第五讲 建模方法论（4）——模型分析与修改检验

yunjiang

　　一个数学模型建立和求解后，还有一个重要步骤需引起我们的重视，这就是对模型结果的进一步分析、检验、修改、推广评价等问题，这一步骤常统称为模型分析。具体说来，有下面几点。首先，对所得数学解答进行分析包括:
　　①变量间依赖关系或稳定性状况，诸如增减性，最值性，渐近性及数据微小变化对解的影响等；
　　②依据结果给出预报、控制或最优决策。
　　③误差分析也是常作的一项工作，这是因为所搜集的信息、数据本身具有误差，假设不合理等。
　　所谓检验与修改是将数学上分析结果返回到实际问题中去，并用实际现象或数据与模型计算出的结果进行比较以检验模型的合理性和适用性，这一步工作对于建模的成败非常重要。假如有较大出入，则模型需进行必要的修改，甚至要推倒重来。这一问题的产生通常出在模型假设上，要重新审视假设简化的合理性。
　　所谓推广含有两层意思，其一是对所建模型的优、缺点进行客观评注，其二是将条件加以增减或放宽，讨论模型能够进一步适应的范围。
　　请大家翻开文字教材第一章1.3.5节关于运动员成绩的例子。那里，我们首先根据数据散布图给出了一个经验模型
　　　　　　　　　　　<SUB><IMG src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image004.gif"> </SUB>   

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　　假如我们不去对它进行模型分析而简单地用它来预测未来运动员的成绩 ，我们建立的模型将导致重大失误。这是因为这个模型是不符合实际的。我们不妨用它来预测一下未来。将<I>y</I>=2008代入上式可得 <I>T</I>=43.3秒。再将<I>y</I>=2200代入检验则得<I>T</I>=33.7秒。这相当于要求运动员一秒钟要跑出平均12米。据体育专家的观点，这类运动结果对于一个运动员来说一般都有一个不可逾越的极限速度，大约为35秒，因而速度不可能无限制地加快。于是人们对这个模型的假设“数据散布呈直线”自然提出质疑，而模型也就需要推倒重建。
　 仔细观察散布图便可见，它实际上呈现的不是直线，而是一条弯曲程度不大的凹曲线。换句话说，成绩开始上升较快，以后便呈减慢趋势，也即成绩增长率趋缓。故按照上述模型预测成绩，遭到非议乃是必然的。
　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/images/03.gif">
　　　　　　　　　　　　图1—9
　　根据数据散布图，我们选择指数函数模型
　　　　　　　　　　　 T=ae<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image008.gif"> </SUB>
其中a,b为待定常数。我们取A（60,3.820）和B（10,3.877）代入上式得<I>b</I>=0.0011,<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image010.gif"> </SUB>=48.72，可得新的数学模型为
　　　　　　　　 T=48.72e<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image012.gif"> </SUB><SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image014.gif"> </SUB>         
　　 我们再检验一下：                                 
取<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image016.gif"> </SUB>，与原模型较接近；再取<I>y</I>=2200,可得<I>T</I>=35.03,比较原模型的结果较为符合实际。
　　以下再对上一讲的几个模型进行模型分析。 　　　

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<><B>　　例3</B>（热传导问题）的模型分析
　　在上一讲已经给出双层窗和单层窗热量损失函数分别为
　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image018.gif"> </SUB>,而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image020.gif"> </SUB>         
和                　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image022.gif"> </SUB>              </P><>其比值为  　　  <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image024.gif"> </SUB>,    而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image026.gif"> </SUB>。      
　　利用这个比值我们来分析两种窗户的优劣：
　　1．比值<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image028.gif"> </SUB>反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功能，且仅与<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image030.gif"> </SUB>有关，这个关系自然是双曲线型函数关系。从图1—10易见，随S逐渐增大，<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image031.gif"> </SUB>逐渐变小，即双层玻璃中间空隙越大，比单层玻璃的保温性能越好。但从图象上还可看到，开始时的效果明显，到<I>S</I>&gt;4后，曲线下降变缓，故<I>S</I>值从而<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image033.gif"> </SUB>与<I>d</I>比值不宜过大。
　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image035.jpg">
　　　　　　　　　　　　　 图1—10 </P>

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<b>　　</b>2．经过建模及分析可见这个模型具有实用价值。尽管双层窗造价较高，但它减少热量损失比单层窗来说是相当可观的，例如取<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image037.gif"> </SUB>，按上述模型算得<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image038.gif"> </SUB>≈3%，即双层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量达97%。
　　3．模型中要求<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image040.gif"> </SUB>的条件是空气是干燥不流通的，这一条件在实际问题中恐怕不能完全满足，故在实际上双层窗户的功效一般会比上述结果有一定差距。
　　4. 进一步研究的问题：<I> </I>
　　（1）对改用双层玻璃密封窗所增加的费用与节约97%的热能，从而节约能源所创造的价值进行比较，以作为房屋开发者与供暖系统领导决策的一个重要依据。
　　（2）双层玻璃密封窗对于高热的南方的适用性。
　　由此例可见，没有这个分析过程，模型建立的作用便失去了大部分。相反，有了这个分析，建模的主要作用—解决实际问题便被淋漓尽致地体现出来。

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　　<B>例4</B>（宇宙速度问题）模型的分析
　　上一节我们已经得到第二宇宙速度满足的表达式
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image042.gif"> </SUB>          （1.10）
　　对这个解析式分析如下。要使物体飞向无穷远而脱离地球引力，物体上升的速度<I>v</I>必须永远不为零。亦即对于任意高度<I>s</I>，（1.10）式的右端永远大于零，即
　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image044.gif"> </SUB>      （1.11）
又当<I>s</I>充分大时，上式左端第一项将充分小，于是要使（1.11）式成立，必须满足
　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image046.gif"> </SUB>
或                 　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image048.gif"> </SUB><>　　因此，要使物体飞向无穷远，达到脱离地球引力的目的，其最小的初始速度应为
　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image050.gif"> </SUB>               （1.12）
　　此即所谓的第二宇宙速度。
　　注意到在地面上重力加速度为<I>g</I>，即当<I>s=R</I>时，有
　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image052.gif"> </SUB>  或    <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image054.gif"> </SUB>
代入（1.12）式，得
　　　　　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image056.gif"> </SUB>
代入<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image058.gif"> </SUB>即得到
　　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image060.gif"> </SUB>
恰为众所周知的第二宇宙速度。
　　注意：这个速度是在模型假设中不计空气阻力前提下获得的，这显然是不合理的。你该如何理解这个重要结果的获得？
　　为了方便，对例7将其模型建立与求解，模型分析两步放在一起叙述如下。</P>

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<><B>　　例7</B>（森林救火问题）
　　<b>模型建立</b>
　　总费用由森林损失费和救援费组成。由假设2，森林损失费等于烧毁面积<I>B</I>（<I>t</I><SUB>2</SUB>）与单位面积损失费<I>c</I><SUB>1</SUB>的积，即<I>c</I><SUB>1</SUB><I>B</I>（<I>t</I><SUB>2</SUB>）；由假设5，救援费为<I>c</I><SUB>2</SUB><I>x</I>（<I>t</I><SUB>2</SUB>-<I>t</I><SUB>1</SUB>）+<I>c</I><SUB>3</SUB><I>x</I>，因此，总费用为
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image062.gif"> </SUB>。
　　由假设3，4，火势蔓延速度<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image064.gif"> </SUB>在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image066.gif"> </SUB>内线性地增加，<I>t</I><SUB>1</SUB>时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用<I>b</I>表示，而后，在<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image068.gif"> </SUB>内，火势蔓延的速度线性地减少（如图1—11），即 <SUB>　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image070.gif"> </SUB>
因而有       　　　<SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image072.gif"> </SUB>。
　　烧毁面积为
　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image074.gif">
恰为图1—11中三角形的面积。
　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image076.jpg">
　　　　　　　　　　图1—11    <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image077.gif"> 与时间<I>t</I>的关系
由<I>b</I>的定义有<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image079.gif"> ，于是彩缤纷
　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image081.gif">
所以
　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image083.gif"> ，
其中只有派出的消防队员的人数是未知的。<I>
　　</I>问题归结为如下的最优化问题：
　　　　　　　　　　<img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image085.gif"></P>

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　　<b>模型求解</b>
　　这是一个函数极值问题。令<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image087.gif"> </SUB>，容易解得
　　　　　　　 <SUB><img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image089.gif"> </SUB>。<I>
　　</I><b>模型分析与改进</b>
　　 1．应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中<SUB> <img src="http://202.205.160.49:8080/media_file/rm/ip3/zhangxh/2004_02_10/sxjm_05/htm/sxjm5.files/image091.gif"> </SUB>是为了把火扑灭所必须的最低限度<I>,</I>因为β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的。<I>
　　</I>2．派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度λ和救援费用系数<I>c</I><SUB>3</SUB>增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势<I>b</I>及损失费用系数<I>c</I><SUB>1</SUB>增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数β增大时，队员人数也增大。<I>
　　</I>3．改进方向：
　　（1）取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况；
　　（2）灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关；
　　（3）对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然β（火势蔓延速度）能从某种程度上反映森林类型不同，但对β相同的两种森林，派出的队员也未必相同；
　　（4）决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点。<I>
　　</I>以上，我们细致地说明了数学建模的全过程，并在下边的具体问题的建模中充分再现这个全过程。再次指出，不是每个具体问题的建模都要经过这五个具体步骤，但有了这个全过程对指导初学者进行建模活动是很有指导意义的。

duanshumo

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