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科学建模 战胜非典
摘要
本文主要研究SARS病疫的传播模型。通过分析北京，广东，香港等地的疫情，我们用微分方程和差分方程作为理论依据。用自然增长模型模拟，发现不适应传染中期后的情况。接着提出了传染中期模型理论，也是本文的重点所在，主要考虑政府采取措施以后传染病的传播趋势。把研究的系统由北京市转化为北京医疗系统，并得到一个新的模型，对系统参数做了统计和估计，并对将来可能出现的病疫作出预测。
结论如下：整个模型分成三个阶段，称为传染前期，传染中期，传染后期。在前期我们用自然增长模拟在中期用医疗系统中的人数变化作为考虑对象建立相应模型。在对北京的数据拟合中呈现出交好的实用性。并且对两个重要参数进行讨论。
传染前期：
传染中期：
传染后期： 。
关键词：微分方程，趋势线，系统，参数，传染病。
一． 问题的重叙：
SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，使我们认识到定量地研究传染病的传播规律的重要性、为预测和控制传染病蔓延创造条件。为此对SARS 的传播建立数学模型
（1）对提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性。
（2）根据附录所给数据建立自己的模型，说明其优越性，并说明建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型的困难之处，然后对于卫生部门所采取的措施：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
二． 模型的假设：
1． 题目所给数据资料真实可靠，个别有出入的情况当作误差处理，当误差在[-1，1]之间就忽略不计；
2． 数据只考虑一个周期的情况，如果发现病情的反复则认为是另一个传染周期的开始；
3． 传染的前期，认为北京作为一个封闭的系统，不受外界的影响，即病菌在考虑期间不可能由外部传入，也不会传给北京市以外的地区；
4． 传染的中、后期，在医疗系统中的所有带菌者（包括确诊病人，疑似病人）均采取严格隔离的措施，并且认为医院设备足够先进，不会出现传染给医护人员和交叉感染的情况；
5． 设治愈的病人具有免疫能力，不会再一次被感染，也不会感染其他人；
6． 所有确诊病人和疑似病人都能得到及时治疗，不存在经济上的困难和主观意愿问题，而且每一个公民都能够自觉自愿地配合医务人员的检测和治疗；
7． 认为非典潜伏期为Tx, = 7天，带菌者必在7天内显示病状，显示病症的疑似病人在7天内能确诊；
8． 在传染的中期，认为所有新增加的确诊病例都来自于疑似病例，不存在医疗系统外部的确诊病例，即医疗系统外部只存在疑似病例。
三． 符号的说明
t------时间以天为单位，从3月1日算起，例如：3月5日为第五天。
S（t），I(t)——传染的前期，易感染者（Susceptible,健康人）和已感染者（Infective,病人）两类人在第t天的个数占总人数的比重；
λ——传染的前期，每个病人每天有效接触的平均人数，是常数，λ称日接触率；
------传染的前期，为病菌携带者接触健康人的日有效率
h(t)------ 传染的中期，t时刻现有医疗系统的总人数；
i(t)------ 传染的中期，第t天的新疑病例的人数
r(t)------ 传染的中期，第t天的退出系统的人数
(t)----- 传染的中期，第t天的现有的确诊病例人数
n(t)----- 传染的中期，第t 天的确诊为正常的疑似病例人数
----传染的中期，第t天的疑似病例人数中所含有的确诊正常的人数
k(t)----- 传染的中期，-第t天的疑似病人中所诊断出的新的确诊人数即新增患病者
I(t)------- 传染的中期，第t天的系统中的疑似病例数目,现有疑似病例
----传染的中期，第t天退出系统的人数（治愈人数和死亡人数）在现有确诊病例人数中所占的比例
四． 附件1的评价（合理性和实用性）
此模型是就对病例比较多的地区广州，香港，北京，用数理模型加以分析SARS疫情的前期走势。并由此假设了每个病人可以传染他人的时间限制（严格隔离，治愈，死亡等），并考虑了在不同社会条件下传染概率的变化，接着先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后预测北京的疫情走势。
合理性表现在：采用香港、广东数据获取的参数K对北京病例的初期预测分析吻合得相当完美，符合一般传染病的模型。其所有参数的估计都有现实意义，并在相当程度上反映了当时的实际情况，但是在5月8日这个结点以后采取广东、香港的参数，数据走势就存在较大的差距（可见附图1）。
实用性表现在：初期（5月8日以前 ）因为政府认识不够，还没有来得及采取强有力的措施以及人们警觉性的低下，包括公民医疗卫生素质的不足，使患病人数的增长呈现稳定的指数增长态势，恰同动物的自然增长模型和一般呼吸道传染病模型的增长初期——即单一种群的Multhus模型相类似，符合非人为因素下的自然增长模型，这在人口增长和动物界的传染模型中具有普遍的实用性。
五． 问题的分析与模型的建立：
根据附件1的模型，由香港，广东的数据求出的参数用于拟合北京的前期、中期都是比较符合实际的，这由附图1可看出。初期实际情况和传染病的自然增长是类似的，而且该模型也是按照指数函数的增长来描述的，这就是自然增长模型。从高峰期开始，拟合数据就与实际数据偏离，到后期更加明显，拟合数据的复增长远远小于实际情况，模型对此种情况是通过修改参数来解决，至于为何要修改，只是简单的作了定性分析，没有深入研究。我们依照此方法模拟，通过对中期数据的研究得到后期的参数，再对后期的模型进估计和预测，也没有得到令人满意的结果，此时我们开始产生怀疑，当政府采取措施以后，自然增长模型是否已经不适合描述SARS传染病的增长了。
在这样的背景下，我们开始寻找另外的新模型来模拟政府参与防治传染病之后的SARS模型，为此我们把传染病的一个周期作如下划分：
传染前期，传染中期，传染后期，分别以政府参与时间和病例下降为零的时间作为区间分隔标志。而把讨论的系统认为是非典病人所存在的区域，分别假设为：传染前期是北京，传染中期和后期为北京的医疗系统，即所有非典病人及疑似病人所在医院。
三个阶段将分别作出分析：
1）传染的前期：前期因政府重视不够，人们尚未具备足够的警觉，因此满足自然增长模型。时间区域为：从发现第一个真正的病例到卫生部采取措施（另外，某些地区因社会环境，个人卫生，公共卫生等不确定因数良好，模型前期可能不会表现出来，例如日本和大部分内陆省份）。此时，病人没有隔离，把北京市作为系统看待，病人当与健康者有效接触时，健康者受感染而变为带菌者。
根据假设，每个病人每天可使 个健康者边为病人，因为病人数N*i(t)，所以每天共有λ*N*S(t*)*i(t)个健康者被感染，于是λ*N*S*I(t)就是病人数的增加率，即有
又因为
又记初始时刻（t=0）病人数的比例为 ,则
i(0) =
（3）
此方程是Logistic模型，其解是
（4）
i(t)—t 和 --t 的图形如图所示
以上（3），（4）式的及图表可知，当i=1/2时 达到最大值 ，这个时刻为
这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 与 成反比，因为日接触率 表示该地区的卫生水平， 越小卫生水平越高。所以可以通过改善提高卫生水平来推迟高潮的到来，就对SARS的特殊性来说，我们还会加强对病人的管理与控制。但是与 对应的i值即为已感染者的比例为1/2，显然这与我们的非典模型不相符合，我们只是把它的前半部分作为我们的前期模型。
2） 模型的中期：
因中期的传染已经存在了人为因素制约，根据假设我们将诊断前的所有病人划为疑似病例，就以非典防治医疗机构为研究区域——称作医疗系统。各数据关系可以用如下的流程图表达出来：
输出
建立我们自己的模型，特别说明了怎样才能建立一个真正的能够预测以及预防和控制可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里呢？
分析：既然要预测，预防和控制首先得做出的模型要有先见性、准确性、多元（各方面有大量的信息量）性。现在的问题是根据题目中北京的前期（政府尚未采取措施，传染呈现自然增长的模式）、运用中期（此时已达高峰期，由附录1模型可以看出来）的数据特点精确地解出后期的参数，建立后期传染模型和传染函数。最后与在后期公布的实际数据所拟合的函数相比较：容许存在一定的误差偏移（即日降人数的变化率必须至少位于香港、广东数据线与北京后实际公布拟合数据线之间），当然也可适当的允许交叉情况的发生。特别的是在一定时间区域
内，宁可多预测一些患病人数来增加人们的警觉性，督促政府的措施的力度加大，也不少预测一些人数——造成人们的麻痹大意而造成更大的传染流行。
我们可以根据附件1的图象和函数的分析可以知道，
前期：3月1日到4月24日
中期：4月24日到5月10日
后期：5月10日到结束
说明：模型最好要能够估计出大致在第几个月的哪一个旬（上，中，下）的精确范围。
就北京疫区后期建模的困难：1。可以用来建模的数据有限（4月20到5月10日）20天左右的时间 解决方法：尽可能的利用附录2 中的数据多拟合几个函数图形。
我们的模型如下：
系统变化=新增疑似病例—新增退出者—新增确诊正常者 （量纲按天数计）
（1） 求出的h(t)用于估计和预测之用
（2） （4）
（3） （5）
确诊正常病例人数
现有疑似病例（I） 确诊病例人数
没有确诊的（仍然为疑似病例）
联立（1），（2），（3），（4），（5），式求解得，
（5）
（6）
中期模型的参数分析：
——正常率
正常率=所有确诊正常人数/现所有疑似病例
图一
对于此图，我们通过对正常率的折线图作它的趋势图，我们从中可以看出在图形的中间阶段拟合得十分好。而在两头拟合并不理想。在前阶段正常率出现了负数的情况，这是因为我们在模型中为了简便模型而假设新增确诊病例只来自于现有疑似病例而没有考虑到来自于自由人群的新增确诊病例，因而出现负数是正常的。在后阶段，出现较大的波动的原因是因为在这阶段里现有疑似病例大幅度的减少，而人们对非典的敏感度增强而导致的。
——确诊率
确诊率=新增病例/现有疑似病例
图二
对于此确诊率图表，我们以4阶多项式对图表中得图形趋势线进行拟合。从图形中可见，趋势线拟合得相当平滑，特别是在高峰期的后期（5.25—6.22）：拟合趋势线与确诊率折线图的吻合十分完美。在4月25日——5月25日之间拟合趋势线趋于点距中间；同样很好的表达了确诊率的正确走势。尽管，也出现了相差比较大的点（如4.28，4.29的点）这很又可能是由于患病人数的基数太大，而使现有疑似病例数目激增。
1． 传染后期：
时间是从系统中人数为零开始，一般持续15天（由国际通用标准决定，且符合SARS病的传播规律），如果15天内，无一例疑似病例，也无一例确疹病例，认为整个传染周期结束。如果发现确疹病例，则认为新周期的开始；如果发现疑似病例，待7天后确诊，若正常，传染后期继续延长15天，否则认为新周期的开始。
六．对医疗机构的评价
如果卫生部提前5天采取严格的隔离措施，即就是将身上带有SARS的病人与健康人群的有效接触缩短5天。设有效接触为K（即每个病人平均每天传给健康人数的个数），根据早期模型的传染期为20天，那么现在传染期为15天。如果按照 关系增长，则 ，且可以提前达到高峰期，从而我们可以更好地控制非典。如果延后５天，这将造成延长带有ＳＡＲＳ的人与健康人群的有效接触５天。 ,从而带有ＳＡＲＳ的病人与健康人群的有效接触时间较长，犯病高潮的人数较多并造成到达高峰期的人数大大向后推移。由于基数太大人力物力控制病情的难度将加大，由于高峰期的人数很大，也会造成降低日增长人数缓慢，因此我们要发费大量的精力和金钱。这会严重影响我国的经济发展，要尽量避免。根据以上两种不同的措施，我们可以得出以下结论：提前严格隔离的天数越多，对缩短ＳＡＲＳ病毒的传染时间和抑制高潮人数并将到达高峰期的时间可以提前，对控制非典和经济发展是有利的，否则相反。
七． 模型的评价
整个模型分成三个阶段，称为传染前期，传染中期，传染后期。在前期我们用自然增长模拟在中期用医疗系统中的人数变化作为考虑对象建立相应模型。在对北京的数据拟合中呈现出交好的实用性。并且对两个重要参数进行讨论。
但是本模型太过于理想化，把医疗系统的交叉感染和医务人员的感染排除在外。这是不符合实际的，且把疑似病人进入系统之前的状况未加以研究，对传染源的研究，即医务系统之外的带菌者研究不够，者正式模型的不足之处以及要改进的方向。
八． 小论文。
依靠科学，战胜病魔！
现今社会，随着物质文化和人民生活水平的逐渐提高，健康成了人们日渐关心的重要话题之一。然而，随着人口的快速递增——城市的飞速发展，社会地理环境日渐恶化——传染病这个阴魂不散的恶魔始终盘旋在地球之上，时刻威胁着人类的自由发展：对全球经济的发展和世界人民的生活带来了很大的负面影响，同时对人们的身心健康也创成巨大的伤害，因此我们依靠科学对传染病的统计分析和定量研究已经刻不容缓。
广大科技工作者已经在建立数学模型方面作出了卓有成效的努力，例如，在传染前期，就已经正确预测和估计了整个传染病的走势和发展规律，对于高峰期的到来的估计和持续时间的估计为政府和决策者制定相关政策以参照依据，给医疗工作者的工作以具体目标，也使得人民了解SARS，消除不必要的恐慌情绪。在传染后期，又开始总结经验教训，对所有数据统计分析，掌握其传播规律，建立数学模型。为病情的反复和其他传染病的传播规律研究提供参考，以预备和防治下一次传染病的来临。
根据已有的传染病数据资料运用数学工具对以后可能出现的传染病进行数学建模，从而准确科学地预测和有效的控制，这无论从科学上讲还是经济上讲都是最具实际意义的——因为我们根本不可能做人类的传染病试验，在动物中开展，那似乎也不太现实。对此，只要我们新闻媒体等各宣传部门能够正确地把握信息、舆论的导向，及时地向人民宣传传染病知识，我们以后再也不会因突发的疫情而手忙脚乱，而是有条不紊的开展各项防治并举措施，从而一举消灭病魔！传染病将不再可怕！依据我们建立的数学模型，采取有效的手段严格控制恐慌的发生，把经济损失减小到最低限度，这对维持全球经济稳定和世界和平，人类的文明开化都是大有裨益的！
2．参考文献
[1] 姜启源，数学建模，北京：高等教育出版社，1993。
[2] 盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001。
[3] SARS统计分析和地理分布，www.moh.gov.cn,2003/9/23
[4]于洪彦主编，Excel统计分析与决策，北京：高等数学出版社，2001。
[5]D.尤金（美），Mathematica使用指南，北京：科学出版社，2002。
[6]D.休斯 .哈雷特 A.M .克莱逊，微积分，北京：高等教育出版社，1997。
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发表于 2004-3-6 21:06:46
楼主
>我怎么看不懂啊，你的图呢？</P>