< >下雨天忘记带伞总是件恼人的事，因为你往往不得不硬着头皮跑回家，弄得一身湿。怎样才能在跑动中少淋雨，自然是一件非常重要的事，本文就试图从定量的角度，分析人奔跑的速度与淋到雨的关系，从而总结出少淋雨的三原则。
一、怎样计算淋雨量
雨水可视为以一定速度运动且在空间中分布均匀的流体，不妨设其质量分布系数为Q（kg×m –3 ）。当人淋雨时，就普通人而言，看到的只是雨水纷纷而下。 但若换一个角度，把雨水视为静止不动，那人就在相对雨水而运动了。更为形象地讲，当雨水被视为静止时，它便与空间“凝固”在一起了，仿佛牢牢地盛装于一个硕大无比的桶内，纹丝不动。而人则在静止的雨水中“穿梭”。显然，这种“穿梭”是相对于雨水而言的。而且人在“穿梭”的过程中，外表面还不断地扫过一定的空间，
而这空间中的水便“附”在了人体表面，人便这样淋到了雨。
基于上述视角，我们可以很快发现，人的淋雨量m（kg），
即为V（m3）与Q（kg×m –3）的乘积，这里的V即是人体外
表面相对于“雨水凝固体”所扫过的空间的体积，更确切地说，
是体表相对于运动的雨水所扫过的雨水的体积。通过上述解释，
我们可以得到公式：
m＝V·Q .
这也是本文最基本的一个公式。其中Q是常量，要使m小，V就得小。于是求V便成了关键，究竟V该怎样求，下文将有专门论述。
二、关于人体等效模型的证明
在本文的第一部分，笔者已将人体外表面等效为一个长方体的外表面，这有理可依。下面就逐步论证这一等效方法的合理性。
首先证明以下这个结论：
任取一个平面图形P，设其面积为Sp（m2）；再取一个平面α，P在其上的射影为T，面积记为ST（m2）。当P沿垂直平面α的直线平动时，若通过的距离为d（m），则其所扫过的体积V＝ST·d（m3）。
证明：如图(2)所示分别以P和T为底垂直于平面α作两等高柱体Ⅰ和Ⅱ，且高均为d（m）,P所对应的另一底面记为P'，同样再设出底面T'，设面P 上任意两点A1、B1在面α上的射影为A2、B2，并记平面A1B1B2A2为平面β（∵A1A2⊥α，B1B2⊥α，∴A1A2∥B1B2，∴可以确定平面β）。
而β截得线段A1'B1' ，截得线段A2'B2',∵柱体Ⅱ中面T∥面T',∴A2B2∥A2'B2'，又B2B2'∥A2A2',且B2B2'⊥平面α，
∴ A2B2B2'A2'是一个矩形，其面积SI＝A2B2·A2A2'＝A2B2·d.</P><>∵面P在这过程中是沿着垂直于平面α的直线平动的，∴面P∥P' ， 同理有A1B1 ∥A1'B1',又∵B1B1'∥A1A1',∴ A1B1B1'A1'是一个平行四边形，其面积SII＝dh，这h即是边A1A1'与边B1B1'的距离。显然h＝A2B2。∴SII＝A2B2·d＝SI。
∵当初选取A1、B1点是任意的，∴平面β也是任意的。由祖日桓原理有VI= VII。
若把面T等（面）积变形为一矩形，则VII（m3）不会改变。
由上述推理可知：任一平面图形在平动中所扫过的空间体积，均可表示为一矩形面积S与移动距离d之积。其等效变形的原则已如前所述。
上面的这种投影等积变形方法，即可用于计算平动平面所扫过的空间体积，也可用于计算平动曲面所扫过的空间体积。因为曲面可看作由无数微小的平面拼成，每个小平面适用，整个大曲面也同样适用。
下面来考虑人体的外表面。
在三维坐标系中,人体外表面相对于雨水的运动有三个方向（即x、y、 z 三向）,
由物理学中的运动独立性原理可知，这三个方向上的运动彼此独立、互不干扰，可以分而论之。不妨设人在这三个方向上相对于雨水的速度为Vx、Vy、Vz （单位：m·s –1 ），并让体表分别在垂直于这三个方向的三个平面上投影，投影面积分别为S3（x向）、S2（y向）、S1（z向）（单位：m2）。通过等积变形， 将这三者拼成长方体的三个相邻表面。</P><>
设人体（也就是那个长方体）在雨水中行进了t（s）时间。由上文的等效原理可知，人体外表面在x 方向上扫过的空间体积Vx（m3）可等效为投影面S3所扫过的体积。
∴Vx＝S3·vx·t ……①
同理可得Vy＝S2·vy·t……② Vz＝S1·vz·t……③
人体所扫过的总体积 V＝Vx＋Vy＋Vz……④
以上四式是下文计算淋雨量的直接依据。
三、扫过体积的计算和讨论
在计算前先作一些必要的说明：
（i）雨水并非单纯竖直下落，它还在水平移动。不妨设其坚直下落速度V1(m·s –1 )，水平移动速度V2（m·s –1 ）。
（ii）人在不停地跑动时，其轨迹可视为一系列全等的抛物线，其中每小段都含有一个从起跳到落地的过程。不妨设这每一小段的水平长度为Lo（m）；起跳时， 竖直速度与水平速度分别为u1（m·s –1 ）和u2（m·s –1 ）；</P><P>
从起跳至落地历时t0（s）。由物理学中斜抛运动公式，我们可得t0＝2u1／g,L0＝u2t0
＝2u1u2／g。
（iii）人在雨中跑动时，不可能无目的地，不妨设它与人距离为L，因为L往往远大于L0，所以可认为L中正好包含整数个L0，从而忽略“边缘效应”产生的误差。
除此之外，等效人体的三表面积S1、S2、S3也有用。
（一）人在竖直方向上的淋雨量（即头顶和肩上淋到的雨）
由③式可知Vz＝vztS1。这里的Vz是人相对于雨水在竖直方向上的速度。 在长度为L0的运动过程中，vz按vz＝u1＋v1－gt的规律变化（t∈[0,t0]），这其间S1扫过的雨水体积
</P><P>
由公式Ⅰ可知，淋雨量mz0＝Vz0·Q
记在总长L中，坚直方向上的淋雨量为m1（kg）
</P><P>
</P><P>由此可见m1＝f1（u2）∝ ，与u1无关，且在（0，＋∞）是减函数。
（二）前（后）面与左（右）侧面的淋雨量
先定义一个角α:设由u2的方向转向v2的方向所需转过的绝对值最小的角为α，显然α∈[0,π]。
（1）a∈[ ,π]
</P><P>人跑完全程历时t＝ 。设在这段时间内，S2面上的淋雨量为m2，则由 ②式和Ⅰ式可得m1＝vyS2t·Q。
由右边矢量图可知，相对速度vy＝u2－v2cosα</P><P>
</P><P> </P><P> ∵－v2cosα≥0, LQSv2sinα＞0，
∴m2+m+3＝f2(u2)在（0，∞）上是关于u2的减函数。
（ 2）a∈[0, ）
通过上述类似的分析可得
</P><P>
（三）综合讨论
由（1）（2）可知，m1、m2、m3均是u2（水平速度）的函数与u1（坚直起跳速度）无关。看来在躲雨方向，“跳高的”强不过“跑步的”。
当α∈[ ，π]时总淋雨量m＝f­­1（u2）＋f2（u2）。
由（一）和（二）（1）的讨论可知f1(u2)与f2(u2)在（0, ＋∞）均是减函数，即u2越大，淋雨越少。</P><P>
记为F（u2）。该函数增减性分以下3种情况：
（i）S3·sinα≥S2·cosα
当u2≥v2cosα时，F(u2)</P><P> ∵v2（S3sinα– S2cosα）＞0， ∴F（u2）是减函数。F（u2）≤（v2cosa）。
</P><P> 当0＜u2＜v2cosα时，F(u2)</P><P> 同理F（u2）也是减函数，F（v2cosα）＜F（u2）。
由此可得F（u2）在（0，＋∞）上是减函数。
u2越大，淋雨越少。</P><P>
同（1）的分区间讨论可得F（u2）在（0，＋∞）上单调递减。
∴u2越大，淋雨越少。
</P><P> ∴F(u2)是增函数。 F(u2)≥F(v2cosα).
当0＜u2＜v2cosα时，同理有F(u2)是增函数。
∴F（u2）＞F（v2cosα） 。 ∴u2＝v2cosα淋雨最少。
四、讨论结果的实际意义
（一）综合讨论中的情况（1）
当a∈[ ，π]时，由图可知，雨是从前面或侧面</P><P>打来的。此时，u2越大，也即跑得越快，淋雨越少。
（二）综合讨论中情况（2）的（i）（ii）
在（i）中，S3sinα≥S2cosα Qv2tS3sinα≥Qv2tS2cosα
QS3（v2sinα）t≥QS2（v2cosα）·t…（＊）
由图可知，当人在雨中站立不动时，v2sinα即是雨打向S3的
速度，也即S3相对于雨水移动的速度vx.
同理v2cosα＝vy。
∴（＊）式 QS3vxt≥QS2vyt m3≥m2……①
</P><P>同理（ii）中，v2≤ ②</P><P>①式中m3≥m2是指体侧淋到的雨比后背多（或相等），
②式中m2≤m1＋m3指后背淋雨比其它部位淋到的雨要少（或相等）。
在这两种情况下均是u2越大，淋得越少。此时，雨从侧面或后面袭来。</P><P>（三）综合讨论中情形(2)中的（iii）
在（iii）中v2＞ ，也即人站立在雨中时，后背</P><P>淋
到的雨，比其它部位淋到的总和还要多。
此时，当u2＝v2osα时淋到的雨最少。而u2＝v2cosα m2＝0。
所以在这种情况下，奔跑时尽量使体前与体后均不淋雨为最好。
由此，我们就可以总结出逃雨的三原则：
①若雨是从前方或侧面打来的，那么跑得越快越好。
②若雨是从后方或侧面打来的，且速度较小，以致人站在雨中时，后背淋雨还不及其它部分那么多，那么奔跑时也是越快越好。
③若雨较大，以致人站在雨中时，后背淋到的雨比身体其它部分还要多，那么奔跑时应使后背恰好不淋雨为最好。
以上便是文章开头所提及的三原则。
</P> |
发表于 2004-5-9 06:47:57
楼主