第十五讲 微分方程模型——种群间相互作用模型

yunjiang

< align=left>　　这一讲我们看一个其他领域的实际问题的模型，我们将再一次看到不同领域问题却具有类似数学模型的例子。
　　<b>战争模型</b>
　　第一次世界大战期间，一位叫做兰澈斯特（<SUB><IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image002.gif"></SUB>）的数学工作者提出了几个预测战争结局和规律的数学模型。后来，人们就把他经过模型所发现的战争规律称之为“兰澈斯特律”。
　　兰澈斯特提出的模型非常简单，因为他仅考虑以下因素：
　　1．双方兵力的多少和战斗力的强弱，同时考虑兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；
　　2．战斗力即杀伤对方的能力与射击率，即单位时间内的射击次数、射击命中率；
　　3．战争类型：包括正规战，游击战以及二者混用的战争类型—混合战；
　　4．交战双方的政治、经济、社会等因素均不予以考虑。
　　自然地，如此简单的假设条件决不足以刻划和估计战争结局。但对于局部战役来说，还是有参考价值的。重要的是，其建模的思路和方法值得我们借鉴。分别介绍如下。</P>

yunjiang

<b>　　一般战争模型</b>
　　用<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image004.gif"> </SUB>和<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image006.gif"></SUB>分别表示甲乙交战双方在时刻<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image008.gif"></SUB>的兵力，可视为双方的兵力人数。有以下假设：
　　1．各方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image010.gif"></SUB>和<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image012.gif"></SUB>表示；
　　2．各方的非战斗减员率（如因疾病、逃跑等因素）与本方的兵力成正比，比例系数分别为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image014.gif"></SUB>；
　　3．各方的增援率是给定的函数，用<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image016.gif"></SUB>和<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image018.gif"></SUB>表示。
　　由此便可以写出关于<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image020.gif"></SUB>的微分方程应为
　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image022.gif"> </SUB>  
　　以下将针对不同的战争类型讨论战斗减员率<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image024.gif"></SUB>的具体形式，从而分析影响战争结局的因素。

yunjiang

<b>　　正规战争模型</b>
　　所谓正规战争是指交战双方都使用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image026.gif"></SUB>即可。
　　假设甲方士兵公开活动而处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内。一旦甲方士兵之一被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，因此甲方的战斗减员率仅与乙方兵力有关，可以简单地设<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image027.gif"></SUB>与<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image029.gif"></SUB>成正比关系，即有<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image031.gif"> </SUB>其中<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image033.gif"></SUB>表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），也称为乙方的战斗有效系数。又<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image035.gif"></SUB>可进一步分解为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image037.gif"></SUB>，其中<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image039.gif"></SUB>是乙方的射击率（每个士兵单位时间内的射击次数），<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image041.gif"></SUB>是每次射击的命中率。
　　完全类似的分析可知，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image043.gif"></SUB>而甲方的战斗有效系数<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image045.gif"></SUB>，其中<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image047.gif"></SUB>和<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image049.gif"></SUB>是甲方的射击率和命中率。于是，上述模型便被简化为
<SUB>　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image051.gif"></SUB>，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image053.gif"> </SUB>              
<SUB>　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image055.gif"></SUB>，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image057.gif"> </SUB>

yunjiang

<b>　　</b> 在分析战争结局时，如果再忽略非战斗减员（因为与战斗减员相比，它是很小的），并且假设双方都没有增援，则上述模型进一步简化为
　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image059.gif"> </SUB>，  <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image061.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image063.gif"> </SUB>，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image065.gif"> </SUB>（3.28）
　　其中的后两项分别表示甲乙双方的初始兵力条件。
　　这个方程组当然可以求解析解。但是，在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易判断双方的胜负结果。事实上，由方程组（3.28）有 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image067.gif"> </SUB>
　　其解为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image069.gif"> </SUB>  （3.29）
　　代入初始条件，有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image071.gif"> </SUB>  （3.30）
　　我们来做分析：由（3.29）式确定的相轨线是双曲线族。如图3—3所示，图中的箭头表示了随时间<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image073.gif"></SUB>的增加，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image075.gif"></SUB>的变化趋势。可以看出，如果<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image077.gif"> </SUB>，轨线将与<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image079.gif"></SUB>轴相交。也就是说，存在时刻<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image081.gif"></SUB>，使得<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image083.gif"> </SUB>，即当甲方兵力为零时，乙方兵力为正值，这表明乙方获胜。同理可知，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image085.gif"> </SUB>时，甲方获胜，而当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image087.gif"> </SUB>时，双方战平。

yunjiang

　　让我们再进一步，分析一下某一方取胜的条件。由（3.30）式并注意到<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image089.gif"> </SUB>的含义知，乙方获胜的条件可表为
　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image093.gif"> </SUB>              （3.31）
（3.31）式说明双方初始兵力之比<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image095.gif"> </SUB>以平方关系影响着战争的结局。例如，若乙方兵力增加到原来的2倍而甲方的不变，则影响战争结局的能力增加到4倍。换句话说，若甲方的战斗力譬如射击率<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image097.gif"> </SUB>增加到原来的4倍（注意其他因素如<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image099.gif"></SUB>等都不变），那麽，为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image101.gif"></SUB>增加到原来的2倍即可。正是这个原因，正规战争模型也称为<B>平方率模型</B>。
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image103.gif">
　　　　　　　　　　　　　　图3—3

yunjiang

<b>　　游击战争模型</b>
　　所谓游击战争是指双方都是用游击部队参战。
　　假设甲方士兵是在乙方士兵看不到的某个面积为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image105.gif"></SUB>的隐蔽区域内活动，因此，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，自然不清楚杀伤情况。这时，甲方的战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加。由于在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多，故可以假设<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image107.gif"> </SUB>且乙方战斗有效系数<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image109.gif"></SUB>可表为<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image111.gif"> </SUB>，其中<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image113.gif"></SUB>仍为射击率，而命中率<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image115.gif"></SUB>则等于乙方一次射击的有效面积<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image117.gif"> </SUB>与甲方活动面积<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image119.gif"></SUB>之比。
　　类似地有<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image121.gif"> </SUB>。于是这个模型化为
　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image123.gif"> </SUB>
　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image125.gif"> </SUB>
　　仍然忽略<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image127.gif"></SUB>并设<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image129.gif"></SUB>（没有增援），在同上的初始条件下，上式化简为
　　 　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image131.gif"> </SUB>
　　<SUB> 　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image133.gif"> </SUB>  （3.32）

yunjiang

　　使用和正规战争模型中方程的类似解法，问题（3.32）的解为
　　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image135.gif"> </SUB>  （3.33）
　　　　　　　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image137.gif"> </SUB>  （3.34）
　　（3.33）式所确定的相轨线是直线族，如图3—4所示。与分析正规战争模型一样可知，当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image139.gif"></SUB>时乙方获胜，<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image141.gif"></SUB>时甲方获胜，而当<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image143.gif"></SUB>双方战平。
　　同样，乙方获胜的条件还可以表为 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image145.gif"> </SUB>
　　即初始兵力之比<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image147.gif"></SUB>以线性关系影响战争结局，并且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面积<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image149.gif"> </SUB>与增加初始兵力<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image151.gif"> </SUB>起着同样的作用。这个模型也称为<B>线性率模型</B>。
　　完全类似地，可以讨论所谓<B>混合战争模型</B>，这里从略。
　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_15/htm/sxjm15.files/image153.gif">
　　　　　　　　　　　　　　 图3—4

duanshumo

谢谢你的帖子

coeeoc

<>太感谢了</P>

lf_storm

厉害，又写了这么多