书摘〈表达的探究〉：对应点评

yushan

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<> 书摘〈表达的探究〉　　　　　　<p></p></P>
<>                                             对应点评<p></p></P>
< >对应建立了原形与影像之间的关系：欧氏几何保持了图形的度量性质，即任意两点距离的不变性，所以可以看为“刚体”运动；相似映射保持了角度的不变性；仿射几何保持任意三点的序关系；射影几何则保持任意四点之间的序关系。从欧氏几何到射影几何变形越来越大，但其中还有“量”的关系，并且始终保持将直线映射为直线。但是，拓扑变形则完全抛弃了各点之间在数量方面的联系，就连线段的曲直分辨也无意义，而仅仅保留了点之间的顺序不变性，连续映射在这里达到了最大“柔性”的变形，对应在原形与影像之间建立了新的序关系。<p></p></P>
<P > 在同构映射中，可以用影像集合中的关系谓词来表达原形集合中的关系谓词，它们在形式上是“同义”的。关系反演映射方法的精髓，就是用相对简单的谓词来表达较为复杂的谓词，通过对影像系统中的处理求解来得到原形系统问题的解。那么任意给定两个谓词，是否总可以找到一个连续的对应方法，使两者建立起同构的关系呢？比如，是否所有的谓词都可以与空间谓词形成同构关系呢？如果这是可能的，那么任何谓词都可以通过对应方法建立一个指称模型，我们就可以用直观的空间关系谓词，诸如“包含”、“平行”、 “在&frac14;之间”等等来等价表达所有其他的关系谓词，这在表达上无疑具有重要意义。但是，任意两个谓词都能建立同构关系似乎是不太可能的，因为不同构系统的确存在。比如在拓扑学中，不同胚的图形就是存在的。这也就是说，如果把对应方法限制在连续的对应，则存在着两个不可能形成同构关系的谓词，这两个谓词在形式化的意义上也不可能“同义”。<p></p></P>
<P>         由原形中一个元素，就能找到它的影像，而与原形中其他元素没有关系，这种原子决定关系是对应表达的重要特点。 对应表达的另一个特点是它的直接性，它是两个平面之间的直接对应关系。那么什么是两个平面表达关系的界限呢？也就是说什么样的中间过程可以省略可以合并，最终仅用 函数<I>y </I>= <I>ｆ</I>(<I>x</I>)就可以表达了呢？<p></p></P>
<P>        请看图1.7，这是一个多平面的表达关系：<p></p></P>
<P> <p></p></P>
<P>　　　平面　　　&frac12;　　　平面　　　&frac12;　　平面　　　&frac12;　　平面　　　　&frac12;　　平面<p></p></P>
<P>　　　　　　　　&frac12;　　　　　　　　&frac12;　　　　　　　&frac12;　　　　　　　　&frac12;<p></p></P>
<P>　　　　<I>Ｓ　</I>　　&frac12;　　　<I>　Ｘ</I>　　　&frac12;　　<I>Ｙ　</I>　　　&frac12;　　<I>Ｚ</I>　　　　　&frac12;　　<I>Ｒ</I><p></p></P>
<P>　　　　　　　　&frac12;　　　　　　　　&frac12;　　　　　　　<a href="http://www.shumo.com/bbs/post.asp?action=new&amp;boardid=108#_msocom_1" target="_blank" >[q1]</A> &frac12;　　　　　　　　&frac12;<p></p></P>
<P> <p></p></P>
<P>                                                 图1.7   多平面之间的对应<p></p></P>
<P> <p></p></P>
<P>　    其中有：<I>x </I>= <I>f</I> <SUB>1</SUB>(<I>s</I>)，  <I>y </I>= <I>f</I><SUB>2</SUB> (<I>x</I>)，<I> z </I>= <I>f</I><SUB>3</SUB>(<I>y</I>)， <I>r </I>= <I>f</I><SUB>4</SUB>(<I>z</I>)， 当它们满足下面两个条件，即可以合并为两个平面的关系：<I>Ｒ</I><I> </I>＝<I>Ｇ</I>(<I>s</I>)。其一：每个函数都是一对一的，其二：对任意三个函数，结合律成立。比如有： (<I>f</I><SUB>1</SUB>* <I>f</I><SUB>2</SUB>) * <I>f</I><SUB>3</SUB> = <I>f</I><SUB>1</SUB>* (<I>f</I><SUB>2</SUB>* <I>f</I><SUB>3</SUB>)。结合律保证了将几个平面归化为两个平面的等效性，这种归化与映射正逆的次序无关。这意味着符合上述条件的中间描述过程都是可以省略的，即有<I>R </I>= <I>G</I>(<I>s</I>) = <I>f</I><SUB>4</SUB>* <I>f</I><SUB>3</SUB>* <I>f</I><SUB>2</SUB>* <I>f</I><SUB>1</SUB>(s)，<I>Ｇ</I><I> </I>就是<I>Ｓ</I>与<I>Ｒ</I>之间的直接对应关系。<p></p></P>
<P>　    那么什么样的中间过程不可省略，什么样的中间过程是跳不过去的呢？这是深刻把握“对应直接性”的关键之处。如果在上述的中间平面中，不是一一对应的关系，而是出现了元素之间的“相关性”，或者形成了自我因果的“反馈”环链等等，这些关系都是直接对应所不能概括的，这一点将在后面的章节中作详细探讨。 </P>
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