数学的印象(小平邦彦)

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什么是数学？不太清楚。但我以为关心数学的某些人会有这样的感觉，认为数学实际不就是这么回事吗？本文要叙述一个数学家看到数学的印象，即像我这样对数学专业以外的事情就不太懂的单纯的数学家，在研究数学时，感到数学是什么呢？我是直率而不加修饰的谈这一问题以提供读者参考。
一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照着文法去写小说完全是两码事；同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的性质。
通常的逻辑谁都明白，要是数学能归结到逻辑，那么谁都应该懂得数学了。但是初中高中很多学生理解不了数学却是众所周知的事实。精通语言学但数学成绩不好的学生不在少数。所以我认为数学在本质上与逻辑不同。

[B]数学[/B]
考虑除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要「观察」数学现象。这里说的「观察」不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理能力之类的纯粹感觉，我认为更接近于视觉。也可称之为直觉，为了强调是纯粹感觉，以下称此感觉为「数觉」。直觉包含着「一瞬领悟真谛」的含义，不太贴切。数学的敏锐，如同听觉的敏锐一样，与头脑好坏没有关系（指本质上没有关系的意思，而不是统计上没有相关关系）。但是要理解数学，不靠数学便一事无成。没有数觉的人不懂数学就像五音不全的人不懂音乐一样（这只要担当数学不行的孩子的家庭教师就马上明白。你眼前看到的事情孩子却怎么也看不见，说明起来很吃力）。数学家自己并不觉得如在证明定理时主要是具备了数觉，所以就认为是逻辑上作了严密的证明，实际并非如此，如果把证明全部用形式逻辑记号写下看看就明白了。那就过份冗长，实际上不可能（当然不是说证明在逻辑上不严密。而是依照数觉，那些明显的事实就略去逻辑推理而已）。最近每每谈及数学的 sense（感受），而作为数学 sense 基础的感觉，可以说就是数觉。数学家因为都有敏锐的数觉，自己反倒不觉得了。

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[B]数学也以自然现象为对象[/B]
把数学的对象看作是自然现象的一部份，也许有人说这不讲道理，但是数学现象与物理现象同样是无可争辩的实际存在的，这明确表现在当数学家证明新定理时，不是说「发明」了定理，而是说「发现」了定理。我也证明过一些新定理，但绝不是觉得自己想出来的。只不过感到偶而被我发现了早就存在的定理。
正如大家不断指出的那样，数学对理论物理起着难以想象的作用。简直可以认为物理现象彷佛全都遵循着数学的法则。而且在许多场合，物理理论所需要的数学在该理论被发现以前很久就已经由数学家预先准备好了。典型的例子要算爱因斯坦广义相对论中的黎曼空间了。数学对物理如此起作用，其理由何在呢？过去的说法，归结起来是说数学是物理的语言。也许可以说，如广义相对论中黎曼几何的作用就是一种语言。但是在量子力学中，数学却真起了魔术般的神秘作用，在这里无论如何也不能认为数学只是语言了。
翻开量子力学教科书，首先看到的是光的干涉、电子的散射等实验的说明，然后表明，光子、电子等的粒子状态可以用波动函数（即属于某个 Hilbert 空间的向量）来表示并导出与若干状态的波动函数有关的迭加原理。迭加原理认为，状态 A 若是状态 B 与 C 的迭加，则 A 的波动函数就是 B 的波动函数与 C 的波动函数的线性组合，它是量子力学的基本原理。
什么叫粒子的状态呢？例如加速器内电子的状态就是由加速器决定的，所以，粒子状态可认为是该粒子所处的环境。因此在量子力学中就用唯一的波动函数（向量）来表示复杂至极的环境。这里首先是进行简单化、数学化的处理。状态 A 是状态 B 和 C 的迭加是怎么一回事呢？对于教科书中光的干涉等情形，其意义可以认为是显然的，而在一般场合，却很难理解环境 A 是环境 B 与 C 的迭加的意义。虽然根据普通观测的干扰可以说不确定性原理，例如不能同时观测粒子的位置与速度，但毕竟不能把粒子同时放在位置观测装置与速度观测装置中。就是说，粒子不能同时存在于二个环境中。那么什么又是这样二种环境的迭加呢？很难说清楚。另一方面，波动函数的线性组合演算在数学中却是完全初等的、简单明了的。迭加原理认为，这种简明的数学演算表现了复杂奇怪状态的迭加。就是说数学的演算支配着量子力学的对象即物理现象。明白了迭加的物理意义，就知道不是用数式表示它，而是把线性组合表示的状态迭加当作公理，反过来按数学演算来确定迭加的意义。正如 R. Feynman 所说，迭加原理的说明只能到此为止。只能认为量子力学是基于数学不可思议的魔力。所以我认为，在物理现象的背后在着数学现象是无可争辩的。

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[B]数学是实验科学[/B]
物理学家研究自然现象，在同样意义上，数学家研究着数学现象。也许有人会说，物理学家做各种各样的实验，而数学家不就是思考吗？但是，这种情况的「思考」就是思考实验的意思，例如与「思考」考试题的性质不同。我们知道，对考试问题，只要适当组合某个确定范围内已知的事实，一小时内一定能够解决，思考的对象、思考的方法都摆在面前。而实验则是为了调查研究原先未知的自然现象，当然其结果就无法猜想，也许什么结果也得不到。数学也完全一样，它是探究未知的数学现象的思考实验，虽说是思考，但思考的对象是未知的，思考些什么为好也不知道。数学研究的最大困难就在于此。
思考实验中最容易理解的形式是调查实例。例如考虑偶数最少可表为几个素数的和的问题。检查一下实际的偶数，2 是素数不算， 4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...，总可以表为二个素数的和。由这一实验结果，可以猜想「除 2 以外的一切偶数都可表为二个素数的和」的定理成立（这是早就有名的哥德巴赫猜想，现在还没有解决）。如果这样几次调查实例，能够猜想出定理的形式，以后就可以考虑证明该定理，那么研究的最初难关就被突破了。当然这是数学，光堆积几个实例还不是定理的证明，证明还必须另外考虑。
初等数论些定理就是首先从这样的实验结果出发引出猜想，然后才证明的。从上个世纪末到本世纪初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代数几何学家得到的惊人成果中，依据实验的不在少数。实际上，J.A. Todd 在1930年左右发表的论文中曾明确断言：「代数几何是实验科学」。他们的定理全部得以严密的证明还是最近的事。值得注意的是，尽管他们给出的定理证明还很不完全，但是定理却是正确的。

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[B]发现新定理[/B]
最近数学的对象一般都非常抽象，实例也还是抽象的，难以想象，因此靠调查实例来猜想定理的形式，在许多情况下首先就不可能。我不知道在这种状况下，发现新定理的思考实验的方式是什么样的。即使说只是含含糊糊地想想思考些什么，恐怕还是不行的。实际就是那样往往是不管怎么去思考都得不到相应的结果。这么说来，数学研究是不是非常困难的工作呢？倒也未必。有时你什么也没干，但却很自然地接二连三看到那些值得思考的事情，研究工作轻而易举地得到进展。这时感受充分表现在夏目漱石在《十夜梦》中描述运庆雕刻金刚力士的话上。引用其中的一部份：
运庆现在横着刻完了一寸高的粗眉毛，凿刀一竖起，就斜着从上一锤打下。他熟练地凿着硬木，就在厚木屑随着锤声飞扬的时候，鼻翼已完全张开鼻孔的怒鼻的侧面已经显现出来。看起来他的进刀方法已无所顾忌，没有丝毫犹豫的样子。
「原来使用凿子那么容易，就把想象中的眉毛、鼻子作成了」，他颇为得意，自言自语道。于是，刚才的青年就说：「什么，那并非用凿子作出眉、鼻的，眉毛、鼻子本已埋在木材中了，只是靠凿子与锤子的力量挖了出来。就像从土中挖出石头一样，决不会错的」。
这种时刻，想想这世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到有些学生对将来是否干数学还犹豫不定，就会劝告他「一定要选数学，因为再没有比数学更容易的了」。
接下去漱石的话的要点如下：
他便觉得雕刻也不过如此，谁都能干的。因此他想自己也雕个金刚力士试试，回到家，便一个接一个雕刻起后院的那堆木材。不幸的是，一块木头里也没有发现金刚力士。他终于明白了，原来明治的木头里并没有埋着金刚力士。
数学也一样，普通的木头里没有埋着定理。但从外面却看不出里面究竟埋着什么，只好雕刻着看。数学中的雕刻就是一边进行繁复的计算，一边调查文献，决不是简单的。在许多情况下什么结果也没有。因此数学研究非常费时间。可以认为，研究的成败主要取决于运气的好坏。

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[B]定理与应用[/B]
现今的数学，由实例猜想定理是很困难的，不仅如此，定理与实例的关系看来也变了。在大学低年级的数学中；定理之为定理，乃是由于可应用于许多实例，没有应用的定理就没有意义。好的定理可以说就是应用广泛的定理。在这个意义上，函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。但最近的数学中，有广泛应用的定理几乎见不着。岂止如此，几乎毫无应用的定理却不少。正如某君不客气地说：「现代数学只有两种，即有定理而没有应用例子的数学与只有例子而没有定理的数学」。从现代数学的立场出发，「不管有没有应用，好的定理就是好的定理」，但我却总觉得，没有应用的定理总有点美中不足。

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[B]数学的唯一理解方法[/B]
即使不作研究，只看看书与论文，数学也很费时间。比如只看定理而跳过证明，二三册书似乎很快就能读完的。但是实际上跳过证明去读，印象就不深，结果一无所知。要理解数学书，只有一步一止循着证明。数学的证明不只是论证，还有思考实验的意思。所谓理解证明，也不是确认论证中没有错误，而是自己尝试重新修改思考实验。理解也可以说是自身的体验。
难以想象的是，此外没有别的理解数学的方法。比如物理学，即使是最新的基本粒子理论，如果阅读通俗读物，总能大致明白、至少自己认为明白了，尽管很自然地与专家的理解方法不同。这就存在着老百姓的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是，数学不存在老百姓的理解方法。大概不可能写出关于数学最近成果的通俗读物。

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[B]「丰富的」理论体系[/B]
现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系仅仅是假定，只要不包含矛盾，怎么都行。数学家当然具有选取任何公理系的自由。但在实际上，公理系如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系不仅是无矛盾的，而且必须是丰富的。考虑到这点，公理系的选择自由就非常有限。
为了说明这件事，把数学的理论体系比作游戏，那么公理系就相当于游戏规则。所谓公理系丰富的意思就是游戏有趣。例如在围棋盘上布子的游戏，现在知道的只有围棋、五子棋和二类朝鲜围棋只 4 种类型。就是说，此刻所知道的公理系只有 4 个。除这 4 个以外，还有没有有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋、或者更一般的 n 子棋又如何呢？实际上下 n 子棋，当 n 在 4 以下，先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当 n 在 6 以上时，则永远分不出胜负，也毫无意思。发现这种新的有趣的游戏并不容易。要找出跟围棋差不多有意思的游戏大概是不可能的。虽然这只是我的想法。数学也同样，发现丰富的公理系是极其困难的。公理系的选择自由实际上等于没有。

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[B]理论的丰富推广[/B]
数学家一般都本能地喜欢推广。例如假设存在以某个公理系 A 为基础的丰富的理论体系 S。这时谁都会想象到，从 A 中去掉若干个公理得到公理 B，从 B 出发推广 S 得到理论体系 T，再进行展开。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 乃是 S 的推广，但如果实际试验一下这种推广，许多场合与期待的相反，T 的内容贫乏得令人失望。这种时候，可以说 T 不过是 S 的稀疏化而不是推广。当然并非所有的推广都是稀疏化。数学从来是依据推广而发展起来的。最近推广不断堕入稀疏化，倒不能说是一种奇怪的现象。
那么，能发展成丰富的理论的推广，其特征是什么呢？进一步，公理系能作为丰富的理论体系的出发点的特征又是什么呢？现代数学对这种问题不感兴趣。例如，群论显然是比格论更为丰富的体系，但群的公理系优于格的公理系之点是什么呢？又在拓朴学、代数几何、多变量函数论等等中，基本层的理论的出发点（看来似乎）是毫无价值的推广，它不过是用及数替换以前的常数作为上同调群的系数。而实际上却是非常丰富的推广，其理由何在呢？与此相反，连续几何被看作是射影几何的令人惊叹的推广，但却没有什么发展，这又是为什么呢？当把数学作为一种现象直接观察时，所产生的这类问题不胜枚举。虽然我并不知道，它们是否都是不屑一顾的愚蠢问题，抑或能否建立一门的回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢？但是如果能够建立，那一定是非常有意思的学科。为了研究数学现象，从开始起唯一明显的困难就是，首先必须对数学的主要领域有个全面的、大概的了解。正如前面说的，为此就得花费大量的时间。没有能够写出数学的现代史我想也是由于同样的理由。