ni+ kp×(ni+ xi)}

 
 =∑{(1-π) ×g× ( Ni×P+ ni×p) - kP×Ni - kp×ni }+∑{ (g×ni- kp)×xi } 
 根据布局规则, 上面最后一个等式的划线部分是可以看作常数,这是因为g为人均消费额,是常数, Ni和 ni是根据参数P和p得出的数; 既然是常数项, 我们就只需考虑以下目标函数:
Max f’ (x)= ∑{ (g×ni- kp)×xi }
(其中, ∑表示对i从 1至20求和).
 然后考虑约束条件:
 约束条件1. 满足所有人的购物需求,即所有超市容量和必须不小于20个商区的有效人流量之和:
 ∑{xi×ni+ Ni×P+ ni×p}≥40

移项,得
 ∑{ ni×xi }+≥40-∑{Ni×P+ ni×p}
在上式中, 40后面的和式是一常数，所以这是个线性不等式约束.
约束条件2. xi=0或1.
至此, 我们把大小超市布局问题化为了整数线性规划问题,

建模:
 Max f’ (x)= ∑{ (g×ni- kp)×xi }
 s.t. ∑{ ni×xi }+≥40-∑{Ni×P+ ni×p }; （2）
 xi=0或1 .

四.模型求解.
g是已知数，P，p，Ni和ni都是可以指定的，故我们可以用一组实际数据代入模型中, 利用数学软件Lingo进行求解得最优解为x, 此时f’ (x)取值为f’ (x).
然后对π赋一具体值, 就得到了f(x)= ∑{(1-π) ×g× ( Ni×P+ ni×p) - kP×Ni - kp×ni }+ f’ (x), 具体过程略.

五.模型检验.
 分析求解的结果, 说明这个模型是能较好的模拟现实运动会的. (略)
后记: 在线性规划式(2)中,变量中没有大超市个数,
初一看起来会觉得这个模型不太合理; 但是只要仔细观察能得知: 正是这些个数没有列为变量,才使得布局均衡与利润非负二要求兼顾(首先考虑的是布局均衡), 认真阅读题目不难发现均衡是第一要求, 利润大小是次要的, 这与社会主义中国主办奥运会的服务宗旨(全心全意为观众服务)相一致.
 水平有限, 望指正,
 也希望看到大伙的模型.

[此贴子已经被作者于2004-9-21 23:56:35编辑过]

Cauchy625 · 发表于 2004-9-21 09:17:23

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>不错，很多地方的想法和我是一样的！

quite6 · 发表于 2004-9-21 18:19:07

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>恩，想法和我们的也差不多，可是楼主为什么不把具体数据也贴出来？<

>分析的方式不同的组会有不同的方法，<

>所以结果才能看出来差别的大小及合理性。

crave0531 · 发表于 2004-9-21 20:13:53

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>把人流量近似为购买力的做法是不严密的，因为购买力与出行方式有关，不同的交通方式和不同的餐饮方式的人群的购买力是不同的，这一点可以从给定的统计数据看出来。
<

>不知道大家作第三问感觉怎么样，我们最后因为问题的模糊性和不确定性而浪费了大量的时间和精力来考虑，以至于最后匆忙的交了论文，我认为出题认识没有必要让参赛者自行设计商亭的各种参数的。

很奸的鱼 · 发表于 2004-9-21 20:16:42

某些地方说的很有道理,和我们的想法接近,比如怎么考虑图3到图2的移植性,有些地方就不是很对了

Cauchy625 · 发表于 2004-9-21 21:46:42

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>“公交一律按就近坐车原则选择最近的车站”？<

>那你的意思是公交东南西北任何一个车站都能满足所有人的需要，这样好象不符合实际把，所以我觉得还是分开作比较好。

Cauchy625 · 发表于 2004-9-21 21:50:17

<DIV class=quote>以下是引用crave0531在2004-9-21 12:13:53的发言：

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>把人流量近似为购买力的做法是不严密的，因为购买力与出行方式有关，不同的交通方式和不同的餐饮方式的人群的购买力是不同的，这一点可以从给定的统计数据看出来。</DIV>
<

>这样应该可以的把，我们算过人流量和购买力的相关系数，好象是0.999954844，所以我觉得随便用人流量或购买力来考虑都是一样的，不过我们选的是用购买力来考虑。

quite6 · 发表于 2004-9-22 04:45:12

<DIV class=quote>以下是引用crave0531在2004-9-21 12:13:53的发言：</DIV>
<DIV class=quote>不知道大家作第三问感觉怎么样，我们最后因为问题的模糊性和不确定性而浪费了大量的时间和精力来考虑，以至于最后匆忙的交了论文</DIV>
<

>完全同意，就是因为第三题，让我们交了论文还很郁闷

rainie13 · 发表于 2004-9-22 05:42:54

<> 选南北公交与选东西公交者在观众中的比例，选地铁东与地铁西者在观众中的比例，是不能适用到奥运会现场, 公交和地铁在access中分方向是第二个陷井, 这是因为： <>1.被调查运动场和奥运场不是同一地点， <>2.地铁没有必要分方向----很明显这是同一条路线上的两上站,只有傻 子才会跑到远的站去坐车. 3.在A题提供的access说明中: 出行四种,餐饮三种.

不是很同意~~~~~~~，虽然有道理，可是公交和地铁的两条线是不同的呀！~我也同意这道题太开放了，规模我们是用面积来衡量的，用销售额也行因为太开放，所以我们三个人都很难统一意见，争论的时间都花了好多！~[em06][em06]

toby · 发表于 2004-9-22 05:59:58

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>基本上说，这个题目做出来不难；<

>但做得出色有点难度，可以拓展的方面和方法太多了，因为是个联系实际的题目，做到实用、科学性就更难了，而最难的就是把你的思路和做的所有工作清晰、明确的写出来。

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2004年大学生数学建模竞赛 A题参考答案一

并不周全