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一般性问题
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1).关于这个FAQ
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/22, SMTH/MathTools #
为什么要写这个FAQ呢？简单一点，就是为了避免重复，慢慢积累，
提高水平。
简单问题的重复其实是BBS上学术板块的一个老问题，以前就有人提
过，最近在水木清华的MathTools上lll又提出来，所以决定借鉴国
外newsgroup的传统，自己动手写中文的FAQ，把那些几年前就在问、
现在仍然在问的一些老问题全部都收录在这里，给他们画一个句号。
等版面上没有了这些老问题，自然会有新的、难的问题出来，等这些
问题又成为FAQ的时候，大家的水平就慢慢提高了。
不过自己想来，其实这仍然不是长久解决这个问题的办法，这是一个
学术传统的问题，需要大家去创造这样一种勤奋、踏实的学术大环境
，告诉在这样一个环境中参与交流和寻求帮助的人，当你遇到问题，
首先要有自己钻研的精神，不要轻易地把这样锻炼自己能力的机会给
否定掉，而去期待或者"恳求"别人的帮助来替自己寻找偷懒的理由，
然后才是去有效地寻找资料，或者当自己考虑比较成熟的时候在公众
论坛上提出自己的问题。
当然，上面主要是对于你本专业的问题而言，要先思考，再提问，但
如果非专业的，仅仅用一下就不再使用的，不妨去尽早寻求帮助的好。
这个FAQ今后每个月会更新一次，最新的文档地址参见文件头。如果
有新的问题收录，文档开头会有一个小的更新列表。原有的解答会被
更详细和正确的解答代替，但原解答的作者信息将继续保存。
每个问题的答复开头都有一行作者信息，格式为
:#作者姓名或者ID(联系方式或Email地址),更新日期,发表地址#
在本FAQ中引用WWW上获得的代码或者文档时，都将作者信息附在
文档中，以表示对作者的尊重。
本文档的维护原则：欢迎转载到其他BBS或学术网站，但在转载
时请将文件头完整保留。如果仅转载文章内个别问题的回复，请将该
回复的作者信息保留。本文档未经维护人或各问题回复的作者的许可
，严禁以商业目的将本文全部或者部分内容出版。本文档的维护人及
各问题回复的作者具有文章的所有权和最终解释权。
本文档的使用原则为免费，本文档维护人对使用本文档内容所造成的
任何不当后果不承担任何意义上的责任，文档作者不对文档中的代码
的安全性和正确性作任何形式的承诺。
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2).什么叫数学工具？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/19, BigGreen/MathTools#
广义的讲，我们可以把数学本身看作一种工具，她是人类认识这个纷
繁复杂的世界的眼睛和钥匙，数学用量化和逻辑为描述事物的运动变
化提供了统一的和严密的基础，并通过不断衍生新的数学分支来为描
述人类所认知的日趋复杂的世界体系提供强大有力的工具。
狭义的讲，我们这里涉及的"数学工具"除了部分数学理论和算法之外
，主要内容为数学软件，即通过使用计算机，进行特定数学计算或者
数学表述来实现功能的软件。
再狭义地讲，数学工具是水木清华和BigGreen BBS上两个版面的名字
，这里面聚集了很多很多认识的和不认识的热爱数学、使用数学软件
的朋友，这个FAQ就是献给他们的。
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3).数学软件的主要分类有哪些?各有什么特点？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/19, BigGreen/MathTools#
数学软件从功能上分类可以分为通用数学软件包和专业数学软件包，
通用数学包功能比较完备，包括各种数学、数值计算、丰富的数学函
数、特殊函数、绘图函数、用户图形届面交互功能，与其他软件和语
言的接口及庞大的外挂函数库机制(工具箱)。常见的通用数学软件包
包括Matlab和Mathematica和Maple，其中Matlab以数值计算见
长，Mathematica和Maple以符号运算、公式推导见长。
专用数学包包括绘图软件类(MathCAD,Tecplot,IDL,Surfer,Origin,
SmartDraw,DSP2000)，数值计算类：(Matcom, IDL,
DataFit,S-Spline,Lindo,Lingo,O-Matrix,Scilab,Octave), 数值计算
库(linpack/lapack/BLAS/GERMS/IMSL/CXML), 有限元计算类(ANSYS,
MARC,PARSTRAN, FLUENT, FEMLAB,FlexPDE,Algor,COSMOS,
ABAQUS,ADINA)，计算化学
类(Gaussian98,Spartan,ADF2000,ChemOffice)，数理统计类(GAUSS
,SPSS,SAS, Splus,statistica,minitab), 数学公式排版类(MathType,
MikTeX,Scientific Workplace,Scientific Nootbook)
上述分类比较笼统，很多软件的功能也有交叉，经验和篇幅限制，不
能逐一而论。
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4).什么叫拟合？什么叫插值？二者的区别是什么？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #
插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分
他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义
在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的
目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。
简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通
过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的
差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者
线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表
达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通
过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给
定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在
整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有
函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式
未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(
或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。
具体插值拟合的计算参见本节7和第二节6/7/9/40的回复.
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5).如何生成任意分布的随机变量？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #
首先要生成一个平均分布的伪随机数a
最简单的一种算法是同余法：
y(n+1)=a*y(n) mod M
其中(M, a) 常见的一组取值为(2^31-1= 2147483647, 7^5=16807)，可以
生成[0~M-1]上的随机数，通过线性变换可以得到0~1上的均匀随机数
如果你需要产生概率分布函数(PDF)为f(x)的一维随机变量，首先计算
它的概率累积函数(PCF) F(x)=Integrate[f(t),{t,0,x}]，则F^-1(y)
既为所需要的随机变量。其中F^-1为PCF的反函数，y为一个[0~1]上的
平均分布随机变量。对于复杂的PDF无法求解反函数的，可以在资料上
查找"变换抽样法"。
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6).FFT输入和输出的意义是什么？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #
我们可以把FFT简单地看作一个变换器，输入N+1个数，输出N+1个数
，但他们对应的意义不同，如果把输入当作时域，则输出为频域，表
怔了其对应域的变化快慢。
假设输入信号本身的频率为fc(或者说频带宽为fc)，被频率为fs的冲击
串采样（由采样定理，fs >= 2*fc），则变换前的N＋1个数字对应的x
轴为{t0,t1,…tN}={0,Ts,2*Ts,....,N*Ts} (其中Ts为1/fs,为采样周期)
则变换后的N+1个数对应的x轴变为频率，范围为0~fs，以fs/N为间隔，
既为频率点{0,fs/N,2*fs/N,……,fs}，在matlab中如果用fftshift(fft(data))
，则变换后对应x轴为-fs/2~fs/2，如果满足采样定理的化，信号频带-fc~fc
就包含在转换后的频谱里面了，就不会有失真。
注意：变换后的数字为复数，因为其中包括了幅度的信
息，abs(fftshift(fft(data)))为幅度，angle(fftshift(fft(data)))为相位
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7).我有一组x,y,z值，非规则点阵，如何绘制曲面或者等高线或者插值？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/12, SMTH/MathTools #
1.如果你使用matlab，有如下四种解决办法
1.1:
tri=delaunay(x,y);
trimesh(tri,x,y,z); or trisurf(tri,x,y,z);
1.2: 如果你想得到更加精细和光滑的曲线，而且想绘制coutour
则需要用griddata()插值：
[xi,yi]=meshgrid(min(x):dx:max(x),min(y):dy:max(y));
[xi,yi,zi]=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic');
contourf(xi,yi,zi,20);
1.3: 如果你的matlab安装有PDE Toolbox，可以使用pdeplot()，参见帮助
1.4: 如果你可以连接国外，可以使用MIT的Kirill K. Pankratov写的SaGA
工具箱，下载地址在:
<A TARGET=_blank HREF="http://www.ai-geostats.org/software/Geostats_software/SAGA.htm">http://www.ai-geostats.org/software/Geostats_software/SAGA.htm</A>
<A TARGET=_blank HREF="http://globec.whoi.edu/software/saga/">http://globec.whoi.edu/software/saga/</A>
2.如果你使用Tecplot
1.先将三列数据按照顺序保存在一个文本文件中
data.dat文件格式为
x1 y1 z1
x2 y2 z2
...
2. Tecplot菜单File\Load Data file,在左上角选择2D
3. 选中zone,菜单Data\Triangulate
4. 双击该zone,将mesh掩藏掉，把contour打开，然后在
左上角选择3D
5. 如果想插值，先创建一个更细的网格，然后用data菜单中
Interpolation
3.如果你使用Mathematica
data={{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},......};
fun=Interpolation[data];
Plot3D[fun[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}];
ContourPlot[fun[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}];
当然，其他还有很多绘图工具，有待补充
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8).请问哪里能找到绘制等高线的算法？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/7/23, SMTH/MathTools #
在一般的计算机图形学的教材中都有常见算法的描述，下面的网址
有免费的C代码
<A TARGET=_blank HREF="http://members.bellatlantic.net/">http://members.bellatlantic.net/</A>~vze2vrva/thesis.html
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9).特征值与奇异值有什么区别？
:#dimond,2002/6/25, SMTH/MathTools #
特征值就不用说了，大家都知道。
奇异值的定义：对于任一个复(实)矩阵A(m*n),设A^为A的共轭转置矩阵，
即A^是n*m阶,则 A^*A （n*n阶）的特征值的非负平方根为 A 的奇异值，
也就是A共有n个奇异值，且全部>=0.
A^*A 是一个半正定矩阵，所以它的特征值>=0
对于半正定的Hermit方阵而言，特征值与奇异值是一一对应的
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10).条件数很大(病态)的矩阵如何求逆？
:#granule,2002/7/4, SMTH/MathTools #
有许多解法！实际上这作为数学的一个分支已经数学家
们抽象出来研究了很多年(ill-posed problems).文献
多的不得了。
简单的解法就是用regularization tools.（典型的是
Tikhonov regularization).还有许多迭代解法。
基本思想是要加约束。
for Ax=b, its standard Tikhonov solution is
x=inv(trans(A)*A+alfa*I)*Trans(A)*b
trans() means transpose; inv() is inverse;
alfa is a positive sclar. The quality of solution
depends on alfa directly. There is a optimal alfa
You can refer to the relevant topics such as:
inverse problems, ill-conditioned problems.
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11).什么是Gaussian拟合？
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/9/23, BigGreen/MathTools #
高斯拟合(Gaussian Fitting)即使用形如：
Gi(x)=Ai*exp((x-Bi)^2/Ci^2)
的高斯函数对数据点集进行函数逼近的拟合方法。
其实可以跟多项式拟合类比起来，不同的是多项式拟合是用幂函数系，
而高斯拟合是用高斯函数系。
使用高斯函数来进行拟合，优点在于计算积分十分简单快捷。这一点
在很多领域都有应用，特别是计算化学。著名的化学软件Gaussian98
就是建立在高斯基函数拟合的数学基础上的。 |
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发表于 2003-7-30 16:56:23