逻辑模型习题

tshc

（逻辑模型） ?

1． 设p为任一正整数且p不是某数的完全平方，证明p的平方根必为无理数
2． 证明自然数中有无穷多个素数
3． 证明每两个相邻的奇素数之和必可表示为3个大于1的整数的乘积，例如3+5=2×2×2，7+11=2×3×3等。
4． 一条直线将平面划分成两部分,两条直线最多能将平面划分成4部分，……，n条直线最多可将平面划分成多少部分？请证明你的猜测。
5． 证明在7阶两色完全图中必存在4个3阶单色完全图
6． 9名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人可用同一语言交谈。
7． 将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。证明：不论怎样着色，总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。
8． 举例证明：存在只含两个三阶单色完全图的6阶双色完全图。
9． 证明：在7阶双色完全图中至少存在4个三阶单色完全图。
10． 举例证明：存在只含4个三阶单色完全图的7阶双色完全图。
11． 给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红边，证明：必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的4阶完全图）。
12． 在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4人，他们是两两相识的。
13． 某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。
14． 有一个8×8格的正方形迷宫，任意相邻的两格间都有门相通，考虑以下问题：（1）项从最左下的格子进入迷宫，不重复地进入每一格子一次，最后由最右上方的格子走出迷宫，问这一想法能否实现。（2）仍从最下格进入迷宫，想进入每一格子一次最后从某格走出迷宫，这一想法在什么情况下是可以实现的？
15． 画出两个网络，根据这两个网络可以构造出两个不同的10阶完美长方形（不能相似）
16． 设f(n)是正整数n的函数，其值为非负整数且： （1）f( m + n )–f(m)–f(n) = 0或1 （2） f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333
求f(2002)
17． 令f(x)=  ，你会发现f(1) = 13，f(2) = 17， f(3) = 23， f(4) = 31，……，所有计算结果都是素数。据此猜测：对一切正整数n，f(n)均为素数。这一猜测对吗？请研究这一问题，并给出你的结果。
18． 请按德.拉.鲁拜尔法则作出一个7阶的魔方
19． 证明n阶魔方的行和、列和等均为  ，例如，你上题求得的7阶魔方的行和等应为175。
20． 研究为什么可以用德.拉.鲁拜尔法则来构造奇数阶的魔方是十分有趣的，你愿意试一下吗？（提示：方法之一是研究其中的对称性，你不妨可以用定义、定理、推论的方法来逐步证明。方法之二是将所有的数都减去1，然后利用n进制来表示所有的数，仔细观察一下，你就会找到原因了）
21． 设计出一种调整方法，利用图11.10中的4个3阶魔方构造出一个6阶魔方。得出你的6阶魔方后，总结一下你获得成功的原因，或许你还能想出别的办法来。
22． 计算例7中的城2、城3各应负担多少费用。
23． 某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。试用Shapley公式计算，在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。
24． 若只有两名候选人，证明简单多数规则满足Arrow的公理1-5
25． 举例说明简单多数规则和Borda数规则不能满足Arrow的所有公理。
26． 议会有100个席位，分别为4个党派所拥有，党派A、B、C、D各拥有的席位数为40、30、20和10席。设法律规定提案被通过至少需达到2/3多数赞成，试用Shapley的公式计算各党派在议会中的权重，（设同党派议员投票一致）。
27． 设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。试证明：（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。（2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（不论它拥有多少席位）。
28． 设某实验可能出现n种结果，则每次实验提供的平均信息量为熵。证明：如将实验设计成出现每种结果的概率相等（均为1/n），则能使每次实验提供的平均信息量最大（离散实验的最大熵原理）。
29． 猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0—999之一）的数字让乙猜。在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不能与此前已经回答过的问题相矛盾。乙可提问题，但甲只回答是或者不是。（1）试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字。（2）设计一个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的提问方法。
30． 在例16伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样设计测试。我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。你知道原因吗？
31． 举例证明：对多种商品的情况，按  — 定义的物价指数均不可能同时满足公理系统的要求。
32． 举一实例说明Laspeyres公式  不满足公理（7）。
33． 关于物价指数的8条公理不是互相独立的，证明（1）（2）（3）可推出（4），（2）（3）（7）可推出（5）。

daystar

作为一个新手，我想看看各位高手的解题思路和解题过程

tangzw

但我想这恐怕不能发如你愿了,
因为解题思路和解题过程是很难写出来的啊!

tshc

二楼的建议很好啊

tshcc

就是