Newton1983

《数学：确定性的丧失》
　　“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现
状。”                  ????----H·彭加勒
　　战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也
能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无
与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响
——数学的头上。
　　换句话说，这本书在非专业层次上探讨数学尊严的兴衰。看
到数学现在的宏大规模，日益增多甚至呈繁荣之势的数学活动，每
年发表的数以千计的研究论文，对计算机兴趣的迅猛飞涨，以及
尤其是在社会科学和生物科学中对定量关系的广泛研究，数学的
衰落何从谈起？悲剧存在于何处？要回答这些问题，我们必须首
先考虑是什么为数学赢得了巨大的声望和荣誉。
　　作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日
起的两千多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关
于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无
休止的确定性前景。
　　在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提
供精髓。尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定
　　作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日
起的两千多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关
于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无
休止的确定性前景。
　　在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提
律，但它们看来似乎与绝对的数学真理一样绝对可信，因为天文
学、力学、光学、空气动力学中的数学所做的预测与观察和实验
相当吻合。因此，数学能牢固把握宇宙的所作所为，能瓦解玄秘
并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界，吹
嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学定理）。
拉普拉斯的话概括了数学家们一直在不懈地寻求趔的信念。他
说，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的
规律。
　　数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即
从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，
则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正
确、完美的逻辑，数学家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结
论。数学的这套方法今天仍然沿用，任何时候，谁想找一个推理
的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。

　　这种数学方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显
示了人类理性的能力、根源和力量。所以他们猜测，为什么不能
把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神
学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢? 人类的推　理能力，
在数学及自然科学中，是如此的卓有成效，肯定也将成为上述其
他领域思想和行为的主宰，为其获得真理的美和美的真理。因此，
在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和
定理，用到了人文事务中。
　　洞察力最丰富的来源是后者。１９世纪初的创造，包括令人奇
怪的几各几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地勉强承认绝
对意义上的数学以及科学中的数学真理并不都是真理。例如，他
们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，它们可能都　
不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是
的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠释。开启真理的钥
匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。
　　新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的
震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用
严密论证去追求那些虚无飘渺的真理。认识到数学并不是真理的
们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，它们可能都　
不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是
的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠释。开启真理的钥
匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。
　　新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的
震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用
化身动摇了他们产生于数学的那份自信，他们开始重新检验他们　
的创造。他们捻地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。
　　事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不公包括错误的证明，
推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆
是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的不充分理解，无法真正
认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；就是说，直觉、实
证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。
　　不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心
里，特别是在柏拉图主义者看来，数学自身当然还是一个颇具魅
力的知识体系，一个因具真实性而受到青睐的部分。因此，数学
家们决定弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分。在１９世纪
下半叶，数学的严谨化运动格外引人注目。


　　到１９００年，数学家砍他们已实现了自己的目标。尽管他们
不得不满足于数学仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人
甚至放弃了宇宙的数学化设计这一信念，但他们的确庆幸他们重
建了数学的逻辑结构。然而，他们还没来得及炫耀自封的成功，在
重建的数学中就发现了矛盾。一般称这些矛盾为悖论，这是避免
直接说矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。
　　当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结
果他们构想、阐述甚至推出了四种不同的数学结构，每一种都有
众多的追随者。那些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾而且力
争避免新的矛盾出现，就是说，建立数学的相容性。在这些基础
研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受
性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。
　　到１９３０年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并
且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难
再次降临，形式是Ｋ. 哥德尔的一篇著名论文。哥德尔证明了那几
个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论
文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取
得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理
引起一声巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去
研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受
性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。
　　到１９３０年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并
且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难
再次降临，形式是Ｋ. 哥德尔的一篇著名论文。哥德尔证明了那几
个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论
文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取
得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理
极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化－－演绎方法看来
也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同
时也把数学家分成了更多的相异群体。
　　数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于
种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、
正确无误的推理体系－－１８００年时的尊贵数学和那时人的自谊
－－现在都成了痴心亡想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取
代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础意见不
一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学
或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完美无缺的逻辑
的拙劣模仿。
--

　　有的数学家认为，关于接受什么作为真正的数学的不同观点，有
一天会统一起来。这些人中比较有名的是一群署名为布尔巴基的
法国领头数学家：
        　　长期以来，对数学原理的重要修正几乎无一不
        在不确定性时期之后，而不确定性确实使矛盾出现
        了并且一定得被解决。……至今已有25个世纪之久
        的这段时期，数学家们一直在改正他们的错误，并
        且看到了这门科学欣欣向荣，而不是枯竭衰败。这
        使他们有权力对未来充满希望。
　　然而，更多的数学家并不乐观。本世纪最伟大的数学家之一，
Ｈ.魏尔在１９４４年说：
        　　数学的终极基础和终极意义沿未解决，我们不
        知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于
        是否有希望得到一个最终的、客观的答案。“数学
        化”很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类
        似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理
        性。
用哥德的话说：一门科学的历史就是这门科学本身。
　　对于正确的数学是什么所存在的分歧以及不同基础的多样性
用哥德的话说：一门科学的历史就是这门科学本身。
不仅严重影响数学本身，还波及到最为生机勃勃的自然科学。我
们将乍到，最先进的自然科学理论（即这种理论的结论可以在感
觉上或实体上体现出来。例如假设我们一点也不懂电磁波是什么，
但我们却能听到收音机中传出的声音），全都是数学化的。因此，
没有亲自对数学基础下过功夫，而又不算花费数年时间研究不
完美的数学的科学家，一定会关心什么样的数学能被理直气壮地
应用。
　　真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何种方法
用于数学是最保险的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风
声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到证明方法看起来似乎
很安全的数学领域。他们还发现人为编造出来的问题比自然界提
出来的问题更富魅力，处理起来更加得心应手。

--

　　因完美的数学是什么而产生，的危机和矛盾还阻碍了数学的方
法在许多其他文化领域中的应用，如哲学、政治科学、伦理学、美
学。找到客观、正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代
已经过去。
　　尽管数学令人不满意，方法复杂多变，对可接受公理持不同
意见，还有随时可能出现的新矛盾，都会殃及大部分数学，但是，
一些数学家仍然把数学应用于自然现象中，而且事实上把应用领
域扩大到经济学、生物学和社会学。数学的继续有效给我们两点
启示。第一点是这种有效性可用作判别正确性的准则，当然这个
准则是暂时性的，今天认为正确的，也许下次应用时就会证明是
错的。第二点涉及到未知。真正的数学是什么? 对此并无定论。为
什么数学依旧有效? 我们是在用不完美的工具制造奇迹吗? 如果
人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗?
显然不会。而且，正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地
登上了月球，深测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理
论的证实吗? 那么，数学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢? 当
心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗? 当然对于人类
本身及数学，确实如此。因此我们应该去研究为什么会这样。尽
管数学的基础沿不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却
已被证明成就辉煌，风采依然。

Newton1983

M.克莱因的著作，另一个思维去看数学。

math618

以下是引用Newton1983在2004-2-25 22:45:51的发言：
M.克莱因的著作，另一个思维去看数学。

我觉得不是另一个思维，而是数学的基础的确是有问题。这是一个数学哲学问题——数学是不是“真理”？

math618

【精彩的历史过时的观点】

——评《数学：确定性的丧失》

胡作玄

历史最悠久，伴随数学的发展而发展的数学本身特有的不确定性。比起当前的时髦的不确定性，大多数人不是觉得它陌生，就是认为它老掉牙。
　　可是，我们要评的1980年出版的克莱因这本书，恰巧讨论的是这种“经典的”不确定性，而对上述的时髦不确定性的任何一种不置一词，也不涉及处理在当时已成热门的任何数学工具。仅这种意义上说，他讨论的东西多少有点过时。可是，科学与时装不同，它并不赶时髦。科学与技术不同，它不能只把最新的拿来就行。科学，尤其是数学，它的过去对我们今天仍有重大意义。M·克莱因就是在一种充满新解的不确定性的世界中探讨这种老掉牙的确定性的丧失。当代玩电脑、上网络的青年，读这本书有点像中学生听爷爷奶奶讲反右、三年困难乃至文革等等。然而，只有他们理解历史，也许才能成长，才能成熟，才能理解现在和未来。

　　M·克莱因已经在1992年去世。他生于1908年，是位应用数学家，长期在纽约的应用数学中心——著名的库朗研究所工作。他研究的是电磁场的数学物理学，这在物理学和数学中都是经典的，也是最确定的科学。可是知道他应用数学的工作的人并不多，他的大名实际上是靠他的数学史及数学概述的著作。国内有些人知道他可能完全靠他那1200页的巨著《古今数学思想》的中译本。这本书概述了从古到1930年左右的数学史，可能在它1972年出版之后50年到100年难找到更好的竞争者。对于一位应用数学家，这种历史的渊博实在令人吃惊。他还写过《西方文化中的数学》(1953)，《数学与物理世界》(1959)，《数学与知识的探求》(1983)等著作。这些书在西方都拥有庞大的读者群。

　　他写《数学：确定性的丧失》时，已经是70高龄了，我们当然不能指望他对当时的时髦课题有所涉及，更不必提对今后的展望了。我们指望他把这个经典课题写好，在这个题材范围之内，他的确讲述得十分精采。

　　《数学：确定性的丧失》一书除引言外，共有15章，可以分为三个部分：前3章是第一部分，讲数学真理的起源、数学真理的繁荣和科学的数学化；中间9章是论述数学确定性丧失的各个方面，首先从第一场灾难，真理的丧失讲起，其实是非欧几何冲击欧氏几何的绝对权威，其次4章是讲逻辑学科不合逻辑的发展：无理数的发现及数的扩张(负数、虚数)，很难找到逻辑基础。接着是微积分带来的分析的困境，由此导致19世纪对分析严密性的怀疑和批判，最后达到19世纪末分析的严格化，好像走进了天堂之门。第9到12章讲进入天堂后数学面临更大的危机。由于集合论悖论和其它逻辑悖论的出现，数学面临第三次危机，对数学基础进行一场大辩论，逻辑主义、直觉主义、形式主义各派提出了各自的观点来解决基础危机。然而，1930年哥德尔不完全性定理的发表把危机推向高潮，作者以“灾难”一词，结束了他关于确定性丧失的论述。他把自己的论述，停留在1930年的时点，然后，就完全以悲观的论调进入第三部分，第13、第14、第15章。他的观点可由这三章的标题看出来，“数学的孤立”，“数学向何处去”，“自然的权威”。在这里我们又看到他作为应用数学家的身影。他的观点很明确——走回头路，让数学回到经验，回到自然，重视应用，去掉那种孤芳自赏的抽象、推广、存在性的证明以及严格性的探讨，至少要把它们压缩到最低限度。

　　作为历史家和作家，他的论述深入浅出，十分生动，笔者认为非常值得推荐给希望提高自己的数学素养的读者阅读。但是，他的哲学论点和数学观却未免过时。诚然，1930年以后仍然不断地有关数学哲学和数学基础的论述，甚至到90年代中期还有关于“理论数学”的一场大论战，可是有多少人关心它，它又对数学及科学的发展有多大影响呢?

　　到底我们如何看待克莱因所说的数学的不确定性呢?笔者以为，1930年以后的发展的确会给我们一些启示。事情决不像克莱因想像的那么悲观。实际上，原来我们可以控制的那部分数学仍然是确定的。正如人们常说2×2永远等于4，这是颠扑不破的真理。可是，数学发展有赖于把已知的事实推向未知，把特殊的结果推向一般。数学中的这种推广，特别是把有穷推广到无穷，总是带来确定性的丧失。这是贯穿整个数学史的一条红线。在这种情况下，必定产生我们的方法是否合理、是否严格的问题。对此，历史上常常有两种极端的态度：一种是保守的态度，也就是固定不变的原教旨主义，一种是激进的态度，也就是向前看，不断推广，不断革新。前者虽然保险，但无助于发展数学，后者总是冒风险，免不了带来一个又一个矛盾，这就是确定性的丧失。从历史上看，后者总是取得胜利，它不仅使我们开创出前所未有的大量数学，而且通过矛盾的发现和化解，使我们更深刻地认识我们能力或我们方法的限度，并且对开辟的新领域进行方法上的开发。欧氏几何向非欧几何扩展的历史正好说明这点。非欧几何的出现不仅结束了欧氏几何是唯我独尊的绝对几何的局面，而且列举了“所有可能的”几何，这样使得数学由一门自然科学或物理科学真正转变为模式或形式科学。不仅如此，它还使我们空间观念大为变革，并为相对论的发展提供有效的方法和工具。

　　哥德尔不完全性定理打破希尔伯特纲领的美梦。他明显地区别开真理性和可证明性。他造出一个数论真命题在一个包含初等算术的公理系统中不能证明。可是他的命题并不是一个自然的数论或数学命题。到70年代和80年代，的确有人证明一些自然的数论问题和组合问题在初等算术系统中是不能证明的。

　　1930年以后，虽然数学基础的讨论仍在进行，可是大多数数学家对此并不关心。正如狄奥多涅所说：“没有什么人对数学基础问题感兴趣，除非他专搞那一行。”就连数理逻辑也成为数学的一门独立的分支，发展成证明论、模型论、公理集合论和递归论四大块，成为十分专门的领域；它们的发展直接推动数学尤其是计算机科学的发展。特别是可计算性理论和图灵机更是当代计算机时代的理论基石，而且由于数理逻辑的发展，使用数理逻辑方法解决了不少数学问题，由“不确定性”得出确定性的结果。另一方面，由于数理逻辑的方法，我们也知道了“确定性”的界限。例如希尔伯特在1900年提出的著名的23个问题，其中第10问题就是是否有一个判定方法判定丢番图方程是否有解。1970年已经证明这个问题的答案是否定的。这当然也是一个“不确定性”的结果。可是进一步研究指出，一次、二次丢番图方程是否有解是可以判定的，但四次和四次以上丢番图方程则不可决定。因此当前一个未解决大问题是3次丢番图方程的判定问题。

　　哥德尔不完全性定理也对作为数学基础的集合论提出挑战。在通用的公理集合论ZF中，希尔伯特第1问题也就是连续统假设CH是否成立，结果是CH在ZF中既不能证明也不能反证，这样就出现“不确定性”。对于希望进一步有“确定性”的数学家，如哥德尔，就提出哥德尔纲领，他希望加进一些“大基数公理”，使得原来不确定的问题有一个确定的解答。对于形式主义数学家，如柯恩，就提出非欧几何式的方案，把CH作为公理，加进ZF的集合论称为康托尔集合论，而把CH的否定作为公理加进ZF的集合论，就称为非康托尔集合论。非康托尔集合论又可以分许多种，这样使数学大大丰富起来。不管怎么样，“不确定性”都不是一件坏事。

　　M·克莱因在把确定性丧失看成灾难之后，又在最后三章深挖原因，认为这是由于数学的孤立，特别是同经验和自然的脱离。遗憾的是，无论从逻辑上讲，还是从历史上讲，情况都不是这样。18世纪之前，特别是科学革命时期，数学与科学的发展的确互相促进，相得益彰。到了19世纪之后，由于数学领域的扩展，数学与自然科学，纯粹数学与应用数学有着某种程度的分离，而且专业化也日益明显，数学也逐步发展成其有自己独特的对象，独特的理论与独特方法的学科。谁也不否认，归根结底，数学的对象来源于现实世界。但是，从这时起，由最原始的对象经过抽象、推广(一般化)、公理方法等产生出丰富多彩的数学对象和理论分支，如集合论、群论、抽象代数、拓扑学、泛函分析等等，它们都走上独自发展的道路，看来与自然科学和社会实际脱离越来越远，而且从外行人看，真不知搞的什么名堂。

　　然而，从70年代起，正是这些现代的数学在物理学与其它科学上又大有用武之地。从70年代杨(振宁)—未尔斯场与微分几何和拓扑建立了联系之后，孤立子解与代数几何也建立密切关系。整个纯粹数学和理论物理形成一个大统一的局面，数学物理之间的密切关系远远超过经典的数学和物理学。例如量子场论与算子代数与扭结理论相互推动，继而又产生量子群等热门理论。到90年代，超弦理论与拓扑学、代数几何等前沿数学相结合，成为四种力的统一理论的最佳候补者。按照弦论，我们的时空不只四维，而是十维，除了可感到的四维之外，还有六维是所谓代数三维簇，现在称为卡拉比—丘(成桐)流形，这种流形现在是当前一大热门。它有成千上万种，分类问题极为困难，但这也显示我们的宇宙有可能多么丰富多彩。然而，没有数学理论，永远无法探索到自然界的如此奥妙。其实，从20世纪初期，数学已经不是科学的婢女了，它由数学自身的问题出发，早已经为物理学的革命理论——广义相对论，量子物理学，分子原子结构，核物理，基本粒子物理，准备好现成的数学工具，它们分别是黎曼几何学、泛函分析和群论。时至今日，几乎整个的抽象数学，特别是拓扑学、代数几何学、代数数论，动力系统理论等等，都在应用上发挥着不可或缺的作用，数学正在成为科学发展的带头羊。而这都是在数学的确定性不断丧失、数学学科日益孤立的发展情况下产生的。M·克莱因的悲观是毫无根据的。

　　反观数学基础，困难仍然存在，危机并未消除。不过，本书所讲的这种有3000年历史的最古老的不确定性并没有挡住我们前进的步伐，我们又何必为有朝一日数学大厦可能倒塌而杞人忧天呢。数学中确定性丧失的历史只告诉我们，数学确定性并非是完全是绝对的确定性，而在多数情形下是一种相对的确定性。但这同物理学的相对确定性还不一样，物理世界或现实世界出了问题，例如地球遭到小行星碰撞，在想到其它办法之前，也许只有等死。而数学却是关于可能世界的科学，某些地方出了问题，数学家总会想出办法来解决它。历史可为我作证，对此，M·克莱因的书非常值得一读。

heyi

模糊性——确定性的另一半。

影筏挚缘

好样的啊！

arbex

我看过了，很有意思

supercmm

<>不错那!!!</P>

hzp37

世上没有什么绝对的真理.(包括数学,物理等)物理的争议就不用说了,数学其实也是一样存在弊端,其最根本的来源在于所谓的"公理".