Fibonacci Series

math618 · 发表于 2004-11-10 05:54:22

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<TABLE width="90%">Fibonacci Series 
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>在1202年，Fibonacci 注意到了一個兔子的繁殖問題，他假設一開始有一隻公的兔子與一隻母的兔子剛出生，每隻兔子再經過一個月後就有繁殖能力，而兔子的懷孕期是一個月，而一旦母兔子擁有繁殖能力時，它每個月都會生產，而且生出來的兔子是一公一母，最後一個條件是，兔子不會死掉。在這種理想狀況下，問題來了：經過一年（十二個月）後，總共有幾對兔子？ 
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>第零個月#0 一開始只有一對兔子 
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>第一個月#1 經過一個月，兩隻兔子都有繁殖能力，但是懷孕期是一個月，所以還是只有一對兔子。 
第二個月#2 經過兩個月後，原來兩隻兔子生出一對一公一母的兔子，所以現在有兩對兔子。 
第三個月#3 經過三個月後，最開始的一對兔子又生出一對兔子，但第二對兔子才剛有繁殖能力，所以現在是三對兔子。 
第四個月#4 以此類推，現在是五對兔子。 
第五個月#5 以此類推，現在是八對兔子。 
這些數1,1,2,3,5,8,...就稱為 Fibonacci series。 
Fibonacci Spiral <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/fibonacciSpiralBoxes.gif" align=right>
Fibonacci Spiral 是依據 Fibonacci Series 所產生的螺線，圖中各個小方框都是正方形，其邊長就是 Fibonacci Series，而 Fibonacci Spiral 就是每個正方形的內切四分之一圓連接的螺線。 

The Golden Rectangle <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/goldrect.gif" align=right>
Golden Rectangle 就是黃金矩形。黃金矩形具有平穩與和諧的美感，因此古希臘人大量的把黃金矩形應用在建築上，譬如雅典巴特農神殿。 
Golden Rectangle 其實就是擁有特定長寬比值的矩形，如圖，若大的長方形是一個黃金矩形，長 y 寬 x，a 是一個邊長為 x 的正方形，則 y/x 就會等於 x/(y-x)。而這個比例 y/x 是固定的，稱作 Golden Ratio，其值近似於1.618。 

The Golden Spiral <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/goldenSpiralBoxes.gif" align=right>
Golden Spiral 就是依照 Golden Ratio 所描繪出來的螺線，如圖，每個矩形都是黃金矩形，長寬比都是 Golden Ratio，也就是每個相鄰的正方形其邊長比值都是 Golden Ratio。而其內切的螺線就稱為 Golden Spiral。 

Fibonacci Ratios
在 Fibonacci series 中，第N項比上第N-1項的比值稱為 Fibonacci Ratios，而當N漸漸增大時，Fibonacci Ratios 就會趨近於 Golden Ratio，而其逼近的方式是是上下跳動的，如圖。 
<IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/graphFibonacciRatio.gif"> 

而我們再拿 Golden Spiral 與 Fibonacci Spiral 來比較看看，你會發現 Fibonacci Spiral 會漸漸逼近 Golden Spiral，這也說明了其實 Fibonacci Ratios 與 Golden Ratio 一樣會給人一種和諧的美感。 
<IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/spirals.gif"> 

Nature
事實上 Fibonacci series 普遍存在於自然界中，拿植物來說，一朵花，經過長期的演化，其花瓣數量，絕大多數就是 Fibonacci series 的成員，這也說明為什麼幸運草那麼難找，就是因為4不在 Fibonacci series之中。以下是一些花的圖片，你可以數一數是否其花瓣數量都是 Fibonacci series。 
<IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoNature1.jpg"> <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoNature7.jpg"> <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoNature5.jpg"> <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoNature6.jpg"> <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoNature4.jpg"> <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoSunflower1.jpg"> 

<IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/photoPineapple2.jpg" align=right> 除了花之外，我們在來看看植物的果實，像鳳梨，你可以算一算繞它身上的螺線，你也會發現這些螺線的數目也在 Fibonacci series。如圖，這個鳳梨再順時針方向上就有13條，逆時針方向有21條，都在 Fibonacci series 之中。（當然，因為它是立體的，你沒辦法看著圖算出來） 
若是想要實際算一算，在中大可以找找松果，大家應該都看過松果吧，它上面鱗片的排數也是在 Fibonacci series 之中喔。 

Leonardo da Vinci <IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/monalisagold.jpg" align=right>
由於黃金矩形是一個在美學上非常協調的圖形，因此在過去 Golden Ratio 都被廣泛的利用在藝術與建築上，最有名的就是義大利藝術家達文西，它所畫的蒙那麗莎的微笑，如圖，如果你畫一個以她左手腕到右手肘為寬，手腕到頭頂為長，畫一個長方形，你就會發現這就是一個黃金矩形，而再繼續向內分割作出更多黃金矩形，你更會發現這些矩形的邊緣切過她的眼睛、下巴、嘴巴、鼻子，也有人認為，這幅畫是達文西作為一個數學家與藝術家，刻意把數學與藝術結合之後的結晶。 

<IMG src="http://www.math.ncu.edu.tw/~wanggz/picture/vetruvianmangold.jpg" align=right> 這是達文西另一幅有名的畫 The Vetruvian Man，我們可以分三部分來看，第一部分是頭部，以他肩膀上達文西畫的兩條線間的距離當長，脖子到頭頂當寬，可以得到一個黃金矩形，然後再黃金矩形內以大黃金矩形的寬為邊長，分別在兩邊各畫一個正方形，而此時兩邊就各得到一個小黃金矩形，而中間的兩條線剛好切過眼睛。第二部分與第三部分分別是軀幹與腳，用同樣的方法也可以得到一個大黃金矩形與兩個小黃金矩形。 
參考網站： <a href="http://library.thinkquest.org/27890/mainIndex.html" target="_blank" >The Fibonacci Series</A> </TALBE></CENTER>
</TABLE>

nj_xyjasper · 发表于 2004-11-10 22:53:01

wonderful

大野山鸡 · 发表于 2004-11-20 08:32:53

好强啊！

bbflyer · 发表于 2005-9-15 06:32:45

<

>up强啊

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