数学建模中正确处理定性与定量关系非常重要，以下章节仅供参考。
书摘《表达的探究》
§12.2 定性与定量
定性表达最典型表现为自然语言的二元性：如有无、黑白，好坏，即形成判断的两个极端，是对一事物本质的界定。概念的认知也是一种定性判断，但与这种对立的二元模式略有不同：我们知道“狗”和“猫”是两个不同的概念，它们形成了两个不同的认知模式，对于处于它们之间的形象，可以用像“狗”或者像“猫”来表达。比如一般来说“熊”更像“狗”，所以也常称为“狗熊”。但是，这两个不同的模式并不就一定能构成互斥的表达关系，也就是由不像“狗”（逻辑上取“非”运算）并不一定就能得出像“猫”的描述，因为也可能像其它动物。再如“熊猫”可能就与“狗”和“猫”这两个模式都相像。这就是说，两个概念的定性表达具有各自为政的特点，并不强求构成一个完备的表达论域，这也是它比定量表达灵活方便的重要原因之一。
二元定性只能两两比较，无法表达三元之间的关系。所以，更进一步的定性刻画，就是在这二元极端之间建立序关系。序关系是量化差异的最初区分，即分出大小或前后次序，它的数学表达形式是不等式，比如关于求最大最小的集合运算、单调函数（如凸函数）的性质研究等就是一些不等式的分析。值得注意的是：序关系还不是量化关系，因为它并不涉及具体的数量，所以它介于定性和定量表达之间。比如在日常的管理决策中，对于几个可供选择的方案，我们只要知道它们的优先次序就行，而不必具体度量这些方案的“价值”是多少。可见，序化与量化之间是有区别的。要把一个序关系映射为一种度量，这个序关系应满足两条：第一是传递性，即a>b, b>c, 则a>c; 第二是完备性，即a>b, a=b, a<b三者必居其一，我们熟知实数轴上的点就满足这样的关系。
半定性的表达方法还体现为离散化或区间化的特点。比如在§9.3讨论过的认知模块７，就处于定性表达与定量表达的界线上。在半定性表达中，有时只要通过一个区间的上下限、或者通过区间内某个典型数值（比如中值定理）的讨论，这种“以点代面”的方法常常就可以得到令人满意的结果。
定性的量化表达，在人工智能称为数字特征技术。让我们来看“畸形”这个概念的量化表达
(a) (b)
图12.2 畸形的表达
在图12.2中，图(a)是一个圆，不畸形；图(b)的边界曲里拐弯，是畸形的。如何将“畸形”这个概念量化呢？我们知道，圆是面积一定周长最小的对称图形，所以可以用周长与面积之比来表达图形的畸变度：数值越大则畸变也越大。比如建立如下的“畸形”评价公式：K = (周长)2/ (4p´面积)。当K = 1时恰为圆，可以认为畸形程度最小；当K > 1越多，畸形程度就越大。这很像学生考试定60分为及格线，也可以设定一个“畸形”的标准K = 3。即K大于3时为畸形，K小于3时为正常。在这里，评价公式K = 3是一个分界函数，它是聚类分析的依据，当然这种定性方法具有主观性和刚性。
聚类分析是定性概念的定量判定，对象的异同分辨最后都量化为距离语言。就像上面的“畸形”，先设理想圆形为K = 1，其它图形的畸形度就都可以用|K - 1|表达出来，所以距离刻画了对象的差异。值得注意：相符的差模运算和相关的内积运算，两者都构成度量空间，也就是都满足三角不等式：d (x , y) £ d (x , z) + d (z , y)。这说明对于两点差异的度量，关系谓词d是柔性的：既可以选择不同的算法，也有参数连续可变的柔性。所有满足此不等式的算法都形成一个度量，即构成所谓的度量空间。三角不等式建立了非常重要的三点关系：两点的直接差异总小于对第三者的间接差异之和。（参见§5.6）三角不等式超越了具体算法，是关于距离谓词的定性语言。
从数学方法上看，所谓定性研究一个问题，就是首先将错综复杂的相关关系解耦，挑出主要因素，划定问题的论域，确立语言的独立维度，具体步骤如同§9.4中关于显函数的解耦方法。在自控理论中，特别强调建立数学模型的“鲁棒性”，就是要求模型表达具有充分的柔性，制定的控制算法应当在相当范围内与模型的具体参数无关，这样当被控对象或过程的参数发生变化时，控制算法才能具有广泛的适应性。因此，不仅对象的识别界限可以是柔性的，对象之间的关系谓词也可以是柔性的。一个谓词与算法就是一种定性表达模式，所以它的柔性表达，说明定性模式的变化也可以进行参数化的定量表达。何华灿的《泛逻辑学原理》对这个问题作了系统的研究。他在此书中明确指出：如果一个逻辑学的真值域是连续可变（柔性）的，它的命题连接词的运算模型也是连续可变（柔性）的。这就是说，传统的模糊算子，“交”运算取最小，“并”运算取最大，这还是一种刚性规定，还可以通过参数化将“交”、“并”变为连续柔性的算子，形成不同的计算模式。它的客观根据是由广义相关和自相关的连续柔性所决定的。[55]
定量就是对定性的具体化，它们具有刚性具体与柔性普遍的关系。又因为定性是表达的总体框架，定量注重表达的细节刻画，两者之间又是表达的完全性与准确性之间关系。无论是对象的柔性还是关系谓词的柔性，都是表达语言的柔性。而自在对象的不变量表达，则是柔性表达的极端情况，因为它与具体语言根本无关。下面是《孙子兵法》的开篇，用古汉语、现代汉语和英文三种语言来表达。注意：即便一种语言表达同一个意思，不仅可以用词不同，句型结构也可以不同，都实现了相同的表达功能，这说明了选择语言的自由度。
孙子曰：兵者，国之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。
孙子说：战争是国家的大事。它关系到国家和军队的生死存亡，是不可以不认真考察研究的。
Sun Zl (Sun Tzu) said: War is a matter of vital importance to the state; a matter of life and death, the road either to survival or to ruin. Hence, it is imperative that it be thoroughly studied.[56]
定性是定量的基础，定量是定性的精华。所以说表准受制于表全。 这其实是说，断定总离不开整体框架，企图在一个模式框架下通过无限“细化”，仅仅用提高分辨率的方式来实现表准往往是行不通的，这也是表准与表全之间的深刻关系。定性总是在定量之先，“细化”表准只能在原模式成立的前提下起作用，然而随着精度的提高，表达的模式必定发生改变，即库恩所谓的“转型”发生了。比如说，对于牛顿力学来说，对于水星的轨道描述总是在精度上差了一点，但是要进一步提高描述精度就必须抛弃牛顿力学的整体框架，采用全新的相对论框架来表达。在系统的自组织演化中，关于非线性相图的分析，其中“分叉点”就是定性模式的分界线，在此处微小数量上的差异将导致完全不同的系统行为模式。所以，不分析定性模式而一味追求定量的精确表达，是非常危险的，也是没有意义的。这种系统“态势”的相图重要的是它的几何拓扑关系，而拓扑方法是一种典型与度量而关的定性方法。表达模式的转变，在数学刻画上就是由单元函数到多元函数，由显函数到隐函数的转变。因为任何一个函数模式，总是有它的适用范围，物极必反是古代中国的哲学信念，如同治病用药，是药三分毒，总有副作用。无限“细化”造成语义的突然转向是一个必然规律，这一点在显函数的建立和转义模式的讨论中都做了充分的分析。可见，定量表达的意义受制于定性表达。
这个问题还广泛存在于企业管理中。许多人简单地认为，现代管理模式的要点，就是规章制度足够细化量化，这样一来就能实现管理自动化和决策程序化。比如，对销售人员的奖励制度，最一般地是按照销售额发奖金。但是新老客户不同，地域不同，所卖的产品不同，同样的销售额却有完全不同的工作难度，所以应当对新客户、新产品和偏远地区实行优惠的奖励方法。那么，一个正确的奖励方法就应区分出所有不同的贡献，以此来鼓励员工的工作积极性。是不是充分细化了奖励制度后，就可以保证公司达到最佳的管理呢？事实上并非如此。无限细
化的奖金制度，即便是技术上可行的，也有管理成本的问题，这是细化的一个界限。另外更重要的是，一个企业如果只强调金钱的激励，一切以金钱为准绳，就会导致销售的个人化行为，缺乏团队的合作精神。比如就会形成各个销售人员相互封锁消息，当不同销售人员争夺同一个用户时，就会发生相互拆台等不正当竞争。一旦“有钱就干，没钱不干”成为一切行动的准则，员工就永远也不会形成真正的工作积极性和主动性，永远被笼罩在雇佣劳动的阴影里。所有这些说明：金钱激励是一个双刃剑，同时具有“积极”和“消极”两方面的意义，完全可能在一个极端的情况下转义，解构了企业的团队精神。由此可见，整体断定在先，原子断定在后，小道理应当服从大道理。
毛泽东曾说：“政策和策略是党的生命。各级领导同志务必充分注意，万万不可粗心大意。”。[57]与方针路线相比，政策和策略应属于雕虫小技，似乎只是在定量方面的精度追求，何以会有生死攸关的严重性呢？这其实也是问：量化表准在什么情况下将起关键作用？这是因为任何由方针路线决定的运作模式，都会在量上有一些分界点，当处于分界点时，在量化方面极小差别就会导致整体模式的变化。比如说，在新民主主义革命时期，总方针路线是反帝反封建，那么在农村对于中农的政策，在城市对于民族资产阶级的政策就处于分界点上，处理不好这些政策和策略，就会导致党的方针路线的改变，革命的性质就会起变化。特别重要的是，中间派往往就是占人口比例的最大阶层，所以政策上的失误就会失去最广大群众的支持，革命就必然失败。同样，在企业管理中，对于销售人员的销售额实行多大百分点的奖励政策，也常常是企业生死攸关的大问题。百分点太小，销售人员没有积极性，无法形成良性刺激，企业的整体经营模式就无法运行起来；如果百分点太大，除了可能造成销售的个人化行为，还会引起其它部门的不满，也会肢解企业的整体经营模式。所以，在特定的分界点情况下，定量对定性也具有至关重要的作用。
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发表于 2003-12-28 19:32:28