,不仅为了美化校园环境,也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口,现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连(可以利用公园四周的边,即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路,此道路不计入道路总长),使总的道路长度和最小,前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。6 X$ F: Z) O) [* q) K
主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园,其相关数据为:长200米,宽100米,1至8各入口的坐标分别为:
& b0 N$ z' h3 O% l: W# V P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),9 S) ]; s$ T+ d5 x/ \
P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).: @% `4 N, @1 G5 \( q
示意图见图1,其中图2即是一种满足要求的设计,但不是最优的。
2 X" z! C j# s现完成以下问题:
9 u0 o/ A- f. U, v问题一:假定公园内确定要使用4个道路交叉点为:A(50,75),B(40,40),C(120,40),D(115,70)。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计,计算新修路的总路程。
7 U! j$ B8 |: Z! c问题二:现在公园内可以任意修建道路,如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标,画出道路设计,计算新修路的总路程。7 S! ]7 Y' M; F8 e
问题三:若公园内有一条矩形的湖,新修的道路不能通过,但可以到达湖四周的边,示意图见图3。重复完成问题二 的任务。
% U8 l, t2 Y% ]& y其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。3 Z1 ]- F4 f# W5 Z3 T9 Y
注:以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通,而不能连到四周的其它点。2 p/ Z j9 U/ V, l' ` Q
/ P' T a/ @, x图 1 公园及入口示意图0 N; e. [6 h8 n P" U( q
8 K7 f7 Q4 i0 f# H/ C* v
图 2 一种可能的道路设计图$ h: n0 ~8 w5 M
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图3 有湖的示意图 |