[转帖]美国数学奥林匹克2004

Newton1983

<><b>美国数学奥林匹克2004(第33届)</b>
比赛时间:2004年4月27,28日中午12:30~17:00.</P>
<>第一天做问题1~3:</P>
<>第二天做问题4~6:</P>
<P>1. 四边形ABCD有内切圆，它的每一个内角及外角都至少有60度。证明：
|AB[sup]3[/sup] - AD[sup]3[/sup]|/3 ≤ |BC[sup]3[/sup] - CD[sup]3[/sup]| ≤ 3|AB[sup]3[/sup] - AD[sup]3[/sup]|
等号在什幺情况下成立？

2. 整数a[sub]1[/sub],…, a[sub]n[/sub]的最大公因子是1。S是一个整数集合且有以下性质：
(a) i=1,…,n，a[sub]i[/sub] ∈ S
(b) i,j=1,…,n，(i,j容许相同)，a[sub]i[/sub] - a[sub]j[/sub] ∈ S
(c) 对于任何整数x,y，如果 x+y ∈ S，那幺 x-y ∈ S
证明S包含所有整数。

3. 实数k取何值时，一个1×k的长方形可被分割成两个相似但非全等的多边形？

4. A和B用一个6乘6的格阵玩游戏。他们轮流选一个空格子，在其中填上一个有理数，新填的数字要跟所有已填的不同。A先填。当所有的格子都填上数字后，把每一行的最大数字所在的格子涂黑。如果从顶行到底行的所有黑格子是连接在一起的话(两个黑格子有公共边或公共顶点都视为连接在一起)，A胜；否则B胜。
找出A或B的必胜策略并加以证明。

5. a,b,c是正实数。证明
(a[sup]5[/sup] + a[sup]2[/sup] + 3)(b[sup]5[/sup] + b[sup]2[/sup] + 3)(c[sup]5[/sup] + c[sup]2[/sup] + 3) &gt;= (a + b + c) [sup]3[/sup]

6. 四边形ABCD有内切圆，其圆心是I。如果
(AI + DI) [sup]2[/sup] + (BI + CI) [sup]3[/sup] = (AB + CD) [sup]3[/sup]
证明ABCD是等腰梯形。
</P>
<P>其中AB[sup]3[/sup] 表示AB的3次方;</P>
<P>a[sub]1[/sub]表示a的下标是1;以次类推;</P>
<P>希望广大网友积极思考,踊跃回答.</P>
<P>(PS:我也没有正确答案,大家一起努力)</P>