对于集合论悖论的不同解决方案

math618

2003, 5, 31　吴文成

　　我预计要对悖论问题作一系列的讨论，讨论的顺序大概是这样：之前谈了罗素悖论（集合论悖论）如何被表述为逻辑悖论（语形悖论，以性质悖论为代表）与语义悖论，而这篇文章要谈的是，二十世纪初数学领域对于集合论悖论的不同解决方案，然后在另外的两篇文章中，再来谈谈哲学家们如何解决语义悖论，在这些解决方案都不能令人满意的情况下，我们来谈不同类型的悖论的共同特征与根源，这自然也就是在谈论理性自身的性质了，在人们遭遇悖论的过程当中，也揭示了理性认识的困境。 这一系列的讨论将是工程浩大的研究。
　　先前《从罗素悖论看集合论悖论、逻辑悖论与语义悖论》一文中记述了康托悖论与罗素悖论，我们可以借着剖析这两个集合论悖论，来看看数学家如何开展他们各自不同的悖论解决方案。康托悖论的[U]基本概念[/U]是这样，令Ｑ是所有集合的集合（我们称作大全集），令Ｐ是Ｑ的羃集（Ｐ是由Ｑ的所有子集合所组成的集合），根据羃集的定义，得知任一集合属于该集合的羃集，可以推出Ｑ属于Ｐ；根据大全集的定义，得知任一集合都属于大全集，可以推出Ｐ属于Ｑ。这两个相互矛盾的命题从而构成了悖论。显而易见地，康托悖论的根据有两个：一是存在有大全集，即存在着这样的集合，它以所有的集合为元素。二是任何的集合都有羃集，这一点也就是说，任一集合都可以扩充到一个以自身的所有子集为元素的[U]更大的集合[/U]。放弃掉这两点根据的任何一点，均可以使得康托悖论不再成立。
　　我们再来看看罗素悖论，令Ｓ（我们称作罗素集）是所有[U]不以自身为元素的集合[/U]所构成的一个集合。具有某一性质的对象所构成的集合没有该性质，我们便说这样的集合是不以自身为元素的集合，例如「汤匙的集合」本身不是汤匙，「兔子的集合」本身也不是兔子，所有这样的集合便构成了Ｓ；但是像这个集合「不是汤匙的集合」本身就不是汤匙，它便不属于Ｓ，或是像「概念的集合」本身也是概念，它同样不属于Ｓ，所有不属于Ｓ的集合显然是那些以自身为元素的集合。根据集合的概念，对于任一集合而言，考虑「集合作为元素属于自身」是有意义的命题，考虑的结果配合排中律的说法是：任一集合要么属于自身，要么不属于自身。罗素悖论是这样形成的：如果Ｓ属于Ｓ，那么Ｓ属于那些不以自身为元素的集合，即Ｓ具有不以自身为元素的性质，便推出Ｓ不属于Ｓ；又如果Ｓ不属于Ｓ，那么Ｓ反而属于那些以自身为元素的集合，即Ｓ具有以自身为元素的性质，便推出Ｓ属于Ｓ。这两个相互矛盾的命题从而构成了悖论。
……详见http://alumni.nctu.edu.tw/~sinner/science/part_1/paradox1/page1.htm

math618

2002, 12, 18　吳文成
数学美学的内涵