把数学作为一种语言来学

yushan · 发表于 2004-4-10 20:48:02

把数学作为一种语言来学

把数学作为一种语言来学，而不仅是作为一种计算技术，这是真正学懂数学的关键，也是数学建模思想与传统数学教学最重要的区别。
那么，作为语言的数学和作为计算的数学究竟有什么不同之处呢？
首先我们会感到语言和计算这两者之间的巨大鸿沟：计算不是语言，计算的功能只是对一个问题的求解，特别是在数量精度上的斟酌；而语言的功能是在显示和描述对象。它们之间似乎是风马牛不相及的。那么数学如何能从具体的计算技术中解脱出来，从而成为一种能够进行显示和描述的语言工具，可以说这是测试你是否真正学懂数学的一个试金石。
所以，数学不是计算，它不只是关于如何得到准确“数量”的技巧，这个问题的深究就必定会涉及到定性与定量表达的关系，我们必须在更高的层面来把握定性和定量，这个所谓的更高层次就是从最一般的表达角度出发来研究问题，它涉及到表达的完全性和准确性之间的关系，涉及到刚性表达与柔性表达的关系。如果能把定性表达与定量表达的关系研究透彻了，我们就能理解数学为何能从“定量”的计算技术转换为一种“定性”的语言工具。
在这里我想更强调定性表达的重要意义。因为只有懂得了定性表达的妙处，才能真正懂得数学的妙处。数学中的几个典型结构：度量空间和拓扑空间，这两者有定量与定性之间的差别，而序结构则是在定性与定量之间。拓扑方法是定性研究的典型方法，它的种种技巧就是要超越定量。所谓“橡皮上的几何学”，就是说和“数量长度”无关。微分方程定性解的理论中，采用微分几何的描述方法，关注的是所谓定性态势，而不是具体的数值，这些都是典型的拓扑方法。拓扑方法研究连续问题，研究一般连续函数，就是对所有函数的定性把握，即不考虑具体函数的计算方法，只对其要求是连续的。所以它得到的结论是一个最普遍的结论，因为具体数量在它这里完全失去了意义。即便所谓的度量空间，似乎是研究具体长度的，但它本身也作了定性抽象，这就是距离公理的著名三角不等式：两点之间的直接距离小于对任何其他第三者的间接距离。从而使得这里的距离概念是一个几何概念，而不是一个完全受具体计算方法束缚的代数概念。
我们常为前人处理某个问题的数学技巧而惊叹，但这个“巧”字反映了这种处理的偶然性，甚至是不可思议性，所以觉的“巧”。比如，哥德尔不完全定理的证明就非常巧妙，它是利用数论和他著名的编码方法来演绎。这样重要的定理，居然建立在一个非常“巧”的方法之上，这反而让人放心不下。据说（王浩写的“哥德尔”）哥德尔本人就对自己得到的结论有些不安，只到图灵用最笨的方法从另一个途径证明了同样的结果，哥德尔才放心下来。因为真理应该是非常直观的，应该像我们手里的锤子那样实在可以把握，它因为“真”所以存在，所以太“巧妙”的证明都潜藏了某种不安，就是离真理的境界还相差很远。数学史上另一个著名例子是关于代数方程的求解问题。一个具体的方程求解是典型的计算技巧问题，但是关于方程根的存在性探讨却是不在只是一个计算问题。尤其伽罗瓦所开创的群论思想，它的最大贡献就是让人们开始关注对整体数域的研究，并把数域的概念抽象化为最一般的代数结构，而所谓结构是对象特征的一种描述，我们所说的数学语言正是在这个意义上显示和描述了对象，即为对象提供了所谓的数学模型。
所以，语言描述显示是直观的，而计算求解是间接的，这代表了两种不同的表达方法。数学超越计算，成为一种特定的语言，用它来进行显示与描述，才会更有力的揭示真理，变间接为直接，变推理为直观。
我们最熟悉的自然语言是日常使用的语言，那么数学语言与自然语言相比，在表达有什么特点，它们在描述和显示功能上有什么区别？是不是只要把日常词汇用符号代表以后，就能成为数学语言呢？自然语言在什么情况下会自动变质为数学语言呢？有没有自然语言无法表达而只能用数学语言才能表达的对象或过程呢？所有这些都是我们渴望知晓的。
这里受篇幅限制我不可能一一回答。因为上述这些问题我想了二十多年，我愿意向大家推荐《表达的探究》，这部40万字的书对这些问题从数学、语言和信息三个角度做了艰苦认真的思索，得到了宝贵的结论。这是个数学建模论坛，我想就此书在数学方面的独特意义做一点介绍：
首先《表达的探究》对数学方法做了语言分析，比如对“乘”这个我们最熟悉的算术谓词做了语言分析。所谓语言分析就是不再把“乘”看成是一个计算倍数的算法，而是它看成具有描述和显示功能的谓词，它不仅可以表达“倍数”，还可以表达“相遇”、“相碰”、“组配”“相交”“推导”等复杂的语义，通过这个最简单的案例，揭示出数学语言的表达特点。所谓建立数学模型，从根本上就是说，把日常的词汇设法转换成数学词汇，比如在上面的例子里，我们把那么多日常谓词就转化成“乘”这个算术谓词，那么这种转换在表达上究竟是什么意思？它具有普遍性吗，其中有没有界限？所有这些《表达的探究》一书都做了详细的探讨，所以这些讨论非常有助于我们对建立数学模型的本质理解。
其二，《表达的探究》具体演示了数学语言是如何刻画非对称性的。因为既然语言的功能就是给出信息，从数学上可以把它抽象为一种非对称性显示和描述，包括前面所讲的结构就是一种组织性，一种非对称性。《表达的探究》揭示了对应、构造、闭环和相关这四个典型方法是如何刻画非对称性的。比如在对应中探讨了原形与影像之间的变形问题，通过变形大小，揭示了对应表达的柔性技巧，并着重它在显示和描述方面的意义。
其三，以数学为工具，为表达理论建立了数学模型。表达理论的根本是意义分析，而意义的形式化抽象可以视为一种排序。《表达的探究》第一部分就是表达的数学分析，就是为表达建立数学模型。它从不同平面的排序观点出发，提出了四个排序模型：对应是在两个平面上排序，构造是在三个平面（多个平面）上排序，而闭环是在一个平面上从整体到个体的分解排序。相关则是最一般刻画非对称的模型。比如，在构造表达中通过提出的三个数学模型：递归函数、自动机模型和形式语言的文法，探讨了时间序贯的前后表达、空间的内外表达和空间的层次表达，这三种看似不同方法其实在表达上具有相当程度的等效性。最好的学习方法就是结合案例，而《表达的探究》为你提供了数学建模的具体案例，而不只是一种纸上谈兵。
这本书是为具有文科大学文化程度的读者写作的，其中尽量不用公式计算，着重讲情思想，应该铺垫的知识都做了耐心的引导，我相信它同时是一本学习数学建模，真正搞懂数学语言的优选教材。

欢迎索取《表达的探究》电子版书目介绍
请发你的地址到电子邮件：yushan@mail.dlptt.ln.cn

　
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math618 · 发表于 2004-4-11 03:28:20

对我而言，更重要的是把语言符号作为数学符号来学。

shuyu · 发表于 2004-4-12 00:25:44

[em22]
我认为语言是为数学服务的工具.

chenchanggui · 发表于 2004-4-12 03:45:25

我认为数学是最最基本的东西！
所以我们要好好的学习这门学科？

ThomasQQ · 发表于 2004-4-24 22:03:22

[em08]认同２楼说法

yujianhua · 发表于 2004-4-19 07:03:45

没有牢固扎实数学基础是学不好计算机的！----------心得体会

chubitel · 发表于 2004-4-29 01:17:56

非常同意!读过<计算机程序设计艺术>都会有同感的!

yushan · 发表于 2004-5-29 17:28:33

摘录〈表达的探究〉，信息通道与数学模型的关系<

> 所以，要形成测量信号y与被测物理量x之间的单元函数关系：y=f(x) ，整个仪表功能结构设计，就是设法固化所有其它因素，形成不变的f显示功能，这其实就是建立特定的信息传递通道，这也是仪表制造的基本原理。 <

> 从数学角度看，一个显函数关系的建立，就意味着对现实全息关系的解耦，主要表现为如下三个方面（可参见“相关”一章的论述）：<

51pt; TEXT-INDENT: -31.5pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 51.0pt">第一，将大多数间接对因变量影响不大的因素解耦或忽略掉，这一步使得函数关系考虑的自变量数成为有限的，也使得函数结构参数成为有限的。但这些被忽略变量其实仍然是隐在的，在一定情况下就会重新显示出它们的作用。第二，将函数关系中的参变量全部视为定常参数项，这一步既大大简化了函数的变量数，又将大大简化函数关系的复杂性。但这同样也是在一定的误差范围内才能成立的，当超过了这个范围，这时的参变量开始表现出非定常性，甚至完全成为变量。第三，将所有自变量之间的弱相关关系解耦或忽略掉。这样一来，每个变量就成为独立变量，是自我变化的最后原因。这样就使函数关系表现为比较简单的显函数形式。但是，随着精度的提高，原有自变量之间的弱偶合关系不能再忽略了，这时候就再也找不到一个完全不受其它变量影响的独立自变量。尤其值得注意：因变量与自变量之间最终也必定会形成闭环反馈系统，这时函数的表达形式就会成为复杂的隐函数形式。 由此可见，显函数和自变量都是一系列解耦抽象的结果，它总是以牺牲精度为代价的。从这个意义上讲，表达总是不准确的。如果要达到完全的准确，就必须考虑所有相关因素，世界则成为不可说的。古代东方哲人对此在不同程度上早就有所认识。比如印度的佛教，中国的道家和禅宗等。在他们看来，因为宇宙整体的不可分割性，对无限关联的世界只能进行神秘的体验把握，任何认识都是不完全的，任何表达言说都是注定要失败的。老子在《道德经》的开篇就对“道”的可表达性有所保留，其原因就是“道”具有宇宙的全息性特点，它表面隐而不显，却隐含了所有潜在的微妙联系，任何对它的显现言说都已不再是它。

yushan · 发表于 2004-5-29 17:29:39

摘录〈表达的探究〉，信息通道与数学模型的关系<

>所以，要形成测量信号y与被测物理量x之间的单元函数关系：y=f(x) ，整个仪表功能结构设计，就是设法固化所有其它因素，形成不变的f显示功能，这其实就是建立特定的信息传递通道，这也是仪表制造的基本原理。
<

>从数学角度看，一个显函数关系的建立，就意味着对现实全息关系的解耦，主要表现为如下三个方面（可参见“相关”一章的论述）：<

51.0pt? list tab-stops: lfo1; level1 l0 mso-list: -31.5pt; TEXT-INDENT: 51pt;>第一，将大多数间接对因变量影响不大的因素解耦或忽略掉，这一步使得函数关系考虑的自变量数成为有限的，也使得函数结构参数成为有限的。但这些被忽略变量其实仍然是隐在的，在一定情况下就会重新显示出它们的作用。第二，将函数关系中的参变量全部视为定常参数项，这一步既大大简化了函数的变量数，又将大大简化函数关系的复杂性。但这同样也是在一定的误差范围内才能成立的，当超过了这个范围，这时的参变量开始表现出非定常性，甚至完全成为变量。第三，将所有自变量之间的弱相关关系解耦或忽略掉。这样一来，每个变量就成为独立变量，是自我变化的最后原因。这样就使函数关系表现为比较简单的显函数形式。但是，随着精度的提高，原有自变量之间的弱偶合关系不能再忽略了，这时候就再也找不到一个完全不受其它变量影响的独立自变量。尤其值得注意：因变量与自变量之间最终也必定会形成闭环反馈系统，这时函数的表达形式就会成为复杂的隐函数形式。由此可见，显函数和自变量都是一系列解耦抽象的结果，它总是以牺牲精度为代价的。从这个意义上讲，表达总是不准确的。如果要达到完全的准确，就必须考虑所有相关因素，世界则成为不可说的。古代东方哲人对此在不同程度上早就有所认识。比如印度的佛教，中国的道家和禅宗等。在他们看来，因为宇宙整体的不可分割性，对无限关联的世界只能进行神秘的体验把握，任何认识都是不完全的，任何表达言说都是注定要失败的。老子在《道德经》的开篇就对“道”的可表达性有所保留，其原因就是“道”具有宇宙的全息性特点，它表面隐而不显，却隐含了所有潜在的微妙联系，任何对它的显现言说都已不再是它。

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