第八讲初等数学模型（1）——类比法建模实例

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:58:30

一、动物的身长与体重
　　对本例我们拟采用类比方法建模。如前所述，类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法。因此类比法是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路，是建立数学模型的一种常见的、重要的方法。也因此，用类比法建立数学模型要求建模者具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系。本讲我们用类比法先来研究四足动物的身长和体重。
　　问题提出 
　　在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重。试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系。
　　众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化。因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，建立四足动物的身长和体重关系的数学模型。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:58:48

模型假设与求解
　　首先注意这样一个事实：对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与什么相类似呢——弹性梁。
　　为讨论问题简单起见，把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l、直径为d、断面面积为S（如图）。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系。　　　　设动物在自身体重（记为f）的作用下，躯干的最大下垂度为b，即弹性梁的最大弯曲。根据对弹性梁的研究，可以知道
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/images/01.gif">
 　　　　　　　　　　　　　　 图2—1
又由于 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image006.gif"> Sl（体积），于是
　　　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image008.gif">。 
　　 b是动物躯干的绝对下垂度，b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l已经达到其最适宜的数值，换句话说，b/l应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关。因此
　　　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image010.gif"> ，
又由于 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image012.gif"> ,故
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image014.gif"> 。
　　即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比。这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:59:19

<

>　　模型评注
　　在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验。但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的。在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题。因此，平时学习时应广泛地涉猎各门学科的知识，研读一些典型的建模实例。值得指出的是，一般说来，由类比法得到的数学模型的正确与否，还须不断接受实践的检验。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:59:36

二、建筑物的振动研究
　　高层建筑物在外力的影响下会发生振动现象，这对居住于高层建筑内的人和常外出居住的人已习以为常。问题是这种振动是否存在危险性？这是建筑工程设计人员必须严肃面对的重要问题，而要做到设计施工万无一失，首当其冲者是建立其数学模型给予严格的定量化分析。若要评定一个新的或已有的建筑物的振动问题，需要了解一些建筑物的动态特性和建筑物的固有频率等，这里就有一个如何建立起相应的数学模型来对建筑物的关键数学特性给以确定，以便对建筑物振动问题进行评估的问题。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 09:59:52

问题分析与类比假设
　　考虑如图2—2所示的建筑物，它画出了一座高层建筑物简单的示意图，其迎风面的整个高度上风压的作用是均匀分布的。
　　风产生的空气动力推压建筑物使它弯曲（虚线所示），并在顶部产生最大位移。由于一个建筑物是由弹性结构部件组成的，所以我们期望它能忍受风力的作用所产生的弯曲，并且当风力消去时它又能回复到原来的位置。在这种意义上我们可以假设建筑物是一个具有一定刚度和质量的系统，这样，建筑物模型便可以被简化为如图2—3所示的弹簧——质量系统。问题在于：确切表示建筑物振动特性的固有频率的值是多少？ 
　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image016.jpg">
　　　　　　　　　　　　　　图2—2
<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image018.jpg">
　　　　　　　　　　　　　　图2—3

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:00:09

<

>　　类比建模与求解 
　　根据弹簧-质量系统的固有频率公式 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image020.gif"> ，只需求出k（弹簧刚度）与m（质量）。一个可行的做法是考察在一个给定风力加载情况下，建筑物的顶部位移，然后利用这个数据推算建筑物的刚度k,而建筑物的质量则可向建筑工程师们索取。我们具体计算一个实例。
　　假设一幢有30（米） <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image022.gif"> 30（米）矩形横截面的高层建筑物，在这个横截面上将承受8级风力，楼高为300米（这可是个摩天大楼!），用仪器测得此时的顶部位移为0.038米。这种强风在建筑物的迎风一侧可以产生670牛顿/米 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image024.gif"> 的压力，总风力可计算为
　　　　 670牛顿/米 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image026.gif"> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image027.gif"> 30米 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image028.gif"> 300米=6.03 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image029.gif"> 10 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image031.gif"> （牛顿）
为计算建筑物刚度，假设此力集中在建筑物的中部，且该点的位移是顶部的一半，即0.019米，则有刚度值
　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image033.gif"> 
　　又从建筑工程师的资料中知道建筑物重量 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image035.gif"> 公斤，代入频率公式便得其固有频率为
　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image037.gif"> =0.00897（赫兹）
对于这样一个摩天大楼来说此频率是相当低的，可尽管放心。
　　模型评注
　　利用类比原则将复杂的建筑物的振动问题转化为一个简单的弹簧振动问题，这种类比是常见的，尤其在涉及振动类问题时，这种类比往往是成功的。

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:00:25

<

>　　三、关于自然数平方的倒数和公式
　　所有自然数平方的倒数和
　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image039.gif"> 
　　这个问题曾难倒了18世纪中的一批数学家。著名数学家伯努利（Bernoulli）便开始征集其解答。欧拉（Euler）得知这一消息后，使用三角方程与代数方程作类比，并将无限的未知和与有限的已知和作类比，得到了其结果。其具体类比过程如下：
　　首先，他考虑只含偶次项的2n次代数方程
　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image041.gif"> （2.1）
其中b <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image043.gif"> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image045.gif"> 0。如果它有2n个互不相同的根
　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image047.gif"> 
则有
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image049.gif"> 
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image051.gif"> 
由此可知（展开右端，按x的幂整理后与左端作同类项比较）
　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image053.gif"> （2.2）

yunjiang · 发表于 2004-7-22 10:00:44

其次，他研究了三角方程
　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image055.gif"> （2.3）
并把它看成是只含偶次项的无穷项代数方程。由于此方程显然含有相异根
　　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image057.gif"> 
于是欧拉采用类比方法，将（2.1）和（2.3）作类比，得
　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image059.gif"> 
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image061.gif"> 
再注意到（2.3）的平方项系数与（2.1）式相对应性，便得到
　　　　　　　　　　 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image063.gif"> 
两端乘以 <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image065.gif"> 就得出了
　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_08/htm/sxjm8.files/image067.gif"> 
　　它恰是所有自然数平方之倒数和公式。当然，这仅仅是类比的结果，十年后，欧拉对它作出了严格的数学证明。
　　从以上三例可见，类比方法是发现定理、公式时提出猜想的一种重要方法。在我们建立数学模型时，一旦现有方法难以奏效，就不妨大胆地使用类比法进行一番尝试，或许就能成功或者给我们以启发。在以下各讲中还会多次用到类比法。

duanshumo · 发表于 2004-7-24 00:38:09

谢谢你的帖子

coeeoc · 发表于 2004-8-10 02:39:58

谢谢，非常感谢

		自动登录	找回密码
密码			注-册-帐-号

第八讲 初等数学模型（1）——类比法建模实例

第八讲初等数学模型（1）——类比法建模实例