雨中行走问题

zhonjun

各位大侠，小弟最近与到一个数学建模问题，那位高人给做做
问题:
在一个雨天，你有急事需要从家里赶到学校，学校距家一公里，因为事情紧急，你冒雨前往，
那么，一个简单的事实是你在雨中应尽可能的快走，以减少淋雨时间，但考虑到下雨的方向，
在全程快跑并不是最好的策略，试组建数学建模，讨论如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

要求：一：问题阐述，二：模型的假设，三，建立数学模型，四：求解数学模型，五:解释模
型，六：优劣，误差分析

[此贴子已经被HUASHI3483于2003-12-19 22:50:08编辑过]

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HUASHI3483

每 秒 应 走 几 步
浙江省江山中学  王亿军（本站长）
        摘要：本文建立了人在匀速行走时每秒走几步最省力的模型。通过两种不同的假设，给出了每秒所走步数的两个公式。
一、问题的提出
今天人们无论从事何种活动都讲究高效益，即希望所采取的策略使某个或某些指标达到
最优。人的行走也是如此，每秒应走几步最省力。走快了就会气踹吁吁，那么是不是走得越慢就越省力呢？生活经验告诉我们并非如此。那么对于不同的人应选择怎样的行走方式呢？
二、基本假设
假设一 人的行走可看作是匀速的，这基本符合常理；
假设二 人在行走时所做的功为抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。（忽略空气阻力）
三、符号说明
l：腿长；   s：步长；       δ：人体重心升高；  v：行走速度(行速)；
m：腿的质量；  M：人体质量；  g ：重力加速度；p：两腿运动功能
                                    四、模型的建立
计算人在行走时人体重心的升高
重心的升高等于腿根部A位置的升高。如右图：

C:\WINDOWS\TEMP\Rar$DI00.475\xz.doc：
两腿分开时，点A到地面的距离为            ,


两腿重合时，点A到地面的距离为l .




所以，重心的升高为δ= l -             =




∵ s < l  , l +             ≈2l .


∴δ≈     ．

计算人行走时两腿运动的功率
下面根据对人行走两种不同的假设来求人行走时两腿运动的功能。
模型一：将行走看作腿绕髋部的转动（假设腿是均匀的直杆），设行速为v，腿的质量
为m。
由物理学知识可以知道，两腿的转动动能u等于转动惯量J与转动角速度ω平方乘积
的一半。由假设 J = ml2 , ω=v / l .
          所以转动动能u = Jω2 = mv2 .
        由于人在每行走一步所花时间为 t = ,
    所以两腿所做的功率为：

    p = = mv2×=      .
       
模型二：将行走看作脚的直线运动，而腿的质量集中在脚上。
   

    在此模型下，两腿的运动动能为：u = mv2
      所以转动功率p = = mv2×=      .

                                                                五、模型的求解
模型一的求解：


        假设人行走做功最小的行走频率（每秒的步数）为n，又每秒行走了 ns 的路程，速度 v = ns.
所以，两腿的运动动能为

人体重心抬高所需的势能为Mgδn = Mg   n.




因而人行走所做的功为        + Mg   n.=

                                         

                                                                               
        当


模型二的求解：
两腿的运动动能为


人体重心抬高所需的势能为Mgδn = Mg   n.


因而人行走所做的功为





当

                           六、模型的评价与讨论
利用上面的模型解出的行走频率可以帮助我们了解人行走时影响做功大小的几个因素。从公式可看出行走频率与人体质量、腿的质量以及腿长有关，而与步长无关。
如果一个人质量较大而腿的质量相对较小，则他应该走快些；
如果一个人质量较小而腿的质量相对较大，则他应该走慢些；
如果一个人腿较长，则他应走慢些。
这都比较符合常理。
最后指出，这两个模型建立在一些不太精细的基础之上，行走频率的绝对表达式是无法得到的。