< >一條令許多人昏倒的題目</P>
<>自由人數理自修網頁 http://freeman2.com/tutc0001.htm</P>
<>93,12,13,21,19始</P>
<P>93,12,13,17:29:19 自由人取閱下面討論
http://mathforum.org/library/drmath/view/52071.html</P>
<P>Date: 11/24/98 at 16:29:56
From: Sam
Subject: LaGrange Multiplier</P>
<P>內容如下（原卷是英文）
■□
我有一個簡單的問題，是有關於朗冠吉係數
（LaGrange Multiplier）的題目，我的根本
問題是如何決定這兩個方程式中，那一個是限
制條件式？大多數的題目都明確指出目標方程
式及明確指出限制方程式，這種題目，我只要
按照解題步驟做下去。但是，這一道題目不太
好做，題目中那裏明確指出限制條件式呢？例
如，這裏有一條作業題。</P>
<P>〔〔
有兩條曲線，每條線上有一個點可以自由沿線
移動，找出那兩個點（一線一點）的距離最近
。請用朗冠吉係數法解題。
y = 2x - 3
y = x^2
〕〕</P>
<P>現在我的問題是，這兩個方程式，到底那一個
是限制條件式？</P>
<P>若您能夠為我解答，感激不盡。謝謝。Sam
□■</P>
<P>上面是網路文章，提出問題，這是一個令許多
新手昏倒的題目，因為那一個方程式是限制式
？那一個方程式是目標函數（待極小化）都不
知道。如果讀者有興趣，請先思考。</P>
<P>過幾天再註明自由人意見。</P>
<P>93,12,13,21,52止</P>
<P>94,01,22,10,54始</P>
<P>日期﹕11/24/98 at 17:07:04
發信﹕尚圖博士 Doctor Santu
主旨﹕回覆「朗冠吉係數」</P>
<P>嗨，你好。</P>
<P>山姆，實際上呢（你有心理準備嗎？）這兩個
公式
y = 2x - 3
y = x^2
都是限制式！你可能知道題目可以出現多個限
制式。你必須對每一個限制式使用一個朗冠吉</P>
<P>係數。限制式的意思是說防止你離開定義域。
這一道題目的待極小化目標函數（或待最佳化
）是兩點之間的距離。
(x[1],y[1]) 及 (x[2],y[2]) 兩點。
顯然我們可以令兩點盡可能接近，直到距離為
零（兩點重合）。但是題目指定第一點必須在
第一條曲線上、第二點必須在第二條曲線上。</P>
<P>所以你需要對兩點之間的距離施以極大化。
（自由人註﹕此處應該是「施以極小化」）
目標函數為
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2],
同時受到限制條件
y[1] = 2x[1] - 3,
及
y[2] = x[2]^2.
兩點必須位在各自曲線上。</P>
<P>有其他方法可以解此問題，也有捷徑。一個捷
徑是忽略開平方「sqrt」關係。只要
找到兩點之間距離平方的最小值，與
找到兩點之間距離 的最小值完全一樣。
忽略開平方可以省去許多計算。</P>
<P>另外一個方法，先求出 y 是 x 的那種函數，</P>
<P>然後消除一個變數，解單變數問題，可以完全
忽略朗冠吉係數，不過對練習朗冠吉係數而言
，這是欺騙行為。</P>
<P>—尚圖博士。數學論壇
http://mathforum.org/dr.math/</P>
<P>94,01,22,11,27止</P>
<P>94,01,22,11,45始
上面是關於朗冠吉係數的問題及數學論壇尚圖
博士的回答。自由人翻譯為中文，如果有翻譯
欠妥，應該以英文為主。</P>
<P>下面是山姆、尚圖論題圖解。
 </P>
<P>自由人的看法如下。</P>
<P> y = 2x - 3
y = x^2</P>
<P>兩個公式，正好與許多朗冠吉係數初階教材使
用的兩個公式相似。請比較下面兩個公式</P>
<P>（上面是山姆、尚圖論題，本文解此題。
下面是不同的題目，只是舉例，沒有解題）</P>
<P>G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
R(x,y) = x + y - 3 = 0</P>
<P>G(x,y) 代表目標函數 (Goal)
R(x,y) 代表限制條件 (Restriction)</P>
<P>目標函數可以極大化（最大利潤），
目標函數可以極小化（最小成本）。
極大化的目標函數乘以負一變為
極小化的目標函數，所以極大化或極小化處理
方法相同，許多最佳設計課本統一為極小化問
題，並且稱目標函數為成本函數。聽見「成本
」大家都知道成本越低越好。不論目標函數是
否真的討論降低成本，「成本函數」的「成本
」只是形容詞。</P>
<P>題目寫為</P>
<P>極小化目標函數
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)</P>
<P>受到限制條件
R(x,y) = x + y - 3 = 0</P>
<P>在最佳設計課本中，所有限制條件式統一為
限制條件公式 ＝ ０</P>
<P>為什麼限制條件全部調整為「等於零」？</P>
<P>第一
因為不等於零的限制式在移項之後變為等於零
，例如限制式
x+y=5
與
x+y-5=0
全等。</P>
<P>第二
待極小化目標函數 G(x,y)
要與 限制條件 R(x,y) 相加，成為複合的
朗冠吉函數 L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y)
其中 lambda是朗冠吉係數。也就是
朗冠吉函數＝目標函數＋朗冠吉係數＊限制條件</P>
<P>（請注意上述朗冠吉函數與目標函數之差別）</P>
<P>若限制條件 R(x,y) 恆等於零，目標函數加零
不改變目標函數的值。也就是
如果限制條件全部調整為等於零，那麼，
朗冠吉函數的值與目標函數的值相等。</P>
<P>94,02,02,19,06加入始
第三
限制條件全部調整為「等於零」可以還原限制
條件。
如果限制條件錯誤使用
x+y=5
如何納入朗冠吉函數？
朗函數＝目標函數＋朗係數＊(x+y) （錯！）
嗎？但是！
在執行朗冠吉函數對朗冠吉係數微分的結果
是令為零！ （x+y=0 錯誤限制式）
不是令為五， （x+y=5 原有限制式）</P>
<P>如果限制條件 ●不● 調整為「等於零」
「微分的結果令為零」不能還原限制條件式！</P>
<P>● 因為朗冠吉係數法解題時有一步為令
● 朗冠吉函數對朗冠吉係數微分＝０，
● 唯有限制條件全部調整為「等於零」
● ，然後拋棄「等於零」，把剩餘部分
● 乘以朗冠吉係數，再納入朗冠吉函數
● ，等候在微分過程中，限制條件獲取
● 一個「等於零」，如此才可能還原限
● 制條件。</P>
<P>原有限制條件公式在朗冠吉係數法解題時必須
重現，才能維持正確題意。（重點）
94,02,02,19,39加入止</P>
<P>● 既然限制條件 R(x,y) 恆等於零，
● 故「 = 0」經常略除，</P>
<P>題目簡化為（略除「 = 0」）
極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
限制式 R(x,y) = x + y - 3</P>
<P>為什麼要用 G(x,y) 及 R(x,y) ？
不用 G(x,y) 及不用 R(x,y) 可以嗎？</P>
<P>右端的繁雜公式以左端簡符代表。</P>
<P>解題步驟需要定義朗冠吉函數如下
L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y)
比較精簡。如果不用簡符代表，直接寫為
L(x,y)=(x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)+lambda*(x + y - 3)
比較繁雜，所以使用 G(x,y) 及 R(x,y) 。</P>
<P>累積以上的背景條件之後，
下面的列式（略除「 = 0」及使用 G, R）
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
R(x,y) = x + y - 3
使新手困惑！</P>
<P>是
極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
限制式 R(x,y) = x + y - 3
嗎？</P>
<P>是
極小化 R(x,y) = x + y - 3
限制式 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
嗎？</P>
<P>是認定 G(x,y) 為目標函數嗎？但是
G(x,y)是隨意代符，如果改用
C(x,y) = x + y - 3
D(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
我怎麼知道誰是誰？！</P>
<P>為此，自由人曾經苦思很久。最後注意其差別</P>
<P>極小化公式的 G(x,y) 是變動值，不能鎖死。
限制式的 R(x,y) 是固定值，不能變動。
● 請注意，上面兩行是重點！ ●</P>
<P>極小化公式的 G(x,y) 是變動值，不能鎖死。
因為「極小化」的意思是有多重選擇，
如果指定 G(x,y) 等於零，或
如果指定 G(x,y) 等於一，請想一想，
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
等於常數？
已經鎖定了，不可能執行極小化！！</P>
<P>另一方面，
限制式的 R(x,y) 是固定值，不能變動。
如果 R(x,y) = x + y - 3 等於變動值，這就
不是限制條件了！
R(x,y) = x + y - 3 = 0 鎖定 x, y 關係
R(x,y) = x + y - 3 = 任意值， x, y 無關</P>
<P>現在回到山姆的問題，已知兩個公式
y = 2x - 3
y = x^2
可以改寫如下
y - 2x + 3 = 0
y - x^2 = 0
都是等於常數（零）的公式，所以二者都是限
制式。（此處自由人回答了山姆的問題）</P>
<P>對應的比較，尚圖博士列出的兩點距離公式</P>
<P>sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]</P>
<P>沒有「等於常數」的符號，故為目標函數，
可以極小化（或極大化）。</P>
<P>雖然距離公式不可以等於常數，不過
距離公式可以等於代符，便利建立朗冠吉函數
， ●只要不指定代符為常數即可● 。</P>
<P>希望以上是越說越明白。</P>
<P>自由人 中國九十四年一月二十二日</P>
<P>94,01,22,12,48止</P>
<P>.....
首先用最基本的方法解題，不用朗冠吉係數。
.....</P>
<P>94,01,28,11,19始
上面已經用普通方法解出山姆向尚圖博士提出
的兩曲線之間最短距離問題，也討論了與朗冠
吉係數法相關的常識。</P>
<P>下面用朗冠吉係數法解相同的問題。</P>
<P>山姆指出的限制公式為兩條曲線
y = 2x - 3 ……Ａ５２式
y = x^2 ……Ａ５３式</P>
<P>尚圖博士指出的重點是極小化距離函數﹕
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]</P>
<P>尚圖博士也告訴讀者略除開平方函數，
不要 sqrt[] ，把目標函數簡化為距離平方
(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2 …Ａ５１式</P>
<P>以 G() 代表目標函數，
以 R1()代表限制公式一，
以 R2()代表限制公式二，
便利建立朗冠吉函數，列式如下</P>
<P> </P>
<P>上面是問題的數學列式，
下面是問題的幾何圖形。</P>
<P> </P>
<P>朗冠吉係數法不利用限制式消除因變數，
朗冠吉係數法把限制式乘以係數再與目標函數
相加，建立朗冠吉函數如下圖Ａ６５式﹕</P>
<P> </P>
<P>距離平方 G() 有兩個自變數；兩個因變數﹕
ｘ１ ｘ２；ｙ１ ｙ２</P>
<P>朗冠吉函數 L() 有六個自變數﹕
ｘ１ ｘ２ ｙ１ ｙ２ λ１ λ２</P>
<P>其中
（ｘ１，ｙ１）是曲線一上任意點，
（ｘ２，ｙ２）是曲線二上任意點。</P>
<P>λ１乘以曲線一公式R1()後加入目標函數 G()，
λ１是曲線一使用的朗冠吉係數。</P>
<P>λ２乘以曲線二公式R2()後加入目標函數 G()，
λ２是曲線二使用的朗冠吉係數。</P>
<P>最終的總組合稱為朗冠吉函數 L() 。</P>
<P>94,01,28,12,07止</P>
<P>94,01,28,14,18始</P>
<P>因為朗冠吉函數已經納入限制條件因素，
●●朗冠吉函數以外不再有限制條件，所以
● 朗冠吉函數是十足的無限制條件函數。
● 朗冠吉函數的變數如同互不相依的自變數</P>
<P>一個沒有限制條件的函數可以直接執行微分。</P>
<P>朗冠吉函數的變數是
目標函數的變數 ｘ１ ｘ２ ｙ１ ｙ２
加所有朗冠吉係數 λ１ λ２</P>
<P>94,01,28,14,28止</P>
<P>94,02,01,08,56始
假設目標函數的變數為ｍ＝４個（尚圖解題）
假設限制條件的數目為ｎ＝２個（尚圖解題）
則
朗冠吉函數的變數是ｍ＋ｎ＝６個。</P>
<P>目標函數的自由度為ｍ＝４個
限制條件減少的自由度為ｎ＝２個
目標函數的無限制自由度為ｍ－ｎ＝２個</P>
<P>如果
ｍ＝４個變數的目標函數受
ｎ＝４個限制條件的約束，
目標函數的無限制自由度為ｍ－ｎ＝０個</P>
<P>零個自由度？！答案只有一個點？！
這是初中學生的代數題目！
不是最佳設計問題！！</P>
<P>這裏主要說明ｍ＞ｎ才是合理的題目。</P>
<P>（ｎ＞０時才需要勞駕朗冠吉）</P>
<P>94,02,01,09,09止</P>
<P>94,01,28,15,40始
以下是朗冠吉函數對六個自變數的偏微分。</P>
<P>下面是朗冠吉函數的定義式（Ａ７１式）及
朗冠吉函數對六個自變數的偏微分列式
Ａ７２式
至
Ａ７７式</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>ｄＬ／ｄｘ１ 表示ｘ１微變時，Ｌ的微變量。
如果在點ｘ１＊處 ｄＬ／ｄｘ１等於零，我們說
ｘ１＊是靜止點。
下面三種情況都會產生靜止點﹕
如果ｘ１＊是鄰域內的最小值點，
如果ｘ１＊是鄰域內的最大值點，
如果ｘ１＊是鄰域內的轉折點，
這三種情況都會產生 ｄＬ／ｄｘ１等於零，</P>
<P>我們指定 ｄＬ／ｄｘ１等於零，就是要求ｘ１
走到靜止點。然後我們可以判斷，這個ｘ１＊
是最小值點？是最大值點？是轉折點？</P>
<P>指定 ｄＬ／ｄｘ１等於零，我們人為的加入
一個限制條件，朗冠吉函數的自由度因而減一，
本例題，朗冠吉函數總共有六個自由度，由
Ａ７２式至Ａ７７式，我們指定六個等於零，
朗冠吉函數的自由度減為零，也就是得到唯一
答案。</P>
<P>解Ａ７２式至Ａ７７式是簡單的計算，請讀者
動筆算一算。
答案應該是
ｘ１ ＝ １．８
ｙ１ ＝ ０．６
ｘ２ ＝ １．０
ｙ２ ＝ １．０
λ１ ＝ ０．８
λ２ ＝－０．８</P>
<P>下面是答案圖，紅線為最短距離。
94,01,28,16,16止</P>
<P>自由人數理自修網頁 http://freeman2.com/tutc0001.htm
自由人主頁 http://freeman2.com/freeman1.htm
自由人音樂站 http://freeman2.net/listfnet.htm
自由人鄧麗君網站 http://freeman2.us/indexdlj.htm</P>
<P>以下是鄧麗君錄像歌曲，歡迎下載</P>
<P>何日君再來
1,187,131 http://freeman2.us/dlju0001.zip</P>
<P>我一見你就笑
1,116,088 http://freeman2.us/dlju0002.zip</P>
<P>Everynight
wmv file size 2,374,595 fuji_004.wmv
zip file size 2,560,279 http://freeman2.us/dlju0003.zip</P>
<P>千言萬語
3,579,334 http://freeman2.us/dlju0004.zip</P>
<P>處處聞啼鳥
4,142,667 http://freeman2.us/dlju0005.zip</P>
<P>小城故事
4,230,799 http://freeman2.us/dlju0006.zip</P>
<P>心中喜歡就說愛
4,218,628 http://freeman2.us/dlju0007.zip</P>
<P>我怎能離開你（彩雲曲）
4,879,395 http://freeman2.us/dlju0008.zip</P>
<P>梅花（小銀幕）
5,105,916 http://freeman2.us/dlju0009.zip</P>
<P>甜蜜蜜
5,856,853 http://freeman2.us/dlju0010.zip</P>
<P>海韻
6,283,159 http://freeman2.us/dlju0011.zip</P>
<P>戲鳳
7,569,815 http://freeman2.us/dlju0012.zip</P>
<P>虞美人（幾多愁）
9,065,337 http://freeman2.us/dlju0013.zip</P>
<P>謝謝你常記得我
17,479,084 http://freeman2.us/dljv0001.zip</P>
<P>你在我心中
17,840,635 http://freeman2.us/dljv0009.zip</P>
<P>漫步人生路
22,460,839 http://freeman2.us/dljv0021.zip</P>
<P>梅花（大銀幕）
17,955,337 http://freeman2.us/dljv0044.zip</P>
<P>祖母的話
15,188,962 http://freeman2.us/dljv0051.zip</P>
<P>路邊的野花不要採
14,263,325 http://freeman2.us/dljv0056.zip</P>
<P>中華民國頌
15,602,195 http://freeman2.us/dljv0060.zip
</P> |
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发表于 2005-2-10 15:41:03