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征求最简解法
搞好中学数学素质教育，进行一题多解与最简解法的研究和教学，也是有效途径之一
，
因为它们能激发学生强烈的学习兴趣，所以高考题、竞赛题常含两个因素。
请看1979年高考题 已知：△ABC，∠A=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC。求证：(AB·AB
·AB) / (AC·AC·AC)=BE/CF。
此题为射影定理系列之一，有一百多个不同解法。证明：由条件及结论联想射影定理→AB
·AB=BC·BD①，AC·AC=BC·CD②，
BD·BD=AB·BE③，CD·CD=AC·CF④。照结论写①2 / ②2→(AB·AB·AB·AB) / (AC·A
C·AC·AC)=(BD·BD) / (CD·CD)以①②代入=AB·BE /AC·CF※→约去AB / AC→(AB·A
B·AB) / (AC·AC·AC)=BE/CF, 只列一式※。
再看2001年高考题 已知：抛物线Y·Y=2PX（P＞O），过焦点F 的直线交抛线于A、B，
BC∥X轴交准线于C。 求证：A、O、C共线。
（解一）照BC作AE∥X轴交准线于E，由抛物线概念→AE=AF①，BC=BF②。由平行线截直线
概念→
设X轴交AC于O′，交准线于D→O′D/AE= O′C/AC=BF/AB=由②BC/AB= O′F/AF= O′F/由①
AE→
DO′=FO′,→O、O′共点,∴A、O、C共线。只列一式※。
（解二）由点在抛物线上，点坐标满足方程的概念→XA=YA·YA／2P①，XB=YB·YB／2P②
。由三点共线，有两段直线斜率相等的概念→如A、O、C共线→YA/XA③=YC/-(P/2)=YB/-(
P/2),①代入③→YA·YB=-P·P④。照样，由A、F、B共线→
YA/(XA-P/2)= YB/(XB-P/2)※，①②代入，化简，约去YA－YB→④。∴A、
O、C共线。只列一式※。
（据了解，目前所有书刊尚无如此最简解法，何故？）
附注：由已知条件和结论推出的关系式不算中心证式※。按照举例要求和附注，提出三题
征求最简解法。
第一题：1990年北京市中学竞赛题 已知：△ABC,∠C=90°,∠A=3∠B.，D在BC上，
∠CAD=∠B。
求证：BD=2AC。新要求：不用三角函数，只添一线，只列一式（中心证式※）,作出最简解
法六个。
第二题：1992年全国初中联赛题 已知：△ABC,AB=AC,D在BC上,E在AD上，∠BED=∠
A=2∠CED。
求证：BD=2CD。新要求：（1）不添线，可用三角函数，只列一式（中心证式※），作出最
简解法二个。
（2）可添线，不用三角函数，只列一式（中心证式※），作出
最简解法二个。
第三题 费马小定理（又名分割定理） 已知：矩形ABCD，AB= √2AD，以AB为直径
向外作半园上一点P，连PC、PD交AB于E、F。 求证：
AE·AE＋BF·BF＝AB·AB
国内梁绍鸿著的《初等数学复习及研究（平面几何）》中有此题，国内已作出题解，
有人说：解法太繁，不忍卒读，故作出简解如下：作PH⊥EF于H→PH·PH=AH·BH及△ADF∽
△PHF、△BCE∽△PHE㈠ 。设PH=h→h·h=AH·BH㈡,AF=x,BE=y, AD=BC=1→AB=√2 。由㈠
→x / 1=FH / h ,y / 1=EH / h㈢。（以上为由已知条件推出的关系式）
由㈢→FH=hx、EH=hy①→AH=x(1+h)、BH=y(1+h)②→AB=(1+h)(x+y)=√2 ③→1+h=√2 /(
x+y)④→h=[√2-(x+y) ]/(x+y)⑤→②代入㈡→h·h=xy(1+h)(1+h)⑥→④⑤代入⑥→[√
2-(x+y) ] [√2-(x+y) ]=2xy→2-2√2(x+y)+x·x+y·y(⑦。
由AE·AE+BF·BF=(√2 -y) (√2 -y)+(√2-x) (√2-x)=2+2-2√2 (x+y)+x·x+y·y(⑦代
入）=2=AB·AB。证明过程共用了8式。
新要求：只列一式（中心证式※），作出最简解法二个。
0757-3210285
0739-5344277 中国老人 张光禄
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发表于 2004-3-2 06:41:17