[转帖]克拉兹问题的发展及近代新课题

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<><FONT color=#f70997 size=5>     原始克拉次问题.</FONT></P>
<><FONT color=#f70997 size=5> <FONT color=#000000> <FONT size=1></FONT><FONT color=#000000 size=4>二十世纪30年代,克拉茨还在上大学的时候,受到一些著名的数学家影响,对于数论函数发生了兴趣,为此研究了有关函数的迭代问题.
在1932年7月1日的笔记本中,他研究了这样一个函数: </FONT></P>
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<TABLE border=0 cellPadding=0 cellSpacing=0 width="10%">

<TR>
<TD noWrap width="33%"></TD>
<TD noWrap rowSpan=3 width="33%"><FONT color=#000000 size=4><BIG><BIG><BIG><BIG><BIG>{</BIG></BIG></BIG></BIG></BIG></FONT></TD>
<TD noWrap width="34%"><FONT color=#000000 size=4>2x/3      x被3整除</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD noWrap width="33%"><FONT color=#000000 size=4>F(x)=</FONT></TD>
<TD noWrap width="34%"><FONT color=#000000 size=4>(4x-1)/3  x被3除余1</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD noWrap width="33%"></TD>
<TD noWrap width="34%"><FONT color=#000000 size=4>(4x+1)/3  x被3除余2</FONT></TD></TR></TABLE></CENTER></DIV>
<><FONT color=#000000 size=4>    则F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...为了便于观察上述迭代结果,我们将它们写成置换的形式:</FONT></P>
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<TABLE border=0 cellPadding=0 cellSpacing=0 width="10%">

<TR>
<TD rowSpan=2 width="33%"><FONT color=#000000 size=4><BIG><BIG><BIG><BIG><BIG><BIG>(</BIG></BIG></BIG></BIG></BIG></BIG></FONT></TD>
<TD noWrap width="33%"><FONT color=#000000 size=4>1 2 3 4 5 6 7  8 9  ...</FONT></TD>
<TD rowSpan=2 width="34%"><FONT color=#000000 size=4><BIG><BIG><BIG><BIG><BIG><BIG>)</BIG></BIG></BIG></BIG></BIG></BIG></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD noWrap width="33%"><FONT color=#000000 size=4>1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...</FONT></TD></TR></TABLE></CENTER></DIV>
<P><FONT color=#000000 size=4>    由此观察到:对于x=2,3的F迭代产生循环(2,3)
    对于x=4,5,6,7,9的F迭代产生循环(5,7,9,6,4).
接下来就是对x=8进行迭代,克拉茨在这里遇到了困难,他不能确知,这个迭代是否会形成循环,也不知道对全体自然数做迭代除了得到上述两个循环之外,是否还会产生其他循环.后人将这个问题称为原始克拉茨问题.现在人们更感兴趣的是它的逆问题:</FONT></P>
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<TABLE border=0 cellPadding=0 cellSpacing=0 width="10%">

<TR>
<TD noWrap width="33%"></TD>
<TD noWrap rowSpan=3 width="33%"><FONT color=#000000 size=4><BIG><BIG><BIG><BIG><BIG>{</BIG></BIG></BIG></BIG></BIG></FONT></TD>
<TD noWrap width="34%"><FONT color=#000000 size=4>3x/2      x是偶数</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD noWrap width="33%"><FONT color=#000000 size=4>G(x)=</FONT></TD>
<TD noWrap width="34%"><FONT color=#000000 size=4>(3x-1)/4  x被4除余3</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD noWrap width="33%"></TD>
<TD noWrap width="34%"><FONT color=#000000 size=4>(3x+1)/4  x被4除余1</FONT></TD></TR></TABLE></CENTER></DIV>
<P><FONT color=#000000 size=4>不难证明,G(x)恰是原始克拉茨函数F(x)的反函数.对于任何正整数x做G迭代,会有什么样的结果呢?
    经计算,已经得到下列四个循环:
    (1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).
因为G迭代与F迭代是互逆的,由此知道,F迭代还应有循环(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).
    G迭代还能有别的循环吗?为了找到别的循环,人们想到了下面的巧妙方法:
    由于G迭代使后项是前项的3/2(当前项是偶数时)或近似的3/4(当前项是奇数).如果G迭代中出现循环,比如迭代的第t项a<SUB>t</SUB>与第s项a<SUB>s</SUB>重复(t&lt;s):a<SUB>t</SUB>=a<SUB>s</SUB>.但
    a<SUB>s</SUB>/a<SUB>s-1</SUB>,a<SUB>s-1</SUB>/a<SUB>s-2</SUB>,...a<SUB>t+1</SUB>/a<SUB>t</SUB>
    或等于3/2,或者近似于3/22,因而
    1=a<SUB>s</SUB>/a<SUB>t</SUB>=a<SUB>s</SUB>/a<SUB>s-1</SUB>*a<SUB>s-1</SUB>/a<SUB>s-2</SUB>*...a<SUB>t+1</SUB>/a<SUB>t</SUB>≈3<SUP>m</SUP>/2<SUP>n</SUP>
    这里 m=s-t,m &lt; n
    即 2<SUP>n</SUP>≈3<SUP>m</SUP>
    log<SUB>2</SUB>2<SUP>n</SUP>≈log<SUB>2</SUB>3<SUP>m</SUP>
    故 n/m≈log<SUB>2</SUB>3
    这就是说,为了寻找出有重复的项(即有循环),应求出log<SUB>2</SUB>3的渐进分数n/m,且m可能是一个循环所包含的数的个数,即循环的长度.
    log<SUB>2</SUB>3展开成连分数后,可得到下列紧缺度不同的渐进分数:
    log<SUB>2</SUB>3≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...
    渐进分数2/1表明,31≈22,循环长度应为1.实际上恰存在长度为1的循环(1).
    渐进分数3/2表明,32≈23,循环长度应为2.实际上恰存在长度为2的循环(2,3).
    渐进分数8/5表明,35≈28,循环长度应为5.实际上恰存在长度为5的循环(4,6,9,7,5).
    渐进分数19/12表明,312≈219,循环长度应为12,实际上恰存在长度为12的循环(44,66,...59).
    这四个渐进分数的分母与实际存在的循环长度的一致性,给了人们一些启发与信心,促使人们继续考虑:是否存在长度为41,53,306,665,15601,...的循环?令人遗憾的是,已经证明长度是41,53,306的循环肯定不存在,那么,是否会有长度为665,15601,...的循环呢?
    F迭代与G迭代究竟能有哪些循环呢?人们正在努力探索中!</FONT></P></FONT></FONT>
<P><FONT color=#000000 size=5>     </FONT></P>

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<><FONT color=#ee1196 size=5>广义坷拉次问题。</FONT></P><><FONT color=#ee1196 size=5>    <FONT color=#000000 size=4>人们注意到克拉茨迭代所得的C数列中,取奇数的项更为重要,因此,人们引进了简化克拉茨函数:
                                                C(x)=(3x+1)/2<SUP>e(x)</SUP>
  其中e(x)是3x+1所含的素因子2的个数.例如,当x=29时,3x+1=88=23*11,e(29)=3,对应的简化C数列为
                           11,17,13,5,1,1,...
  路径由原来的18减少到5,更有利于C迭代的研究.
  一般地,设a,b是正整数,a&gt;1,且b为奇数,广义克拉茨函数是C(x)=(ax+b)/2<SUP>e(x)</SUP>
  其中x取正奇数,e(x)是ax+b所含素因子2的个数.显然,a=3,b=1就是3x+1问题.
  ax+b问题就是,对于任何一个正奇数x,经过有限次的广义C迭代最终是否可得到1?
    令人感到意外的是,ax+b问题有可能以否定的形式而解决,人们估计下面的ax+b猜想是正确的:
    除了a=3,b=1(即3x+1问题)外,对于其他的正整数a,b(a&gt;1,b为奇数)都可以找到一个正奇数r,使得r的广义C迭代中始终不出现1.
    实际上,取r=bt(t为任意正奇数),则
    C(r)*2<SUP>e(r)</SUP>=ar+b=(at+1)b
    如果b&gt;1,则C(r)必能被b整除,从而r的广义C数列各项都能被大于1的数b整除,永远的不到1,此时,猜想是正确的.
    如果b=1,则当a为偶数时,C(x)*2<SUP>e(x)</SUP>=ax+1恒为奇数且C数列是递增的,C迭代不会得到1,而当a是奇数时,ax+1猜想就是:
    对于给定的奇数a&gt;3,必定存在某个正奇数r,使得r的广义C迭代,即C(x)=(ax+1)/2<SUP>e(x)</SUP>不出现1.
  1978年,克兰多尔已经证明,当a=5,181,1093时候,上述猜想是正确的.
    (1)5x+1问题:C(x)=(5x+1)/2<SUP>e(x)</SUP>
  取r=13,则r的广义C迭代数列是33,83,13,33,...出现循环(33,83,13),不出现1.
    (2)181x+1问题:C(x)=(181x+1)/2<SUP>e(x)</SUP>
  取r=27,则r的广义C迭代数列是611,27,611,27,...出现循环(611,27),不出现1.
    (3)1093x+1问题:C(x)=(1093x+1)/2<SUP>e(x)</SUP>
取s=(2<SUP>364k</SUP>-1)/1093(其中k为任意自然数),则1093+1=2<SUP>364k</SUP>,故e(s)=364k,C(s)=1.可以证明这是1093x+1问题中能达到1的仅有的一祖数,而对于其他任何正奇数r(不等于s),则C迭代可以无限地进行下去,永远得不到1.
    此外,有人研究了7x+1问题,对于r=3的迭代项数已经超过10<SUP>2000</SUP>,仍然看不出任何重复的迹象,看来7x+1猜想很可能也是正确的.但还没有从理论上加以证明.
    到目前为止,ax+1问题远未解决</FONT></FONT></P>

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<><FONT color=#ee1169 size=5>负数克拉次问题。</FONT></P><><FONT color=#ee1169 size=5> <FONT color=#000000 size=4>     人们在对自然数进行C迭代研究的同时,又想到:如果迭代在整数集上进行,其结果又会如何呢?
当x为正整数时,如前所述出现循环(4,2,1)
当x=0,出现循环(0)
当x=-1,-2,-3,-4时,最终出现循环(-1,-2).
当x=-5,出现循环(-5,-14,-7,-20,-10).
当x=-6,-7,...-16时,最终出现循环(-1,-2),(-5,-14,-7,-20,-10)
当x=-17,出现循环(-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34)
对x&lt;-17的数进行迭代,再未出现新的循环,于是,人们猜想:
    如果对全体整数进行C迭代,只能出现上述5个循环.
    人们已经对|x|&lt;10<SUP>8</SUP>的负整数x进行了验算,证明猜想是正确的,但并没有得到一般情形的证明.</FONT></FONT>[em02]</P>