[转帖]关于反问题的基本知识

Newton1983 · 发表于 2004-6-6 05:30:35

对反问题的回答没有一个明确的描述，就象对分形的描述。
我的理解：我们所碰到的问题一般是由因索果，这是正问题(forward ,direct problems)。比如求解方程（从小学到大学的课程都是如此），要求给出已知条件（出现在方程中的未知系数，初始条件以及边界条件等），这样才可以求解；反过来，我们在由果索因，即已知其解，反求方程中的未知量，即确定方程中的未知系数，初始条件以及边界条件等,这就是反问题(inverse problems)。其应用比如无损检测，雷达探测（隐形飞机的识别就是要得到其阻抗），声呐探测，石油资源地下矿藏的探测等，
一般地，反问题都是非线性的和不适定的，因而比求解正问题更困难。
目前，欧洲和美国对反问题的研究比较投入，分别建立了网站。比较著名的月刊有
1.Inverse Problems;
2.Inverse problems in engineering;
3.J. of inverse and ill-posed problems.
有兴趣者可以联系我，我可以介绍一些知识和方法,还可以介绍一些专家。

Newton1983 · 发表于 2004-6-6 05:34:34

<DIV class=postcolor> 犹如一对孪生兄弟，物质和反物质，矛和盾等的二元关系，正反问题和内外问题在求解反问题时总时刻伴随着。
前面许多同行已阐明了有关正反问题并就其应用展开了讨论。下面只谈内外问题。
一般来说，我们在用函数和方程等表达了变量与因变量之间的关系，求解问题时就要已知变量的定义域，一维是一个区间，二维是一个平面区域，三维是一个立体区面区域等，同时还要附加边界条件。我们称变量在区域内部变化的问题为内问题。反过来，在反问题中，由于这些区域我们是不可知道的，不能进入的，例如B超的检测，人体器官是不可触知的，我们只能通过回波信息来得到图像，而回波信息只能在区域外得到，这就是外问题。
外问题与数值求解和模拟相关。我国学者冯康及其学生余德浩（中科院数学所）最先提出，还有韩厚德（清华大学），尤云祥等对外问题的各方面进行了深刻的研究。由于外问题的边界条件和经典的三类边界条件不同，因而，有限元软件无法解决。其边界条件的确定和求解区域的大小直接影响了求解的精度。国外以J.Keller及其学生研究较多（由此获得了全美数学最高奖），提出了各种途径的解决办法。 </DIV>

[此贴子已经被作者于2004-6-5 23:42:51编辑过]

Newton1983 · 发表于 2004-6-6 05:40:59

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>反问题的几个例子<DIV class=postcolor>1。逆热传导问题
2。信号和图像处理中的反问题
3。Abel积分方程
4。CT技术中的反问题
5。地质勘探
6。数值微分问题
7。投入产出问题
</DIV><

>
反问题
力学是研究物体宏观运动规律的科学。在大多数情形下，对于力学问题的研究是：首先根据具体问题作出假设，提出力学模型，建立基本方程；然后通过数值计算，获得数值结果；最后通过实验测定，验证数值结果的正确性，这可以称为力学的正问题。研究桥梁结构的力学响应，其主要目的在于确定它的强度、刚度和稳定性，这是力学正问题的一项主要任务。所谓力学反问题，一般是指利用监测系统获得的测量数据来构造力学模型或确定基本方程中的参数，也包括在某些给定条件下，如，在满足强度、刚度和几何约束等条件下，寻求结构的最佳设计方案的问题。
2.1 力学反问题分类
一般而言，一个完备的力学系统由这些因素构成：作用(对于动力情形又称为激励或输入，对于静力情形称为荷载)；作用效应或响应；结构(作用对象)的系统力学特性，包括结构刚度、强度、几何约束、固有频率等。力
学问题大致可以按欲求上述三者之中的哪一个而归纳为四类[5]：
第一类：己知系统作用和系统力学特性，求结构的作用效应或响应。这类问题是工程中最基本和最常见的问题，其主要任务在于验算结构、构件在工作时的效应是否满足预定的安全要求(安全性)和其它给定指标(如耐久性指标、适用性指标)。若涉及到静力，这种问题就与结构的设计工作有直接关系；若涉及到动力时，一般为已设计好的结构。这类问题可称为力学正问题。
第二类：己知作用和作用效应或响应，求结构的系统特性。可以称这类问题为系统识别。这种问题在复杂系统的研究、系统的故障诊断以及在线监测等课题中都会出现。所谓求系统特性，主要是指构造系统的模型或确定已知模型的某些参数。通常，利用监测数据构造模型，称为识别，而利用实测数据来确定已知模型的某些参数，则称为参数识别，有时也称为参数估计。系统识别属于第Ⅰ类力学反问题。
第三类：己知结构的系统特性和作用效应(响应)，求作用。这类问题可以称为环境预测。有时为了保障结构在服役时不发生破坏，需要通过监测系统记录结构的作用效应或响应，以估计结构工作在怎样一种力学、物理环境中，以及结构工作时加在结构上是怎样的一种作用，这样才能有根据地得出结构安全方面的结论，才能有根据地为结构制定和设计可靠的安全措施。当以求得作用在结构上的物理环境为主要目的时，可称为环境识别；当以求得作用在结构上的荷载、不均匀沉降为主要目的时，可称为荷载识别。这类问题又称为第Ⅱ类力学反问题。
第四类：己知结构的系统特性和部分作用效应(响应)，求全部或其余部分的作用效应。这类问题可称之为场效应识别。由于监测系统的技术限制，所监测部位往往不是真正关心的关键部位；同时，由于结构内部力学场往往随着时间变化的，监测的初始关键部位有可能随时间漂移为非关键部位；有时，需要对除了关键部位以外的未作监测的结构部分的力学场加以考察。这时，就需要利用监测系统所获得的部分点的测量值来确定其余点的测量值，或确定整个结构的场效应。这种问题是介于力学正问题和力学反问题之间的一种特殊问题，称为第Ⅲ类力学反问题。

Newton1983 · 发表于 2004-6-6 05:49:29

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>反问题研究之一, 逆散射<DIV class=postcolor>通过发射声波和电磁波，由散射场的回声信息恢复材料和结构中夹杂的形状和位置是一类典型的反问题，在无损检测，遥感和医学成像等有着广泛的应用。
在自由空间中，利用波的散射特性来识别材料或结构中的夹杂，一些有效的方法取得了重要进展，这样一些方法主要分为三类。第一类为非线性最优化方法和迭代法，主要有Newton方法，Laudweber,Level Set方法，其优点是即使在有限的入射波和散射波数据或者在有限孔径时，也可以得到精确的重构图像，但它们都是建立在迭代计算Fréchlet导数或者求梯度的基础上，因而其缺点是计算量大，耗时。第二类是分解算法，主要有对偶空间方法，点源方法，散射场的近似方法，它们具有共同的思想方法：将非线性不适定的逆散射问题分解成线性不适定的部分和非线性适定的部分，这样由散射场由远场分布重构散射场，再由总场的边界条件重构夹杂的边界，其优点是不必先验地知道夹杂物的形状以及是何种边界条件，其缺点是要求较多的入射和散射数据。第三类是近年发展起来的两种抽样方法和探测方法，和指示器样本方法，第一种抽样方法求解一个线性不适定的方程，得到表达夹杂物特征正则解的指示函数，通过描绘指示函数的等高线。则可重构夹杂物的形状，第二种抽样方法并不求解方程，而是由算子分解，利用Picard定理和算子的谱数据，直接得到物形的重构，探测方法同两种抽样方法一样，要求测试区域包含未知夹杂，以便测试抽样区域的点.
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>

b · 发表于 2004-6-6 05:57:35

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>在声波波动方程的反问题中基函数的优化

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> 由波动方程的解来推断方程的相应系数的过程通常被称为反问题，而一般情况下由确定系数的方程求出相应解的过程则被称为正问题。反问题在一些对物质内部结构的探测方法中起到了决定性的作用。目前在利用声波的反问题中，人们能够较好处理及应用较广的方法是基于几何声学的反运算方法。但是，由于几何声学只是在短波长的情况下适用，从原理上讲它不可能给出小于波长的分辨率。随着计算机的发展,利用波动方程的所有信息进行全息的反运算的期待越来越高。考虑到全息的反运算从原理上可给出更多的信息且不受几何声学的限制，它的发展前途可望大大超过基于几何声学的反运算。但是这种方法由于难度较大至今仍是一个基础研究的课题。

法国人Tarantola曾提出了一种通过优化misfit function的手段来进行全息的反运算的设想，并在后来进行了实际的数值计算，但结果并不理想。主要问题在于这种方法仅能发现界面的大致位置，却无法找到各层的正确数值。这一现象后来被许多研究者所证实，并被称为低频损失现象。进入九十年代后，这种通过优化misfit function的手段来进行反运算的思路被许多研究者改进，部分方法取得了一定的成效。但所有这些方法都没有解释低频损失现象的根源，同时每种方法都存在有这样或那样的毛病。<

> 最近，我所SM3组孙刚研究员与中国科学院数学与系统研究院常谦顺研究员和香港科技大学沈平教授合作，在对层状声波模型的反问题的研究中发现，低频损失的出现与计算中所使用的基函数有关。在前人的反运算当中，人们不自觉地使用着准δ型基函数。这种基函数所产生的反射波会互相干涉，并最终导致低频损失的出现。随后、他们提出了用阶梯函数作为基函数的改进方案。实际计算证实这种算法确实有一定效果，利用它可求出各层内的模型参数值。最终，他们又设计了一种交替利用不同类型的基函数的反运算方法,模拟计算显示这种方法可成功的对层状声波模型进行反运算，其精度可小于声波波长。本工作已发表在2003年年3月14日出版的Physical Review Letter 90, 104301 (2003)上。
相关论文： <a href="http://www.iphy.ac.cn/chinese/kjdt/20030516.pdf" target="_blank" >Full waveform inversion with optimal basis functions</A>下载</BLOCKQUOTE>

b · 发表于 2004-6-6 06:01:01

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>一维圣维南方程的反问题研究与计算方法<

><a href="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200209/11.htm" target="_blank" >http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200209/11.htm</A>

huaguoxiang · 发表于 2004-6-30 01:22:28

有点深奥了

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