几何作图不能问题

Newton1983

<>一、您知道几何三大问题吗？


　　在公元前五世纪，希腊的雅典城内有一个包括各方面学者的巧辩学派，他们第一次提出并研究了下面三个作图题：

　　

　　2.立方倍积问题——求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的二倍.

　　3.化圆为方问题——求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积.

　　这就是数学上著名的几何三大问题.它是古希腊人在解出了一些作图题之后所作的一种引伸.因任意角可以二等分，于是就想搞三等分；因以正方形对角线为一边作一正方形，其面积是原正方形面积的二倍，这就容易想到立方倍积问题；因作了一些具有一定形状的图形使之与给定图形等积这一类作图题之后，而圆和正方形是最简单的几何图形，这就很自然地提出了化圆为方的问题.

　　从表面上看，这三个问题都很简单，似乎应该可用尺规作图来完成，因此两千多年来曾吸引了许多人，进行了经久不息的研究.虽然发现了只要借助于别的作图工具或曲线即可轻易地解决问题，但是仅用尺规进行作图却始终未能成功.1637年笛卡尔(Descartes，R.1596—1650)创立了解析几何，又经过两百年，1837年闻脱兹尔(Wantzel，P.L.1814—1848)在研究阿贝尔(Abel，N.H.1802—1829)定理的化简时，始证明了三等分任意角和立方倍积这两个问题不能用尺规作图来完成.1882年，林德曼(Lindemann，F.1852—1939)在埃尔米特(Hermite，C.1822—1901)证明了e是超越数的基础上，证明了π也是超越数，从而证明了化圆为方也是尺规作图不能问题.最后，克莱因(Klein.F.1849—1925)在总结前人研究成果的基础上，1895年在德国数理教学改进社开会时宣读的一篇论文中，给出了几何三大问题不可能用尺规来作图的简单而明晰的证法，从而使两千多年未得解决的疑问告一段落.

　　几何三大问题尽管历时两千多年，似乎是向人类智慧的一次挑战，但最终还是被人们征服了.今天看来这不过是三个完全解决了的题目而已，决不是还需要人们去继续攻攀的难题.本书的目的并非引导读者想方设法去解决这三个问题，而是希望通过了解这三个问题的始末，懂得处理这一类不可能问题的方法，并运用本书的知识去剖析一些错误的作法，规劝那些无知的人勿再把时光浪费在寻求几何三大问题的求解上.

　　几何三大问题还能给我们一点启示，这就是对待一个未解决的问题的意义的认识，特别是历史长、影响深，得到过一些著名数学家钻研而尚未解决的那些著名问题.这些问题往往不是通常的方法所能解决的.对此，往往要越出通常的方法才能解决问题.于是，问题本身的意义不仅在于这个问题的解，更在于一个问题的解决可望得到不少新的成果和发现新的方法，例如，几何三大问题开创了对圆锥曲线的研究，发现了一些有价值的特殊曲线，提出了尺规作图的判别准则，等等.这些都比之几何三大问题的意义深远得多.对于那些至今未解决的许多著名问题，例如哥德巴赫问题，费马大定理等，似都应采取这样的态度，停留于初等方法是决不可能解决这些问题的.
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<>二、尺规作图的意义http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1044/3219_SR.HTM

三、尺规作图的可能性
<a href="http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1044/3220_SR.HTM" target="_blank" ><FONT color=#000000>http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/S...044/3220_SR.HTM</FONT></A>

四、几何三大问题为尺规作图不能问题的证明
<a href="http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1044/3221_SR.HTM" target="_blank" ><FONT color=#000000>http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/S...044/3221_SR.HTM</FONT></A>

五、跳出尺规作图的框框
<a href="http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1044/3222_SR.HTM" target="_blank" ><FONT color=#000000>http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/S...044/3222_SR.HTM</FONT></A>

六、尺规近似作图
<a href="http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1044/3223_SR.HTM" target="_blank" ><FONT color=#000000>http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/S...044/3223_SR.HTM</FONT></A>

七、三等分一任意角错误作法的剖析
<a href="http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1044/3224_SR.HTM" target="_blank" ><FONT color=#000000>http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/S...044/3224_SR.HTM</FONT></A> </P>

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