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数学发现的偶然性，非数学发现中的偶然性或偶然性因素，而是说数学发现是偶然
的，于某一发现的平庸推论推导扩展则不在考虑之内。
"偶然的积累导致必然，大量的偶然是必然。"这几乎人人都可接受，且能用于多种不同
的场合。然而这"偶然的积累"到底要"积累"多少？"大量的偶然"的"大量"到底是多大呢
？足够多足够大到使必然发生？！无穷小量ε的倒数？！"吾生也有涯，而知也无涯。"
天知道，人类短瞬的历史能把"大量的偶然"或"足够多的偶然"全面正确观察到！其次，
这一规律又是怎样发现的？"来源于实践！"有人这样回答，"经过大脑加工整理而成，又
回归于实践。"似有道理，细忖微觉有异。数学自有"数学"这一名词以来便以其严谨的逻
辑思辩，玄妙的美感，强大的工具能力令人类折服，更不用说怀疑其正确性了！正确性
，有多少人怀疑过数学的正确性？马克思，海德格尔，弗洛伊德还是庄子？据估计（这
个词用得相当危险），他们都认可数学的正确性或者至少未发表怀疑数学正确性的文字
。可是事实上数学确确实实发生了三次数学危机，尤其是第三次数学危机几乎使得整个
数学大 崩溃于一旦。如今数学的确定性已消失殆尽，其基础岌岌可危。竟连数学这一
以严谨著称的学科都成这样了，我们又怎能保证这一"规律"的正确？数学在如 谋 冰地
向前进！
我们现在来看看概率论这一新兴的学科。概率论考察的是可能性，其意义在于可能性的
大小。我们说小概率事件在概率意义等于没有发生。这是什么道理?这是数学上的意义，
数学的道理！这似乎与人类的直觉很投缘。然而我们看天气预报可以发现天气预报只能
预报近几天的天气情况，还很有可能不准确，更不用说几星期几个月几年后的情况了。
为什么？原来是误差的累积造成的。Mendelbrot，一个介于数学家与物理学家之间的数
学家，在IBM研究天气预报时无意中发现由于误差的积累导致结果的截然不同。后来他果
然搞出了一门新的学科：分形。这一新学科的出现对传统的经典数学发起了强有力的挑
战。分形的产生可以说是有相当大的偶然性。作者本人在学习概率论的过程中，老是担
心小概率事件的发生，因为现实中常有认为是小概率的事件发生。故而我们最好做到10
0%的把握，在下断言，至于抛砖引玉又另当别论。这似乎有违"大胆假设，小心求证"。
可见数学家激起发现的想法亦受其所遇影响。
一种事物产生,发展,与消亡都是必然的。是必然的吗?数学的起源,数学的发展,数学
的深化……看似是一条确定的线,从古到今。
谁都知道数学的最初是数。数的产生，远在有史以前，详情已无法深究。究竟数的概念
是从经验里边产生的，还是仅仅凭借经验之力，把早已隐藏在原始人心灵中的概念加以
暴露而来的呢？这是一个吸引人的玄学问题，因而不在本文讨论的范围之内。
具体的东西总在抽象的东西之先。人类在计算方面之所以成功，应当归功于十指分明。
就是这些手指，才教会人类计数，从而把数的范围无限地扩大开来。如果没有这套装置
，人类对于数的技巧就不会比原始的数觉高出多少。因此，我们不无理由地说，要是没
有手指，那么数的发展，以及随之而来的我们精神上的和物质上的进步所依据的精确科
学的发展，也将毫无希望地处于低下的阶段。设想要是人类没有屈伸自如的手指，而只
有两只"不分关节"的秃拳，整个文化史会成个什么样子。在这种情形之下，假如最终也
发展出某种记数法的话，它可能是二进制的。那么二进制就可能不是Leibniz发明的了，
而是人类初祖的成绩贡献了。因为了二进制那种神秘的雅致，Leibniz这样赞叹说："用
一，从无，可生万物。"
人类采用十进制乃是一种生理上的凑巧。如果相信从一切事物里都可以看出上帝的匠心
，就不得不承认上帝是一位蹩脚的数学家。因为十进的基底除了生理上的优点而外，本
身没有很多可以称道之外。几乎一切其他的基底，也许除掉九以外，都和它一样高明，
也许还强一些。老实说，如果让一群专家来选择基底的话，我们也许会看到实用家和数
学家之间的争论。实用家坚持要用最多因数的数，如十二之类为基底；而数学家则要用
质数，如七或十一之类为基底。事实上，十八世纪后期的大博物学家Buffon曾经提议举
世公用十二进制。他指出：十二有四个除数，而十只有两个，他坚持说，正是由于我们
的十进制，世世代代以来，都感到极为不便，所以虽然十是举世公用的基底，而在大多
数的度量衡中，都有着以十二为基底的辅助单位。另一方面，大数学家Lagrange宣称：
用质数作基底有绝大多数的好处。他指出：用了质数基底，每个整分数就都不能化简，
因此表示该数的方法只有一种。在我们现在的命数法中，譬如小数0.36，实在代表许多
个分数：36/100，18/50，9/25......。若用十一等质数作基底，这种暧昧不明之处就大
大减少了。
不管我们委托选择基底的贤人们决定采用质数还是合数作基底，我们敢肯定，十甚至是
根本不会被考虑的，因为它既非质数，又不含足够多的因数。表明书写数字的系统应用
的最古记载，要算古苏美尔人的和埃及人所作的了。追溯它们的起源，大约产生于同一
个时期，都在公元前三千五百年左右。经过研究，我们会为它们应用了非常相似的原则
而感到惊异。当然，这些民族虽然相距很远，但不能说他们没有交往的可能。不过，更
可能的是，他们都循着阻力最小的方向发展他们的命数法，就是说，他们的命数法只是
记帐的自发过程的产物罢了。人类早期文明史表明：精于计算的人常被认为有着天赋异
秉。这就可以解释为什么从远古以来算术一向史僧侣们所勤奋研究的东西了。而且我们
还可以发现早期数学与宗教仪式和宗教神秘的关系，这不仅仅在科学依附于宗教的古代
东方是如此，即使开明的希腊人，也不能完全地逃避数与形的这种神秘性。
附加一句，零是人们在公元初期想把计数盘的演算作永久纪录时，为了避免含糊而偶然
产生的东西。十之八九是作为计数盘上的空行而产生的记号--印度字 sunya（即零），
注定要成为文化进展的转折点。这个伟大的发现影响所及绝不限于算术。通过为推广数
的概念铺平了道路，它在数学的几乎每一个分支都起着同样重要的作用。在文化史上，
零的发现永远标志着人类最伟大的独一无二的成就。一个伟大的发现！不错。但它正和
许多对人类生活有着深远影响的早期发现一样--不是刻苦研究的报酬，而是盲目撞到的
礼物。
数学从一开始就受各种桎梏的羁绊，步 蹒跚，东倒西歪，没有?己的方向，来自外界
的一丝风吹草动就能使之改变路径。数学，这就是数学！
在我们考察个体的数学发现之前，先看看几个有趣的东西。有据可证，希特勒在艺术上
有相当的造诣；若李煜同志不坐那种皇位而专司诗词创作的话，南唐的历史甚至中国从
南唐之后的历史恐怕都得重写，中国的历史上恐怕少了一个昏君多了一个才华横溢的词
人文学家；维纳在大学里一直爱的生物学，对数学不是那么热心……；有人说Pythagor
as 发现勾股定理是他的机遇，"他的朋友家的地板砖的图形中得到了启发"；最初，Lei
bniz不是研究数学的专家，所以没有受过数学方面的专门教育......这样看来，个体似
乎都有着某种难以名状的偶然性，人生似乎是个偶然的过程。
最初人类似乎相信自然是上帝用数学设计的,曾几何时人类为此而欢欣鼓舞:人类掌握
的自然的数学设计,甚至到了十九二十世纪D.Hilbert在1900年的国际数学大会上颇为自
得地开篇就道:"我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在竟后今后的世纪里我们这
门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将最追求什么样的特殊目标？
在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？"接着，他讲
了著名的23个问题，"解决了这23个问题，数学领域中就没什么事可做的了......"然而
矛盾确是永远地存在着。
Poincare在<<数学创造>>中把思想组合中的未来元素想象成带钩子的原子。他说在精
神完全休眠时，这些原子是不动的，亦可以说，它们钩住了墙壁；因此，这种完全的休
眠可以无限地延续下去。另一方面，在表面的休眠和无意识的工作期间，它们中的某些
原子脱离墙壁并开始运动。它们通过封闭它们的空间向各个方向传播，就象气体运动论
中的气体分子。显而易见，初期的有意识的工作使这些原子中的某一些可以运动，它把
它们从墙壁上卸下来并使它们自由活动......"就象气体运动论中的气体分子"，言下之
意这些元素的运动完全是随机的，它们的某一个向何方向是非常偶然的。自由的原子,可
以自由移动,给思索思维带来的是随机的启示,随机导致应是随机性的结果。
稍后，直接追随H.Poincare的Hadamard在《数学领域中的发明心理学》一书中又阐述了
如下观点：机遇对于无意识的影响确实是存在的，并且是必要的。事实上，如同Poinca
re所指出的，当我们不光用自我反省法，而是就问题的本来性质去研究问题时，无意识
中就蕴涵着机遇，两者并不矛盾。在数学领域或其它领域中，发现或发明都是以新思想
组合的方式进行的。这种组合的数目无穷无尽，但其中绝大部分却没有什么用处，只有
极小一部分才是有效的。而我们的理智--我指的是我们的有意识的理智--也只关心这一
部分有效的东西，或者扩大一些说，还关心那些可能成为有效的东西。为了找到有效的
组合，我们就不得不去乖焓?恐诙嗟母髦指餮?淖楹希??蟛湃フ页鲇行У亩?鳎??这个
过程中，我们就不可避免地带着某种程度的随意性。接着他把数学发明的整体过程
分为四个阶段：一是准备阶段，此时是有意识的工作，但常常不能得到预期的结果；二
是酝酿阶段，即暂时丢开手头的工作，而去干其他事情，或去休息一下子，而无意识思
维却已由此开动起来；三是顿悟阶段，此时问题的答案后证明的途径已经出乎预料地突
然出现了；四是整理阶段。不管分为几个阶段，总之，无法改变其遭遇偶然性的厄运，
偶然性就象达摩克斯之剑一样悬在数学的头顶上。
海德格尔曾说:一个人曾经生活过,后来他却死了。
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发表于 2004-2-26 07:07:46
发表于 2004-2-28 21:03:02