《当代科学前沿论丛》

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《当代科学前沿论丛》

其中有一本叫《拟阵论》

内容提要

　　本书较为系统地介绍了拟阵论的基本概念和理论，引入和比较了拟阵的不同的公理系统，并较为全面地讨论了拟阵的几何表示、对偶、 幼阵、连通度以及拟阵的线性与代数表示。本书还讨论了拟阵中的模性与格结构，二元域和三元域拟阵的特征与性质，分裂子
定理及其应用，次模函数和优化理论， 拟阵的着色，处处非零流和圈覆盖问题，以及拟阵的极值理论。本书的最后一章列举了一些在拟阵理论研究方面的公开问题。此外，书中的大量习题以及它们的解答也是本书的一个重要组成部分。
　　本书可作为数学、组合数学、运筹学和计算机等专业研究生的教材，也可供有关专业的高年级大学生、研究生、教师，以及相关的科研、工程技术人员参考。

序言

　　与其他数学分支相比，拟阵理论并不是一个具有悠久历史的古老分支。拟阵的概念最早由Whitney在1935年第一次引进，作为是一种同时推广了图和矩阵的概念。尽管年轻，但由于实际需要的推动和数学工作者的努力，拟阵理论已有相当丰富的内容。特别是在最近三十年内，拟阵理论得到了很大的发展，形成了一个群峰竞秀，万水争流的局面，成为一个日益引人瞩目的生气勃勃的数学分支。
　　这本书的目的是尽可能比较直接而又详细地叙述了拟阵理论的基础和核心部分，成为一本既可作为高校数学系或有关工程专业的教科书，又不失为一本有价值的参考书。
　　为了使初学者能够较为方便的学习本书的内容，我们对有关基础部分章节的习题尽可能地提供了解答或提示。对一部分没有给出解答或提示的习题，则提供了问题的来源和有关的文献。限于篇幅及作者的学识，也由于这个学科的快速发展，本书无法提供给读者一个有关拟阵理论的全面综述，也无法全面反映所有在拟阵领域的最新结果，这都是作者感到遗憾之处。
　　西弗吉尼亚大学自1991年起开设“拟阵论”课程。本书的部分章节，便是在这门课程的讲稿的基础上整理而成。一般来说，学完高等代数的基本内容后就具备了阅读本书的基础。本书的意图是以前四章（除去1.6，2.6，2.7，3.3，3.4，和4.5这六节）作为对拟阵的基本概念，理论和方法的一个介绍。这些内容一般可以在一个学期内讲授完毕。在第五章到第十一章中所讨论的内容相对地专门化，故可根据需要在讲授时加以选择。
　　本书对有关内容的处理主要参考了Welsh(1976)的“拟阵论”，White(1986)的“拟阵论”，Oxley(1992)的“拟阵论”以及刘桂真，陈庆华(1994)的“拟阵”等书。
　　在讲授和写作这本书的过程中，一些参与讨论的朋友和同学们提出了许多很有帮助的建议。他们是张显坤，潘海峰，李相文，詹明泉，欧永斌，喻革新，徐睿和王小强，其中，詹明泉，潘海峰，喻革新 和王小强参与了这本书的文字输入，詹明泉和潘海峰还帮助对本书进行了校对。作者在这里向他们表示诚挚的感谢。作者还想借此机会感谢高等教育出版社的张小萍老师对本书的出版所给予的自始至终的热情支持和帮助。
　　作者特别深深地感谢他的妻子吴莹女士和他的父亲赖汉斯先生和母亲李杰英女士。没有他们的支持和长期的鼓励和教育，作者在今天一定不能够完成这一本书。
　　限于作者的水平，本书中错漏之处在所难免。恳请国内同行和广大读者不吝赐教。

目录

第零章 符号和预备知识
第一章 拟阵的基本概念与例子
1.1 独立集公理
1.2 极小圈公理
1.3 基公理
1.4 秩函数
1.5 闭包与闭集
1.6 拟阵的其他特征
1.7 可表示拟阵的例子
1.8 低秩拟阵的几何表示
第二章 对偶拟阵和拟阵的幼阵
2.1 对偶拟阵及其例子
2.2 可表示拟阵的对偶拟阵
2.3 可图拟阵
2.4 拟阵的幼阵
2.5 拟阵的串联与并联
2.6 铺路拟阵
2.7 横贯拟阵
第三章 拟阵的连通度
3.1 连通拟阵
3.2 拟阵的Tutte连通度
3.3 图的拟阵连通度
3.4 连通度的比较
3.5 可表示拟阵的分离划分
3.6 低连通拟阵的初等性质
第四章 拟阵的线性表示和代数表示
4.1 域$F$上的可线性表示拟阵
4.2 拟阵线性表示的构造
4.3 拟阵在同一个域上的等价线性表示
4.4 拟阵可表示性的刻划
4.5 代数拟阵
第五章 拟阵中的格结构和模性
5.1 偏序和格
5.2 拟阵的闭集格
5.3 幼阵的闭集格
5.4 射影几何与仿射几何的闭集格
5.5 拟阵闭集格的模性质
5.6 拟阵的扩张
5.7 图的其他运算在拟阵的推广
第六章 二元域拟阵和三元域拟阵
6.1 二元域拟阵的特征
6.2 二元域拟阵的正交性质
6.3 三元域拟阵的特征
6.4 3-连通二元域拟阵的分解
6.5 极小圈的弦
6.6 链群
第七章 分裂子定理及其应用
7.1 分裂子定理
7.2 分裂子定理的应用
7.3 正则拟阵分解定理27
7.4 正则拟阵和可图拟阵的禁阵特征
7.5 可定向拟阵
第8章 横贯理论与次模函数
8.1 Rado-Hall 定理
8.2 次模函数
8.3 由二部图导出的拟阵
8.4 拟阵的并
8.5 等密拟阵
第九章 优化理论
9.1 Greedy算法和最大权独立集问题
9.2 最大公共独立集问题
9.3 拟阵的剖分
9.4 最大流-最小割拟阵
9.5 多端网络流
第十章 拟阵的染色及有关问题
10.1 拟阵的染色
10.2 拟阵的处处非零群流问题
10.3 拦截和切向拦截
10.4 拟阵的圈覆盖问题
第十一章 极值拟阵论
11.1 极值图论问题的推广
11.2 与禁子阵有关的极值问题
11.3 与禁幼阵有关的极值问题
11.4 拟阵族的增长率问题
第十二章 有关拟阵论的一些问题
12.1 拟阵的线性与代数表示
12.2 有限禁阵特征问题
12.3 Whitney 2-同构定理的推广
12.4 拟阵的重构问题
12.5 拟阵的并
12.6 着色问题
12.7 单峰猜想
12.8 计数问题
12.9 其他问题
附录 习题的提示或略解
参考文献

作者简介

赖虹建：1953年生，广州华南工学院学士(1982)， 美国维恩州立大学博士(1988)。曾在加拿大滑铁卢大学组合与优化系做博士后，现任美国西弗吉尼亚大学数学系教授。在图论、拟阵论以及离散数学的理论与应用方面发表论文60余篇，出版论著"Matrices in Combinatorics and Graph Theory"一本（与柳柏濂合作，Kluwer Academic Publishers出版）。