<FONT size=3>爱吹牛的理发师(质疑数学中的某些悖论)－－胡桢
有一个理发师特别爱吹牛，逢人便说：他只给村里所有那些不给自己理发的人理发。于是乎，有人反问：理发师的头发由谁给他理呢？
若假定这个理发师的头发是他自己理的，那么按规定他只给那些不给自己理发的人理发，所以，可以推导出他不能为他自己理发；若假定他的头发是别人给理的，亦即他不给他自己理发，按规定这位理发师应该去给他自己理发。所以，不管怎样，不管这位理发师的头发是由谁给理的，都必然要推导出相反的命题。
类似于理发师的悖论引发了数学上第三次的危机，出现了所谓的康托尔悖论和罗素悖论。从形式逻辑的角度上分析，这样的悖论是存在的，因为从演绎法的推断中可以获得这样的悖论。然而，辩证地分析数学上的悖论，却与理发师悖论有着质的区别。
按照理发师的悖论，其大前提是只给那些不给自己理发的人理发，该前提已无前延，在此大前提之定论下后续出两个相互矛盾的推论。然而，康托尔悖论和罗素悖论，其中的前提是否为定论，却是一个尚未论证的，又怎知该前提是一个正确的前提呢？
先看一下所谓的罗素悖论：设T:{x|x Not∈x}，也就是说，T是由所有那些不属于自己的那些集合所组成，任一集合x，如果x Not∈x成立，那么这个x就是T的元，反之，T中每一元x都有这种性质，亦即若x ∈T，就有x Not∈x，现在问：集合T是否属于它自己呢？
作为一个集合的符号x，其中的元素可以是任何别的东西，但决不会是符号x本身。因为任意集合都具有{x|x Not∈x}这样的性质，所以{x}在集合论中是被定义为另一具有元素x之集合，而不是集合x。当罗素先生以悖论的方式在询问T是否属于它自己时，只是在重复提问开始时的问题，并无新的内涵。这让我想起了小时候的一个讲故事之事，内容是：【从前有个小和尚，给别人讲故事，那位小和尚说，从前有个小和尚，给别人讲故事，那位小和尚说，从前有个...。】反反复复就是这两话，可以讲到世界的末日，也没有将故事讲完。
显然，罗素悖论只是忘却了所谓的符号只代表其本身这一事实，混淆了符号的内涵与外延之区别。{x|x Not∈x}是作为符号x的内涵而存在；集合x中的元素是符号x的外延，说明在集合x中具有多少元素。同样，对于集合T也具有这样的性质，其与集合x的区别仅仅是符号之不同，而没有本质上的区别。对于集合T，可以用同样的理由再构成另一集合，直至无穷。罗素悖论企图移用理发师悖论于集合论，却在前提上犯了错误。在理发师悖论引发了矛盾的推理之前提，而在集合论中却是最基本的原则：集合的包含性。
再来看看所谓的康托尔悖论：按照集合论的概括原则，任一性质都决定一集合，因此，可以假定u是由所有集合所组成的那个集合。对于u，我们有它的幂集合P(u)。现在问：集合u与集合P(u)中，哪个的基数更大一些呢？
该悖论是根据康托尔定理而引发的。这个所谓的康托尔定理是指：任意集合的基数小于其幂集合的基数。于是乎，由康托尔定理可知，集合u的基数小于幂集合P(u)的基数；但另一方面又有，幂集合P(u)是u所有的子集合所组成，因此，对于任意的x∈P(u)，由u的定义，就有x∈u，所以，P(u)包含于u。可知，幂集合P(u)的基数不大于集合u的基数，由此引发了悖论。
对于康托尔定理，当集合为有限时，无疑是正确的；然而，若集合为无限时是否仍是正确的，没人作过论证，焉能以此作为前提？让我们考察一下康托尔定理在无穷集合时的情况。
我们知道，对于自然数集N的幂集合，已被证明等价于实数集R，其中的区别仅仅在于实数集R是连续的，而自然数集N的幂集合有空集Φ。对于自然数集N的幂集合，有元素：
{1}, {2}, {3}, ..., {1,2}, {1,3}, ..., {2,3}, ..., {1,2,3}, ...
等等。根据选择公理，以自然数1、2、3、...等为依据，分割上述的元素属于且仅属于互不相交的某一子集中。于是乎，由商集化的子集所组成的良序化之链具有：
π(1)＞π(2)＞π(3)＞π(4)＞...＞π(n)＞...
这样的形式。这些商集化的子集，都具有无穷多个元素，且在全域中所占的比例为：
1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...→1
即在自然数集N的幂集合中，其元素全部是可归纳的。
那么，实数集R的幂集合的基数是什么样的？换言之，若用自然数集N的幂集合来考察实数集R，自然数集N的幂集合之幂集合的基数是什么样的？以自然数集N的幂集合中的元素而组成的幂集合，有元素：
{{1}}, {{2}}, ..., {{1},{2}}, ..., {{1},{2,3}}, ...
等等。根据选择公理，同样可以用自然数1、2、3、...等为依据，分割上述的元素属于且仅属于互不相交的某一子集中。其商集化的子集所组成的良序化之链也具有：
π(1)＞π(2)＞π(3)＞π(4)＞...＞π(n)＞...
这样的形式。这些商集化的子集，都具有无穷多个元素，且在全域中所占的比例也是：
1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...→1
即在自然数集N的幂集合之幂集合中，其元素也是全部可归纳的。换言之，自然数集N的幂集合中的元素完全可以一一对应自然数集N的幂集合之幂集合中的元素，因为它们的商集化子集是一样多的，而且都具有无穷多个元素。
由此可知，所谓的康托尔定理只是在有限集中有效，当集合趋于无穷时，以自然数为基本元素的集合，其基数有极限，也就是实数集R的基数。显然，无限构成的自然数集N的幂集之幂集，只有一个基数，不存在任意集合的基数小于其幂集合的基数之定理。
既然康托尔定理在无穷集合中并不存在，那么，所谓的康托尔悖论也就无从谈起。因此，爱吹牛的理发师悖论只有在理发师的吹牛中存在，任何移作它用，由于前提之不同，只能成为谬误的悖论。</FONT> |
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发表于 2004-5-30 02:47:44
>很好 我喜欢</P>
发表于 2004-6-8 22:24:32