关于一只蚂蚁的数学难题 [ZT]

aysten · 发表于 2006-4-26 23:51:55

<

>布朗运动问题，用郎之万方程，小学生都知道的东西。

徐耀辉 · 发表于 2006-5-9 00:50:56

想是不朗运动。

dianslm · 发表于 2006-5-27 03:45:45

蚂蚁问题实为慨率问题，若用慨率分布函数和数学期望的理论来解难度很大，但用计算机仿真就容易了，下面是我用Builder C++ 5.0编程仿真的结果，解应该是正确的。 100000次仿真实验，最后结果为： 平均走sump=3.10896229743958米走出圆圈。 ------------------------------------------------------------- 因各位没按原问题算平均路程，而是算出圈慨率，所以这也给出出圈慨率 下面为出圈的慨率 2 p=0.463200002908707 2步出圈的慨率 3 p=0.168190002441406 3步出圈的慨率 4 p=0.144749999046326 4步出圈的慨率 5 p=0.0806000009179115 5步出圈的慨率 6 p=0.0544500015676022 7 p=0.0322399996221066 8 p=0.0210100002586842 9 p=0.0132099995389581 10 p=0.00848000030964613 11 p=0.00481999991461635 12 p=0.0031300000846386 13 p=0.00222999998368323 14 p=0.00126000004820526 15 p=0.000850000011269003 16 p=0.000539999979082495 17 p=0.00028000000747852 18 p=0.000209999998332933 19 p=0.00015999999595806 -------------------------------------------------------------- 100000次仿真实验，每满1000次显示一下 4.8152871131897 （第1000次时，走了4.8152871131897米走出园圈） 2.69089388847351 （第2000次时，走了2.69089388847351 米走出园圈） 1.58696675300598 5.22075843811035 3.32418608665466 2.5639967918396 1.51999390125275 3.94801926612854 1.90821599960327 2.85823154449463 1.62272381782532 1.70008611679077 7.75488233566284 1.6303882598877 1.70187103748322 1.71470761299133 1.82281088829041 1.98001456260681 3.05058526992798 1.7590434551239 1.56935346126556 2.83407735824585 2.43699979782104 6.62153625488281 3.63897633552551 3.89087963104248 4.78230285644531 7.63114356994629 1.50111317634583 1.96557533740997 1.50024485588074 1.96663522720337 1.88254356384277 5.99292469024658 2.96086525917053 3.73780131340027 1.83838188648224 2.39485120773315 7.93298292160034 1.62596869468689 6.31435585021973 3.68449139595032 2.84733104705811 1.79240989685059 3.46524214744568 2.10325121879578 3.4294764995575 7.62377643585205 5.59554147720337 2.47391247749329 5.22456026077271 2.96266078948975 1.5002613067627 1.5000901222229 2.47956395149231 1.61701440811157 1.51504015922546 4.47768354415894 2.03183054924011 1.50328457355499 1.50102925300598 1.71910655498505 2.7707347869873 1.52344214916229 1.57506275177002 6.15357303619385 1.51131522655487 1.81501889228821 1.50991630554199 1.53621351718903 1.68503093719482 15.1932401657104 3.17758059501648 1.50804281234741 1.52121388912201 1.59011173248291 2.98303008079529 4.65205574035645 4.72578954696655 5.32473993301392 1.60748696327209 1.55914187431335 1.76441025733948 7.85506439208984 5.18834447860718 7.59375333786011 3.30293226242065 2.52856850624084 1.749920129776 1.50216102600098 1.50740325450897 1.51228165626526 1.56726336479187 1.51028347015381 1.95872402191162 3.44675517082214 2.60941600799561 1.99418580532074 7.92914056777954 1.50168776512146 sumdd=3.10896229743958 下面为程序： //--------------------------------------------------------------------------- #include <vcl.h> #pragma hdrstop #include <math.h> #include "Unit1.h" //--------------------------------------------------------------------------- #pragma package(smart_init) #pragma resource "*.dfm" TForm1 *Form1; //--------------------------------------------------------------------------- __fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner) : TForm(Owner) { } //--------------------------------------------------------------------------- void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender) { Close(); } //--------------------------------------------------------------------------- void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender) {int i,j,m,n,nn; float s,s1,s2,s3,ss,x,y,x0,y0,k,t,d,p[30]; float dd,sumd,sumdd,d0,d1,f1,f2,f3,f4; d0=3.0/2; d1=1.0; m=10001; sumdd=0; for(i=0;i<30;i++) p=0; for(j=1;j<100001;j++) { d=0; f1=0; f2=0; s1=0; s2=0; x0=0; y0=0; sumd=0; n=0; for(i=1;i<999;i++) {t=3.141597*2*random(m)/(m-1); //i*3.1415/6; // k=tan(t); x=x0+d1*cos(t); y=y0+d1*sin(t); d=x*x+y*y; d=sqrt(d); dd=x0*x0+y0*y0; //dd=sqrt(dd); if(d<=d0) sumd=sumd+d1; if(d>d0) {ss=x0*cos(t)+y0*sin(t); s1=-ss+sqrt(d0*d0+ss*ss-dd); f1=(x-x0)/(0.00001+x0+s1*cos(t)-x0); f2=(y-y0)/(0.00001+y0+s1*sin(t)-y0); f3=abs(1000.0*(f1-f2)); f4=f3/1000.0; if(f1>=0&f4<0.1) {sumd=sumd+s1; n=1;} if(n==0) { s2=-ss-sqrt(d0*d0+ss*ss-dd); f1=(x-x0)/(0.00001+x0+s2*cos(t)-x0); f2=(y-y0)/(0.00001+y0+s2*sin(t)-y0); f3=abs(1000.0*(f1-f2)); f4=f3/1000.0; if(f1>=0&f4<0.1) {sumd=sumd+s2; n=2;} } break; } x0=x; y0=y; //Memo1->Lines->Add(FloatToStr(i)+" "+FloatToStr(x)+" "+FloatToStr(y)+" "+FloatToStr(sumd)); } //Memo1->Lines->Add(FloatToStr(i)+" "+FloatToStr(x)+" "+FloatToStr(y)+" "+FloatToStr(sumd)); //Memo1->Lines->Add(IntToStr(n)+" "+FloatToStr(s1)+" "+FloatToStr(s2)); //Memo1->Lines->Add(FloatToStr(d)+" "+FloatToStr(f1)+" "+FloatToStr(f2)); if(j%1000==0) Memo1->Lines->Add(FloatToStr(sumd)); nn=sumd; if(sumd>nn) nn=nn+1; for(i=0;i<30;i++) if(i==nn) p=p+1.0; sumdd=sumdd+sumd; } sumdd=sumdd/100000; Memo1->Lines->Add("sumdd="+FloatToStr(sumdd)); for(i=0;i<30;i++) {p=p/100000; Memo1->Lines->Add(IntToStr(i)+" p="+FloatToStr(p)); } }

dianslm · 发表于 2006-5-27 04:18:33

<

>m=10001； t=3.141597*2*random(m)/(m-1); 中用了random(m)/(m-1); 产生[0 1]上的均匀分布，“t”为蚂蚁走出的角度（弧度） sumdd为10万次总共走的路程。 sumdd=sumdd/100000; 求平均数，
<

>因random(100)只产生0、1、2....98、99均匀分布随机数，所以我用m=10001； 浮点数random(m)/(m-1); 产生[0 1]上的均匀分布，m较大是为保精度。 t=3.141597*2*random(m)/(m-1); 为蚂蚁走出的角度（弧度）。 此外，要注意最后一次走出圆时并没走1米（路程只计到走出圆的瞬间就停止）。
<

>否则会算出错的结果3.42米

freund · 发表于 2006-6-2 04:49:42

我用计算机模拟了一下,得到的答案大概是3步;其中第二步走出去的概率最大,大约是0.58

freund · 发表于 2006-6-2 05:00:01

我用计算机模拟了一下,得到的结果大概是3步,其中第二步走出去的概率最大,是0.58

chaozf · 发表于 2006-6-17 20:59:09

<

>是不是可以用概率与数理统计方面的知识?

aysten · 发表于 2006-7-19 00:30:45

典型的布朗运动问题

phiswift · 发表于 2006-7-31 18:04:55

<div class="quote">以下是引用dailiangren在2005-10-16 20:31:29的发言： 可以走成正六边形，这个时候永远也走不出去。很多时候走不出去。</div>虽然有某些特殊情况是走不出去，但走不出去的概率还是0，我认为........

jinjinsh · 发表于 2006-8-13 23:26:20

需要求无穷和

		自动登录	找回密码
密码			注-册-帐-号